2022届高考数学总复习教学案两角和与差的正弦余弦和正切公式.docx

第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式
[知识能否忆起]
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)C(α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β；
(2)C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β；
(3)S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β；
(4)S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β；
(5)T(α＋β)：tan(α＋β)＝；
(6)T(α－β)：tan(α－β)＝.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)S2α：sin2α＝2sin_αcos_α；
(2)C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
(3)T2α：tan2α＝.
3．常用的公式变形
(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；
(2)cos2α＝，sin2α＝；
(3)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，
1－sin2α＝(sinα－cosα)2，
sin α±cos α＝sin.
[小题能否全取]
1．(2022·福建高考)假设tanα＝3，那么的值等于(　　)
A．2B．3
C．4D．6
解析：选D＝＝2tanα＝2×3＝6.
2．sin68°sin67°－sin23°cos68°的值为(　　)
A．－B.
C.D．1
解析：选B原式＝sin68°cos23°－cos68°sin23°＝sin(68°－23°)＝sin45°＝.
3．sinα＝，那么cos(π－2α)等于(　　)
A．－B．－
C.D.
解析：选Bcos(π－2α)＝－cos2α＝－(1－2sin2α)＝2sin2α－1＝2×－1＝－.
4．(教材习题改编)假设cosα＝－，α是第三象限角，那么sin＝________
解析：由条件sinα＝－＝－，
sin＝sin α＋cos α＝－.
答案：－
5．假设tan＝，那么tan α＝________.

解析：tan＝＝，
即5tan α＋5＝2－2tan α.
那么7tan α＝－3，故tan α＝－.
答案：－
1.两角和与差的三角函数公式的理解：
(1)正弦公式概括为“正余，余正符号同〞．“符号同〞指的是前面是两角和，那么后面中间为“＋〞号；前面是两角差，那么后面中间为“－〞号．
(2)余弦公式概括为“余余，正正符号异〞．
(3)二倍角公式实际就是由两角和公式中令β＝α所得．特别地，对于余弦：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，这三个公式各有用处，同等重要，特别是逆用即为“降幂公式〞，在考题中常有表达．
2．重视三角函数的“三变〞：“三变〞是指“变角、变名、变式〞；变角为：对角的分拆要尽可能化成角、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．

三角函数公式的应用
典题导入
[例1](2022·广东高考)函数f(x)＝2sin，x∈R.
(1)求f的值；
(2)设α，β∈，f＝，f(3β＋2π)＝，求cos(α＋β)的值．
[自主解答](1)∵f(x)＝2sin，
∴f＝2sin＝2sin＝.
(2)∵α，β∈，f＝，f(3β＋2π)＝，
∴2sinα＝，2sin＝.
即sinα＝，cosβ＝.
∴cosα＝，sinβ＝.
∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
＝×－×＝.
由题悟法
两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．
以题试法
1．(1)sinα＝，α∈，那么＝________.
(2)(2022·济南模拟)α为锐角，cosα＝，那么tan＝(　　)
A．－3B．－
C．－D．－7
解析：(1)＝＝cosα－sinα，
∵sinα＝，α∈，∴cosα＝－.
∴原式＝－.
(2)依题意得，sinα＝，故tanα＝2，tan2α＝＝－，所以tan＝＝－.
答案：(1)－　(2)B

三角函数公式的逆用与变形应用
典题导入
[例2](2022·德州一模)函数f(x)＝2cos2－sinx.
(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；
(2)假设α为第二象限角，且f＝，求的值．
[自主解答](1)∵f(x)＝2cos2－sinx＝1＋cosx－sinx＝1＋2cos，
∴周期T＝2π，f(x)的值域为[－1,3]．
(2)∵f＝，∴1＋2cosα＝，即cosα＝－.
∵α为第二象限角，∴sinα＝.

∴＝
＝＝＝.
由题悟法
运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多种变形等．
以题试法
2．(1)(2022·赣州模拟)sin＋cosα＝，那么sin的值为(　　)
A.B.
C.D.
(2)假设α＋β＝，那么(1－tanα)(1－tanβ)的值是________．
解析：(1)由条件得sinα＋cosα＝，
即sin α＋cos α＝.
∴sin＝.
(2)－1＝tan＝tan(α＋β)＝，
∴tan αtan β－1＝tan α＋tan β
∴1－tan α－tan β＋tan αtan β＝2，
即(1－tan α)(1－tan β)＝2.
答案：(1)A　(2)2

角 的 变 换
典题导入
[例3](1)(2022·温州模拟)假设＝3，tan(α－β)＝2，那么tan(β－2α)＝________.
(2)(2022·江苏高考)设α为锐角，假设cos＝，那么sin的值为________．
[自主解答](1)由条件知＝＝3，
那么tanα＝2.
故tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]
＝＝＝.
(2)因为α为锐角，cos＝，
所以sin＝，sin2＝，
cos2＝，
所以sin＝sin
＝×－×＝.
[答案](1)　(2)
由题悟法
1．当“角〞有两个时，一般把“所求角〞表示为两个“角〞的和或差的形式；
2．当“角〞有一个时，此时应着眼于“所求角〞与“角〞的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角〞变成“角〞．
3．常见的配角技巧：
α＝2·；α＝(α＋β)－β；
α＝β－(β－α)；
α＝[(α＋β)＋(α－β)]；
β＝[(α＋β)－(α－β)]；
＋α＝－；α＝－.
以题试法
3．设tan＝，tan＝，那么tan＝(　　)
A.B.
C.D.
解析：选Ctan＝tan
＝＝.
1．(2022·重庆高考)设tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，那么tan (α＋β)的值为(　　)
A．－3B．－1
C．1D．3
解析：选A由题意可知tanα＋tanβ＝3，tanα·tanβ＝2，
tan(α＋β)＝＝－3.
2．(2022·南昌二模)cos＝－，那么cosx＋cos的值是(　　)
A．－B．±
C．－1D．±1
解析：选Ccosx＋cos＝cosx＋cosx＋sinx＝cosx＋sinx＝＝cos＝－1.
3． (2022·乌鲁木齐诊断性测验)α满足sinα＝，那么sinsin的值为(　　)
A.B．－
C.D．－
解析：选A依题意得，sinsin＝sin·cos＝sin＝cos2α＝1－2sin2α)＝.
4．函数f(x)＝x3＋bx的图象在点A(1，f(1))处的切线的斜率为4，那么函数g(x)＝sin2x＋bcos2x的最大值和最小正周期为(　　)
A．1，πB．2，π
C.，2πD.，2π
解析：选B由题意得f′(x)＝3x2＋b，
f′(1)＝3＋b＝4，b＝1.
所以g(x)＝sin2x＋bcos2x
＝sin 2x＋cos 2x＝2sin，
故函数的最大值为2，最小正周期为π.
5． (2022·东北三校联考)设α、β都是锐角，且cosα＝，sin＝，那么cosβ＝(　　)
A.B.
C.或D.或
解析：选A依题意得sinα＝＝，
cos(α＋β)＝±＝±.
又α、β均为锐角，因此0<α<α＋β<π，
cosα>cos(α＋β)，注意到>>－，
所以cos(α＋β)＝－.
cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×＋×＝.
6．α为第二象限角，sinα＋cosα＝，那么cos2α＝(　　)
A．－B．－
C.D.
解析：选A将sinα＋cosα＝两边平方，可得1＋sin2α＝，sin2α＝－，所以(－sinα＋cosα)2＝1－sin2α＝.因为α是第二象限角，所以sinα＞0，cosα＜0，所以－sinα＋cosα＝－，所以cos2α＝(－sinα＋cosα)·(cosα＋sinα)＝－.
7．(2022·苏锡常镇调研)满足sinsinx＋coscosx＝的锐角x＝________.
解析：由可得
coscos x＋sinsin x＝，
即cos＝，
又x是锐角，所以－x＝，即x＝.
答案：
8．化简·＝________.
解析：原式＝tan(90°－2α)·
＝·
＝·＝.
答案：
9．(2022·烟台模拟)角α，β的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，α，β∈(0，π)，角β的终边与单位圆交点的横坐标是－，角α＋β的终边与单位圆交点的纵坐标是，那么cosα＝________.
解析：依题设及三角函数的定义得：
cosβ＝－，sin(α＋β)＝.
又∵0<β<π，∴<β<π，<α＋β<π，sinβ＝，cos(α＋β)＝－.
∴cosα＝cos[(α＋β)－β]
＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ
＝－×＋×
＝.
答案：
10．α∈，tanα＝，求tan2α和sin的值．
解：∵tanα＝，∴tan2α＝＝＝，
且＝，即cosα＝2sinα，
又sin2α＋cos2α＝1，
∴5sin2α＝1，而α∈，
∴sinα＝，cosα＝.
∴sin2α＝2sinαcosα＝2××＝，
cos2α＝cos2α－sin2α＝－＝，
∴sin＝sin2αcos＋cos2αsin＝×＋×＝.
11．：0<α<<β<π，cos＝.
(1)求sin2β的值；
(2)求cos的值．
解：(1)法一：∵cos＝coscosβ＋sinβ＝cosβ＋sinβ＝，
∴cosβ＋sinβ＝，∴1＋sin2β＝，∴sin2β＝－.
法二：sin2β＝cos＝2cos2－1＝－.
(2)∵0<α<<β<π，
∴<β<－<π，<α＋β<，
∴sin>0，cos(α＋β)<0.
∵cos＝，sin(α＋β)＝，
∴sin＝，
cos(α＋β)＝－.
∴cos＝cos
＝cos(α＋β)cos
＝－×＋×＝.
12．(2022·衡阳模拟)函数f(x)＝cos＋sin，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)假设f(α)＝，α∈，求tan的值．
解：(1)f(x)＝cos＋sin＝sin＋cos＝sin，
故f(x)的最小正周期T＝＝4π.
(2)由f(α)＝，得sin＋cos＝，
那么2＝2，
即1＋sinα＝，解得sinα＝，
又α∈，那么cosα＝＝＝，
故tanα＝＝，
所以tan＝＝＝7.
1．假设tanα＝lg(10a)，tanβ＝lg，且α＋β＝，那么实数a的值为(　　)
A．1B.
C．1或D．1或10
解析：选Ctan(α＋β)＝1⇒＝＝1⇒lg2a＋lga＝0，
所以lga＝0或lga＝－1，即a＝1或.
2．化简sin2＋sin2－sin2α的结果是________．
解析：原式＝＋－sin2α
＝1－－sin2α
＝1－cos2α·cos－sin2α＝1－－＝.
答案：
3．sinα＋cosα＝，α∈，sin＝，β∈.
(1)求sin2α和tan2α的值；
(2)求cos(α＋2β)的值．
解：(1)由题意得(sinα＋cosα)2＝，
即1＋sin2α＝，∴sin2α＝.
又2α∈，∴cos2α＝＝，
∴tan2α＝＝.
(2)∵β∈，β－∈，sin＝，
∴cos＝，
于是sin 2＝2sincos＝.
又sin 2＝－cos 2β
∴cos 2β＝－，
又∵2β∈，∴sin 2β＝，
又∵cos2α＝＝，
∴cos α＝，sin α＝.
∴cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β
＝×－×＝－.
1．(2022·北京西城区期末)函数f(x)＝sin2x＋sinxcosx，x∈.
(1)求f(x)的零点；
(2)求f(x)的最大值和最小值．
解：(1)令f(x)＝0，得sinx·(sinx＋cosx)＝0，
所以sinx＝0或tanx＝－.
由sinx＝0，x∈，得x＝π；
由tanx＝－，x∈，得x＝.
综上，函数f(x)的零点为，π.
(2)f(x)＝(1－cos2x)＋sin2x＝sin＋.
因为x∈，所以2x－∈.
所以当2x－＝，即x＝时，f(x)的最大值为；
当2x－＝，即x＝时，f(x)的最小值为－1＋.
2．0<β<<α<π，且cos＝－，sin＝，求cos(α＋β)的值；
解：∵0<β<<α<π，
∴－<－β<，<α－<π.
∴cos＝
＝＝，
sin＝
＝＝.
∴cos＝cos
＝coscos＋sinsin
＝－×＋×＝.
∴cos(α＋β)＝2cos2－1＝2×－1＝－.