2022年高考数学一轮复习热点难点精讲精析112概率.docx

2022年高考一轮复习热点难点精讲精析：11.2概率
一、随机事件的概率
※相关链接※
1．事件的判断震怒地三种事件即不可能事件、尽然事件和随机事件的概念充分理解，特别是随机事件要看它是否可能发生，并且是在一定条件下的，它不同于判断命题的真假。
2．对随机事件的理解应包含下面两个方面：
〔1〕随机事件是指一定条件下出现的某种结果，随着条件的改变其结果也会不同，因此必须强调同一事件必须在相同的条件下研究；
〔2〕随机事件可以重复地进行大量试验，每次试验结果不一定相同，且无法预测下一次的结果，但随着试验的重复进行，其结果呈现规律性。
※例题解析※
〖例〗一个口袋装有5个白球和3个黑球，从中任意取出一个球：
〔1〕“取出的球是红球〞是什么事件
〔2〕“取出的球是黑球〞是什么事件
〔3〕“取出的球是白球或黑球〞是什么事件
思路解析：结合必然事件、不可能事件、随机事件的概念求解。
解答：〔1〕由于口袋内只装有黑、白两种颜色的球，故“取出的球是红球〞是不可能事件；
〔2〕由，从口袋内取出一个球，可能是白球也可能是黑球，故“取出的球是黑球〞是随机事件；
〔3〕由于口袋内装的黑、白两种颜色的球，故取出一个球不是黑球，就是白球鞋。因此，“取出的球是白球或黑球〞是必然事件。
〔二〕随机事件的频率与概率
※相关链接※
1．随机事件的频率，指此事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。我们给这个常数取一个名字，叫做这个随机事件的概率；
2．概率可看做频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近。只要次数足够多，所是频率就近似地当做随机事件的概率。
※例题解析※
〖例〗某篮球运发动在最近几场大赛中罚球投篮的结果如下：
〔1〕计算表中进球的频率；
〔2〕这位运发动投篮一次，进球的概率是多少
思路解析：解答此题可根据频率的计算公式，其中为相同条件下重复的试验次数，为事件A出现的次数，且随着试验次数的增多，频率接近概率。
解答：〔1〕由公式可计算出每场比赛该运发动罚球进球的频率依次为
〔2〕由〔1〕知，每场比赛进球的频率虽然不同，但频率总是在的附近摆动，可知该运发动投篮一次，进球的概率约为。
〔三〕互斥事件、对立事件的概率
〖例〗一盒中装有大小和质地均相同的12只小球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球。从中随机取出1球，求
〔1〕取出的小球是红球或黑球的概率；
〔2〕取出的小球是红球或黑球或白球的概率。
思路解析：设事件分析事件的性质根据互斥事件概率求法求解。
解答：记事件A={任取1球为红球}；B={任取1球为黑球}；C={任取1球为白球}；D={任取1球为绿球}，那么
〔1〕取出1球为红球或黑球的概率为
〔2〕取出1球为红球或黑球或白球的概率为
注：〔1〕解决此类问题，首先应结合互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件或对立事件，再选择概率公式进行计算。
〔2〕求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算。二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式，即运用逆向思维〔正难那么反〕，特别是“至多〞，“至少〞型题目，用间接求法就显得较简便。
〔3〕互斥事件、对立事件的定义是判断两事件是否是互斥事件、对立事件的一种最有效、最简便的根本方法。也可从集合角度来判断，如果A，B是两个互斥事件，反映在集合上是表示A，B两个事件所含结果组成的集合的交集为空集，即A∩B=；如果A，B是对立事件，那么在A∩B=的前提下，A与B的并集为全集。
二、古典概型
〔一〕写出根本领件
※相关链接※
1．随机试验满足以下条件：〔1〕试验可以在相同的条件下重复做下去；〔2〕试验的所有结果是明确可知的，并且不止一个；〔3〕每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在试验之产却不能肯定会出现哪一个结果。所以，随机试验的每一个可能出现的结果是一个随机事件，这类随机事件叫做根本领件。
2．计算古典概型所含根本领件总数的方法
〔1〕树形图
〔2〕列表法
〔3〕另外，还可以用坐标系中的点来表示根本领件，进而可计算根本领件总数
〔4〕用排列组合求根本领件总数。
※例题解析※
〖例〗做抛掷两颗骰子的试验：用〔x,y〕表示结果，其中x表示第一颗骰子出现的点数，y表示第二颗骰子出现的点数，写出〔1〕试验的根本领件；〔2〕事件“出现点数之和大于8”；〔3〕事件“出现点数相等〞；〔4〕事件“出现点数之和大于10”。
思路解析：抛掷两颗骰子的试验，每次只有一种结果；且每种结果出现的可能性是相同的，所以该试验是古典概型，当试验结果较少时可用列举法将所有结果一一列出。
解答：〔1〕这个试验的根本领件为
〔2〕“出现点数之和大于8”包含以下10个根本领件：
〔3〕“出现点数相等〞包含以下6个根本领件：。
〔4〕“出现点数之和大于10”包含以下3个根本领件：
〔二〕求简单古典概型的概率
※相关链接※
求古典概型概率的步骤
〔1〕仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；
〔2〕判断本试验的结晶是否为等可能事件，设出所求事件A；
〔3〕分别求出根本领件的总数n与所求事件A中所包含的根本领件个数m;
〔4〕利用公式求出事件A的概率。
注：并不是所有的试验都是古典概型。例如，在适宜的条件下种下一粒种子观察它是否“发芽〞，这个试验的根本领件空间为{发芽，不发芽}，而“发芽〞与 “不发芽〞这两种结果出现的时机一般是不均等的。
※例题解析※
〖例〗如图，在一个木制的棱长为3的正方体外表涂上颜色，将它的棱3等分，然后从等分点把正方体锯开，得到27个棱长为1的小正方体，将这些小正方体充分混合后，装入一个口袋中。
〔1〕从这个口袋中任意取出1个正方体，这个小正方体的外表恰好没有颜色的概率是多少
〔2〕从这个口袋中同时任意取出2个小正方体，其中1个小正方体恰好有1个面涂有颜色，另1个小正方体至少有2个面涂有颜色的概率是多少
思路解析：该模型为古典概型，根本领件个数是有限的，并且每个根本领件的发生的等可能的。
解答：在27个小正方体中，恰好3个面都涂有颜色的共8个，恰好2个面涂有颜色的共12个，恰好1个面涂有颜色的共6个，外表没涂颜色确实个。
〔1〕从27个小正方体中任意取出1个，共有种等可能的结果。因为在27个小正方体中，外表没涂颜色的只有1个，所以从这个口袋中任意取出1个小正方体，而这个小正方体的外表恰好没涂颜色的概率是。
〔2〕从27个小正方体中，同时任取2 个，共种等可能的结果。在这些结果中，有1个小正方体恰好有1个面涂有颜色，另1个小正方体至少有2个面涂有颜色包含的结果有种。所以从这个口袋中同时任意取出2个小正方体，其中1个小正体恰好有1个面涂有颜色，另1个小正方体至少有2个面涂有颜色的概率是。
〔三〕复杂的古典概型的概率求法
〖例〗袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出2个球，求以下事件的概率：
〔1〕A：取出的2个球都是白球；
〔2〕B：取出的2个球中1个是白球，另1个是红球。
思路解析：用列举法求出根本领件总数n求出事件A、B包含的根本领件数m根据古典概型公式坟概率。

共15种。
〔1〕从袋中的6个球中任取2个，所取的2个球全是白球的方法总数，即是从4个白球中任取2个的方法总数，共有6种。即：∴取出的2个球全是白球的概率为
。
〔2〕从袋中的6个球中任取2个，其中1个为红球，而另1个为白球，其取法包括〔1，5〕，〔1，6〕，〔2，5〕，〔2，6〕，〔3，5〕，〔3，6〕，〔4，5〕，〔4，6〕共8种。∴取出的2 个球中1个是白球，另1个是红球的概率为。
注：〔1〕在古典概型条件下，当根本领件总数为n时，每一个根本领件发生的概率均为，要求事件A的概率，关键是求出根本领件总数n和事件A中所含根本领件数m，再由古典概型概率公式求出事件A的概率。
〔2〕含有“至多〞、“至少〞等类型的概率问题，从正面突破比较困难或者比较繁琐时，可考虑其反面，即对立事件，然后应用对立事件的性质进一步求解。
三、几何概型
〔一〕与长度有关的几何概型
※相关链接※
1．如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，那么其概率的计算公式为
P〔A〕=。
2．将每个根本领件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的时机都一样而一个随机事件的发生那么理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解。
※例题解析※
〖例〗在半径为1的圆内一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，那么弦长超过圆内接的等边三角形边长的概率是
思路解析：解决概率问题先判断属于什么概率模型，此题属几何概型，把问题转化为化成：直径上到圆心O的距离小于的点构成的线段长与直径长之比。
解答：记事件A为“弦长超过圆内接等边三角形的边长〞，如图，
不妨在过等边三角形BCD的顶点B的直径BE上任取一点F作垂直于直径的弦，当弦为CD时，就是等边三角形的边长，弦长大于CD的充要条件是圆心O到弦的距离小于OF〔此时F为OE中点〕，由几何概型公式得：。
答案：
〔二〕与面积〔体积〕有关的几何概型
※相关链接※
1．如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，那么其概率的计算公式为：
。
2．“面积比〞是求几何概率的一种重要类型，也是在高考中常考的题型。
3．如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，那么其概率的计算公式为：
。
注：解决此类问题一定要注意几何概型的条件。
※例题解析※
〖例〗如图，射箭比赛的箭靶涂有5个彩色的分环，从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色，金色靶心叫做“黄心〞。奥运会的比赛靶面直径是122cm，靶心直径是12.2cm，运发动在70米外射箭。假设运发动射的箭都能中靶，且射中靶面内任一点是等可能的，那么射中“黄心〞的概率是多少
思路解析：求出大圆的面积n求出“黄心〞的面积m由几何概型的概率求法得。
解答：记“射中黄心〞为事件B，由于中靶点随机地落在面积为的大圆内，而当中靶点落在面积为的黄心时，事件B发生，于是事件B发生的概率为
，
即“射中黄心〞的概率是。
〔三〕生活中的几何概型
〖例〗两人约定在20：00到21：00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20：00到21：00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率。
思路解析：两人不管谁先到都要等迟到者40分钟，即小时。设两人分别于x时和y时到达约见地点，要使两人在约定的时间范围内相见，当且仅当，因此转化成面积问题，利用几何概型求解。
解答：设两人分别于x时和y时到达约见地点，要使两人能在约定时间范围内相见，当且仅当。两人到达约见地点所有时刻〔x,y〕的各种可能结果可用图中的单位正方形内〔包括边界〕的点来表示，两人能在约定的时间范围内相见的所有时刻〔x,y〕的各种可能结果可用图中的阴影局部〔包括边界〕不表示。因此阴影局部与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小，也就是所求的概率为
注：对于活生生中的几何概型问题：
〔1〕要注意实际问题中的可能性的判断；
〔2〕将实际问题转化为几何概型中的长度、角度、面积、体积等常见几何概型的求解问题，构造出随机事件A对应的几何图形，利用几何图形的度量来求随机事件的概率，根据实际问题的具体情况，合理设置参数，建立适当的坐标系，在此根底上将试验的每一个结果一一对应于该坐标系的点，便可构造出度量区域。
〔3〕如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度来表示，那么其概率公式为：
。解决此类问题事件A的角必须含在事件的全部构成的角之内。