2013年高考文科数学上海卷-答案.docx

2013年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）
数学试卷（文史类）答案解析
一、填空题
1.【答案】
【解析】．
【提示】根据两数相除商为负，得到与异号，将原不等式化为两个一元一次不等式组，求出不等式组的解集即可得到原不等式的解集.
【考点】其他不等式的解法．
2.【答案】15
【解析】．
【提示】根据给出的数列是等差数列，由等差数列的性质可得，结合已知条件可求．
【考点】等差数列的性质，等差数列的通项公式．
3.【答案】
【解析】是纯虚数．
【提示】根据纯虚数的定义可得，由此解得实数m的值．
【考点】复数的基本概念．
4.【答案】1
【解析】，又.联立上式，解得．
【提示】利用二阶行列式的运算法则，由写出的式子化简后列出方程，直接求解y即可．
【考点】二阶行列式的定义．
5.【答案】
【解析】．
【提示】利用余弦定理表示出，将已知等式变形后代入求出的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数．
【考点】余弦定理．
6.【答案】78
【解析】平均成绩．
【提示】设该年级男生有x人，女生有y人，这次考试该年级学生平均分数为a，根据“平均成绩×人数=总成绩”分别求出男生的总成绩和女生的总成绩以及全班的总成绩，进而根据“男生的总成绩+女生的总成绩=全班的总成绩”列出方程，结合高一年级男生人数占该年级学生人数的40%，即可求出这次考试该年级学生平均分数．
【考点】众数，中位数，平均数．
7.【答案】
【解析】
【提示】利用二项展开式的通项公式求得二项展开式中的第项，令的指数为7求得的系数，列出方程求解即可．
【考点】二项式系数的性质．
8.【答案】
【解析】
【提示】用换元法，可将方程转化为一个二次方程，然后利用一元二次方程根，即可得到实数的取值．
【考点】函数的零点．
9.【答案】
【解析】.
【提示】已知等式左边利用两角和与差的余弦函数公式化简，求出的值，所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简后，将的值代入计算即可求出值．
【考点】两角和与差的余弦函数，二倍角的余弦．
10.【答案】
【解析】由题知
【提示】过A作与BC平行的母线AD，由异面直线所成角的概念得到为．在直角三角形ODA中，直接由得到答案．
【考点】异面直线及其所成的角．
11.【答案】
【解析】考查排列组合；概率计算策略：正难则反．
从4个奇数和3个偶数共7个数中任取2个，共有个.
2个数之积为奇数2个数分别为奇数，共有.
所以2个数之积为偶数的概率
【提示】从7个球中任取2个球共有种，两球编号之积为偶数包括均为偶数、一奇一偶两种情况，有种取法，利用古典概型的概率计算公式即可求得答案．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
12.【答案】
【解析】解：如图，设椭圆的标准方程为，由题意知．，，的坐标为，因点C在椭圆上，，，，，则两个焦点之间的距离为．故答案为：．
【提示】由题意画出图形，设椭圆的标准方程为，由条件结合等腰直角三角形的边角关系解出C的坐标，再根据点C在椭圆上求得b值，最后利用椭圆的几何性质计算可得答案．
【考点】椭圆的标准方程，椭圆的简单性质．
13.【答案】
【解析】考查均值不等式的应用．
由题知，当时，
【提示】由题设，若对一切正实数x成立可转化为，利用基本不等式判断出，由此可得到关于a的不等式，解之即可得到所求的范围.
【考点】基本不等式．
14.【答案】
【解析】根据对称性，当向量互为相反向量，且它们的模最大时最小．这时，，，，．
【提示】如图建立直角坐标系．不妨记以A为起点，其余顶点为终点的向量，，分别为，，，以C为起点，其余顶点为终点的向量，，分别为，，再分类讨论当，，，取不同的值时，利用向量的坐标运算计算的值，从而得出的最小值．
【考点】平面向量数量积的运算．
二、选择题
15.【答案】A
【解析】由反函数的定义可知，，.选A.
【提示】根据反函数的性质，求的问题可以变为解方程．
【考点】反函数，函数的值．
16.【答案】B
【解析】代值法，排除法：当时，，符合题意；当时，
，符合题意．综上，选B
标准解法：
由当时，，当符合题意；当时
解得；当时．
综上，选B
【提示】当时，代入解集中的不等式中，确定出A，求出满足两集合的并集为时的a的范围；当时，易得，符合题意；当时，同样求出集合A，列出关于a的不等式，求出不等式的解集得到a的范围．综上，得到满足题意的a范围．
【考点】集合关系中的参数取值问题，并集及其运算，一元二次不等式的解法．
17.【答案】A
【解析】便宜没好货便宜则不是好货好货则不便宜，所以“好货”是“不便宜”的充分条件
【提示】“好货不便宜”，其条件是：此货是好货，结论是此货不便宜，根据充要条件的定义进行判断即可．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
18.【答案】D
【解析】椭圆方程为：
联立
，所以的最大值为.选D.
【提示先由椭圆得到这个椭圆的参数方程为：（为参数），再由三角函数知识求的最大值，从而求出极限的值．
【考点】数列的极限，椭圆的简单性质．
三、解答题
19.【答案】.
.
【解析】
设在面中的射影为，的中点为，则，，在中，

三棱锥的表面积
所以，三棱锥的体积，表面积
【提示】根据题意画出图形，结合正三棱锥的底面边长为2，高为1，由此入手，能够求出此三棱锥的体积及表面积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
20.【答案】（1）证明：由题知，生产a千克该产品所需要的时间小时，
所获得的利润（元），其中
所以，生产a千克该产品所获得的利润为100a元.
（2）由（1）知，生产900千克该产品即千克时，获得的利润

由二次函数的知识可知，当=，即时，（元）
所以，当生产速度为6千克/小时，这时获得最大利润为457500元．
【提示】（1）由题意可得生产a千克该产品所用的时间是小时，由于每一小时可获得的利润是元，即可得到生产a千克该产品所获得的利润.
（2）利用（1）的结论可得生产1千克所获得的利润为，．进而得到生产900千克该产品获得的利润，利用二次函数的单调性即可得出．
【考点】函数模型的选择与应用，二次函数在闭区间上的最值．
21.【答案】（1）不是奇函数，也不是偶函数.
（2）20，21.
【解析】（1）时，

是奇函数.
后得，既不是奇函数，也不是偶函数．
（2），将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数最小正周期，
令在一个周期内最多有3个零点，最少2个零点．
所以在区间，其长度为10个周期上，零点个数可以取20，21个
【提示】（1）特值法：时，写出、，求出、，结合函数奇偶性的定义可作出正确判断.
（2）根据图象平移变换求出，令可得可能的零点，而含有10个周期，分a是零点，a不是零点两种情况讨论，结合图象可得在上零点个数的所有可能值.
【考点】函数的图象变换，函数奇偶性的判断，根的存在性及根的个数判断.
22.【答案】（1）.
（2）.
（3），且.
【解析】（1）
（2）成等比，且

分情况讨论如下：
当时，，且
当时，

综上，，或
（3）假设存在公差为的等差数列满足题意，则：
讨论如下：
当即数列为常数数列时，，
当数列不是常数数列时，所以不满足题意．
综上，存在的等差数列，且满足题意．
【提示】（1）由题意代入式子计算即可.
（2）把，表示为的式子，通过对的范围进行讨论去掉绝对值符号，根据，，成等比数列可得关于的方程，解出即可.
（3）假设这样的等差数列存在，则，，成等差数列，即3，亦即（），分情况①当时②当时③当时讨论，由（）式可求得进行判断；③当时，由公差可得矛盾.
【考点】等差关系的确定，数列的函数特性，等比关系的确定．

23.【答案】（1）由方程：可知：，，，显然，由双曲线的几何图像性质可知，过的任意直线都与曲线相交．从曲线图像上取点，则直线与两曲线均有交点．这时直线方程为
（2）先证明“若直线与有公共点，则”．
双曲线的渐进线：
若直线与双曲线有交点，则．
若直线与双曲线有交点，则．
所以直线与有公共点，则．
，直线与曲线、不能同时有公共交点．
所以原点不是“型点”.
（3）设直线过圆内一点，则直线斜率不存在时与曲线无交点．
设直线方程为：，则：
假设直线与曲线相交上方，则.
【提示】（1）由双曲线方程可知，双曲线的左焦点为，当过左焦点的直线的斜率不存在时满足左焦点是“型点”，当斜率存在时，要保证斜率的绝对值大于等于该焦点与连线的斜率.
（2）由直线与有公共点联立方程组有实数解得到，分过原点的直线斜率不存在和斜率存在两种情况说明过远点的直线不可能同时与和有公共点.
（3）由给出的圆的方程得到圆的图形夹在直线与之间，进而说明当时过圆
内的点且斜率为的直线与无公共点，当时，过圆内的点且斜率为的直线与有公共点，再由圆心到直线的距离小于半径列式得出的范围，结果与矛盾．从而证明了结论．
【考点】直线与圆锥曲线的关系，点到直线的距离公式，双曲线的简单性质．
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