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基于裂纹扩展能量平衡的花岗岩动态本构模型研究

　　摘要　　本文滑移型裂纹模型并基于裂纹扩展过程中的能量平衡原理，建立了花岗岩材料的动态本构模型。结果表明，模型结果与实验结果符合得比较好。本文还进一步裂纹扩展引起的非线性应变特征。结果表明，在裂纹的扩展过程中，由于裂纹扩展引起的非线性应变对侧向应变的比轴向应变大，初始裂纹的滑移在花岗岩材料的非线性应变的贡献不能忽略。

关键词裂纹扩展 能量平衡 花岗岩 动态本构
Study on constitutive relation of rock under dynamic compression based on energy balance during crack growth* Abstract: Based on the sliding crack model and energy balance during crack growth, the dynamic constitutive relation of rock under different strain rates is established. It is shown that the simulation results agree with the experimental results.　properties of the no-elastic strain caused by the growth to the total strain are also studied. It is indicated that the no-elastic axial strain caused by the crack growth is larger than that of lateral strain. In addition, the contribution of the no-elastic strain caused by the initial crack’s sliding cannot be ignored. Keywords Crack growth Energy balance Granite Dynamic constitutive relation 一、前言岩石的动态本构模型是岩体结构在动载荷作用下响应的基本参数。从20世纪80年代开始，国内外人员在此方面进行了大量的工作。例如，于亚伦[1]用修正的过应力模型来描述岩石材料在加载速率为103s-1的应力应变关系。杨春和和曾祥国)用Bodner-Partam粘塑性模型描述了岩石材料在动三轴压缩应力作用下的响应。类似地，还有Liu & Katsabanis等人的工作。随着扫描电镜(SEM)和声发射等设备在岩石力学实验中的广泛，岩石材料在破坏过程中裂纹的扩展、分叉以及聚合等细观力学行为得到了较深入的。这些表明，岩石材料内部存在的微裂纹的扩展和聚合是岩石材料在外载荷作用下宏观力学特性的根本原因。基于这些结果，多种裂纹模型于岩石类脆性材料在承受压应力作用下的变形特性。在这些裂纹模型中，滑移型裂纹模型得到了最广泛的。Nemat-Nasser & Obata根据滑移型裂纹扩展的集合特征了脆性材料的非线性应变。在他们的中，总的非线性应变由三个部分形成：a)沿初始裂纹的滑动；b)垂直于裂纹方向的剪胀；c)拉伸裂纹的扩展。基于Catigiano的能量平衡，Kemeny提出一种简单的含滑移型裂纹的岩石材料在压应力作用下的变形特征。在他的工作中，岩石的非线性应变主要由拉伸裂纹扩展引起，忽略了由于初始裂纹滑移消耗引起的非线性应变。Basista&Gross根据内变量了含滑移型裂纹的非线性应变。在他们的中，非线性应变的分成两个阶段。在第一阶段，没有拉伸裂纹产生，能量的耗散由初始裂纹的滑移形成。在第二阶段，拉伸裂纹形成，并沿着最大主应力的方向扩展。在这一阶段，能量的耗散主要由拉伸裂纹的扩展形成。Ravichandran& Subhash也根据能量平衡了含滑移型裂纹的非线性应变，在他们的研究中，考虑了由初始裂纹滑移引起的能量耗散以及造成的非线性应变。本文基于Ravichandran& Subhash提出的裂纹扩展能量平衡原理，岩石在动态单轴压应力作用下(应变速率范围：10-4-100s-1)的本构模型，并与实验结果进行比较。本文还进一步裂纹扩展引起的非线性应变对总应变的贡献等。二、滑移型裂纹组模型基于Horii&Namat-Nasser和 Ashby和Hallam[10]的研究，本文采用图1(a)所示的简化滑移型裂纹模型。同时本文图2(b)所示的一组滑移型裂纹来模拟岩石材料在单轴向压应力作用下的劈裂破坏模式以考虑裂纹之间的相互作用。图中,初始裂纹长度为2c, 拉伸裂纹长度为2l，相邻裂纹间距为2w, 初始裂纹面与轴向应力之间夹角为q 。根据文[5-11]的工作，图1(b)简化成图1(c)所示的裂纹构形。图1(c)中，一组拉伸裂纹承受集中力F以及远场压应力作用。力F反应作用在初始裂纹面上的剪切力对拉伸裂纹的作用，在忽略初始裂纹面上的粘聚力时可以写成如下的形式 (1)式中，m 为裂纹面间的摩擦系数。根据叠加原理，图2(c)所示的一组裂纹的应力强度因子表达式为 (2)式中，，是为了保证式(2)在拉伸裂纹很小时依然适用。 根据文[11]的工作，在动载荷作用下，图2所示的裂纹组裂纹扩展准则为　(3)式中，为材料的瑞利波波速，n为裂纹扩展速率， 为岩石材料的动态断裂韧度。三、岩石的动态本构模型考虑图2所示的二维情况，岩石单元受轴向应力和侧向应力作用。在这种情况下应力矢量和应变矢量可以表述成2´1矩阵:　　(4)总的应变矢量可以分成两部分　(5)式中为由初始裂纹滑移以及拉伸裂纹扩展引起的非线性应变，弹性应变矢量，为不含裂纹的单元体在载荷作用下的应变，它与应力的关系可以表述成： 　　　(6)式中，E和为材料的弹性模量和泊松比；k为常数，在平面应变情况下，，平面应力情况下，。根据裂纹扩展过程中的能量平衡原理，在裂纹扩展过程中，外力做功主要用于克服初始裂纹滑移以及拉伸裂纹的扩展，如下式　(7)式中，为由于拉伸裂纹扩展而耗散的能量，Wf为由于初始裂纹滑移而耗散的能量，W1为外载荷做的功。假定由于裂纹形成的非线性应变与和成线性关系，有： 　(8)式中为常量，根据对称性，有。在这种情况下，外载荷所作的功W1为： =　(9)式中，4bh为含裂纹单元的面积(图2)。 由初始裂纹滑移消耗的能量为： 　　(10)式中，，为外载荷作用下，初始裂纹的滑移位移。 Nemat-Nasser& Obata 提出由于初始裂纹滑移产生的I型应力强度因子为： 　(11)式中，= ，是为了保证式(15)在l很小时的适用性。由于由初始裂纹滑移形成的I型应力强度因子应该等于由式(2)得到的应力强度因子，所以，由外载荷作用形成的初始裂纹滑动位移为 (12)这样，由初始裂纹滑移而耗散的能量为： (13)拉伸裂纹扩展所消耗的能量为： (14)在上式的第三项中，为了积分得方便，用l代替l+l*，则有： (15)根据式(9-10)、(13-15)，有所以，有　(16)式中 这样，由裂纹扩展引起的非线性应变为： (17)在不考虑裂纹相互作用对裂纹扩展造成的非线性应变时，含N条裂纹的岩石材料单元的总的非线性应变为。 由式(8)和(17)有： 　(18)在单轴向应力情况下，有 (19) 体应变为：
　　四、结果及分析文[14]的研究表明，岩石材料的初始裂纹长度(2c)与岩石的颗粒直径有关，一般地有，。在本文的分析中，取[14] 。根据文[13]的研究结果，花岗岩(取自新加坡Bukit Timah地区)的平均颗粒直径约为毫米，因此，取初始裂纹长度(2c)为毫米。与文的研究相似，在本文中，相邻裂纹的间距(2w)取为4倍的岩石初始裂纹长度即6毫米，裂纹面的摩擦系数m为，初始裂纹与轴向应力的夹角q为45° 。确定岩石材料单元体内的裂纹数量是一个比较复杂而难以解决的问题。通常采用裂纹密度的概念来间接描述单元体内的裂纹数量的多少，如Kemeny以及Fredrich&Evens[14]的工作。裂纹密度c定义为，其中，N/V为单位体积中的裂纹数量。在本文的研究中，V为单位厚度的单元体的体积，即4hb(图1(b))。Hadly[15]较早估计过未受载荷作用的Westly花岗岩的裂纹密度c=。Fredrich&Evens[14]的研究进一步指出，如果假定,那么c =　~ 基本上对应与每一个岩石颗粒周围含 ~ 个微裂隙。他们认为裂纹密度的这一取值范围是可信的。因此，在本文的分析中，取c =　。 其它的参数取值见文[11]。根据上述分析，可以得到单轴向压应力作用下岩石材料的应力应变关系。裂纹的扩展准则见式(3)。在式(3)未满足之前，岩石单元处于完全线弹性状态。此时单元体的应变由式(6)确定。当式(3)所示的裂纹扩展条件满足时，拉伸裂纹将产生扩展。此时，由于拉伸裂纹扩展以及初始裂纹滑移造成的非线性应变以及总的单元体应变由式(18)确定。文[13]关于Bukit Timah花岗岩的单轴动态实验结果表明，花岗岩材料的杨氏模量以及泊松比随应变速率的变化很小，可以看成是速率无关的量，因此在本文的模型研究中，花岗岩材料的杨氏模量以及泊松比分别取为65MPa以及。图2为由滑移型裂纹模型得到的不同应变速率下Bukit Timah花岗岩应力应变曲线以及与实验结果的对比，可以看出模型结果与实验结果基本符合。图3描述了应变速率为10-1 s-1时由于裂纹扩展引起的非线性应变与总应变的比值与轴向应力的关系。可以看出，这些比值随着轴向应力的增加而增加。在轴向应力达到最大值(强度值)时，对于轴向应变，由于裂纹扩展引起的非线性应变占轴向总应变的15%。因此，由于裂纹扩展引起的非线性应变对侧向应变的影响比轴向应变大。进一步的研究还表明，非线性应变对总应变的贡献在不同应变速率(10-4-100 s-1 )下基本相同[16]。 图4描述了当应变速率为10-1 s-1时，在非线性应变中，由于初始裂纹滑移引起的非线性应变与拉伸裂纹扩展引起的非线性应变的比值与轴向应力的关系。图5的结果表明，初始裂纹滑移引起的轴向非线性应变与拉伸裂纹扩展引起的轴向非线性应变的比值随着轴向应力的增加而减小，当轴向应力达到最大值时，二者的比值趋近于1。而对于侧向应变，初始裂纹滑移引起的非线性应变与拉伸裂纹扩展引起的非线性应变的比值随着轴向应力的增加而增加，当轴向应力达到最大值时，二者的比值约为左右。上述的结果表明，初始裂纹的滑移对花岗岩材料的非线性应变的贡献不能忽略。因此，如Basista & Gross 所指出，在Kemeny 的研究中，忽略初始裂纹滑移形成的非线性应变是不全面的。 五、结论本文基于裂纹扩展过程中的能量平衡原理，应用滑移型裂纹模型建立了花岗岩材料在应变速率为10-4到100s-1范围内的本构模型。分析结果表明，模型结果与实验结果符合得比较好。本文的研究结果还表明，在裂纹的扩展过程中，由于裂纹扩展引起的非线性应变对侧向应变的影响比轴向应变大，同时，初始裂纹的滑移在花岗岩材料的非线性应变的贡献不能忽略。参考文献[1] 于亚伦 .用三轴SHPB装置研究岩石的动载特性. 岩土工程学报,14(3):71-77, 1992. 杨春和，曾祥国. 高应变速率对岩石力学特性影响实验研究及其损伤本构关系的探讨. 中国青年学者岩土工程力学及其应用讨论论文集.286-290, 1994, 武汉. Liu LQ and Katsabanis PD. Development of a continuum damage for blasting analysis. Int J Rock Mech Min Sci,1997, 34(2): 217-231.　Nemat-Nasser S and Obata M. A microcrack model of dialatancy in brittle material. J Appl Mech,1988, 55:24-35. Kemeny JM. A model for non-linear rock deformation under compression due to sub-critical crack growth. Int J Rock Mech Min Sci, 1991, 28(6):459-467. Basista M and Gross D. The sliding crack model of brittle deformation: an internal variable approach. Int J Solids Structures, 1998, 35(5-6):487-509.　Ravichandran G and Subhash G. A micromechanical model for high strain rate behavior of ceramic. Int J Solids Structures, 1995, 32(17/18): 2627-2646.　Nemat-Nasser S & Horii H. Compression-induced nonplanar crack extension with application to splitting, exfoliation and rockburst. J Geophys Res.1982, 87: 6805-6821. Horii H and Nemat-Nasser S. Brittle failure in compression: splitting, faulting, and brittle-ductile transition. Phil Trans Royal Soc London, 1986;319:337-374.[10]Ashby MF and Hallam SD. The failure of brittle solids containing small cracks under compressive stress state. Acta Metall, 1986,34:497-510. [11]Li HB, Zhao J and Li TJ. Micromechanical modelling of mechanical properties of granite under dynamic uniaxial compressive loads. Int J Rock Mech Min Sci,2000;37:923-935.[12]Friedman M, Perkins RD and Green SJ. Observation of brittle-deformation features at the maximum stress of Westly granite and Solenhofen limestone. Int J Rock Mech Min Sci, 1970, 7: 297-306. [13]Zhao J, Li HB and Zhao YH. Dynamic strength tests of the Bukit Timah granite. Geotechnical Research Report NTU/GT/98-2, Nanyang Technological University, Singapore, 1998, 106pp. [14]Fredrich JT and Evens B. Effect of grain size on brittle and semibritlle strength: implication for micromechanics modelling of failure in compression. J Geophys Res,1990,95:10907-10920.“[15]Hadley K. Comparison of calculated and observed crack densities and seismic velocities of Westly granite. J Geophys Res,1976,81:3484-3494.[16]李海波, 花岗岩材料在动态压应力作用下力学特性的实验与模型研究. 中国科学院武汉岩土力学研究所博士学位论文. 1999.[16](a) (b)　(c)图1 本文采用的滑移型裂纹示意图 Sliding crack model in the present paper(a) Strain rate: 10-4 s-1(b) Strain rate: 10-3 s-1(c) Strain rate: 10-1 s-1(d) Strain rate: 100 s-1图2　不同应变速率下的花岗岩应力应变曲线(模拟结果与实验结果比较) Stress strain curves for granite under different strain rates 图3 非线性应变与总应变比值与轴向应力的关系 Change of noelastic strain/total strain with axial stress图4　初始裂纹滑移引起的非线性应变与拉伸裂纹扩展引起的非线性应变的比值与轴向应力的关系