工学线线线面关系.pptx

1 第四章第四章直线与平面、平面与平直线与平面、平面与平面的相对位置面的相对位置21.1.直线与平面、平面与平面平行直线与平面、平面与平面平行2.2.直线与平面、平面与平面相交直线与平面、平面与平面相交3.3.直线与平面、平面与平面垂直直线与平面、平面与平面垂直内内 容容31.1.平行问题平行问题 定定 理理 若直线平行若直线平行若直线平行若直线平行于平面内一直线，于平面内一直线，于平面内一直线，于平面内一直线，则该直线平行于则该直线平行于则该直线平行于则该直线平行于平面。平面。平面。平面。反之，若直反之，若直反之，若直反之，若直线平行于平面，线平行于平面，线平行于平面，线平行于平面，则在平面内必可则在平面内必可则在平面内必可则在平面内必可作一直线与该直作一直线与该直作一直线与该直作一直线与该直线平行。线平行。线平行。线平行。ddabcabckkll直线直线/平面平面平面平面/平面平面直线直线/平面平面4直线与平面平行作图问题直线与平面平行作图问题判别已知线面是否平行；判别已知线面是否平行；作直线与已知平面平行；作直线与已知平面平行；包包含含已已知知直直线线作作平平面面与与另另一一已已知直线平行。知直线平行。5有多少解？有多少解？例例1：过：过M点作直线点作直线MN平行于平面平行于平面ABC。有无数解有无数解n a c b m abcmn116例例2：过：过M点作直线点作直线MN平行于平行于V面面和平面和平面ABC。c b a m acmnn 11b定定理理二二正平线正平线mnox唯一解唯一解有多少解？有多少解？7例题例题3 试判断直线试判断直线AB是否平行于定平面是否平行于定平面 fgfgbaabcededc结论：直线结论：直线ABAB不平行于定平面不平行于定平面8例题4 包含已知直线作平面与另一已知直线平行9 若一平面上的若一平面上的两两相交直线相交直线对应平行于对应平行于另一平面上的另一平面上的两相交两相交直线，直线，则这两平面相则这两平面相互平行。互平行。若两若两投影面垂直面投影面垂直面相互平行，则它们相互平行，则它们具具有积聚性有积聚性的那组投影的那组投影必相互平行。必相互平行。f h abcdefha b c d e 平面平面/平面平面abcbcaefdfdegg10两平面平行的作图问题两平面平行的作图问题 判别两已知平面是否相互平行；判别两已知平面是否相互平行；过一点作一平面与已知平面平行；过一点作一平面与已知平面平行；已知两平面平行，完成其中一平面的投影。已知两平面平行，完成其中一平面的投影。11例题例题5 试判断两平面是否平行。试判断两平面是否平行。f e d edfc a acb bmnmnrrss结论：两平面平行结论：两平面平行12例题例题5 已知定平面由平行两直线已知定平面由平行两直线AB和和CD给定。给定。试过点试过点K作一平面平行于已知平面作一平面平行于已知平面。emnmnfefsrsrddcaacbbkk13 c a c b a b d 例例6 6：过点作已知平面的平行面。：过点作已知平面的平行面。e e df ff14 c a c b a b d d 例例7 7：判别平行直线与所确定的平面：判别平行直线与所确定的平面与平行直线和所决定的平面是否相互与平行直线和所决定的平面是否相互平行。平行。e e f kgg k f两平面不平行两平面不平行152.2.相交问题相交问题直线与平面相交直线与平面相交-交点为共有点交点为共有点平面与平面相交平面与平面相交-交线为共有线交线为共有线 求相交问题的本质是求共有点求相交问题的本质是求共有点几何元素相对几何元素相对投影面的位置投影面的位置均不具有积聚均不具有积聚性投影性投影 至少其一具至少其一具有积聚性投影有积聚性投影一般位置的相交问题一般位置的相交问题特殊位置的相交问题特殊位置的相交问题16（1 1）直线与平面相交）直线与平面相交 直线与平面相交，其直线与平面相交，其交点交点是直线与平面的是直线与平面的共有点。共有点。要讨论的问题：要讨论的问题：求求直线与平面的直线与平面的交点。交点。判别两者之间的相互遮挡关系，即判别两者之间的相互遮挡关系，即 判别可见性判别可见性。（平面是不透明的）（平面是不透明的）难点难点17b ba acc m mnn 直线与直线与特殊位置特殊位置平面相交平面相交由于由于特殊位置特殊位置平面的某些投影有积聚性，交点可平面的某些投影有积聚性，交点可直接求出。直接求出。VHPHPABCacbkNKMkk 18判断直线的可见性判断直线的可见性VHPHPABCacbkNKMbbaaccmmnkkn 特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能直接判别直线的可见性。直接判别直线的可见性。19efef求直线求直线EF与平面的交点与平面的交点kk例例1K分析：分析：平面为铅垂面，在水平平面为铅垂面，在水平面内积聚为直线面内积聚为直线直线为一般位置直线直线为一般位置直线则交点的水平投影则交点的水平投影k应应在平面积聚的投影与直在平面积聚的投影与直线的交点处线的交点处判别可见性：判别可见性：利用利用直观性直观性H面的投影交点以左面的投影交点以左ek在平面之前，故在平面之前，故V面投影面投影ek可见可见,画为粗实线画为粗实线202（）求直线求直线EF与平面与平面ABC的交点的交点K.k kkk判别可见性判别可见性例例2bebacacfe fK分析：分析：直线直线EF为铅垂线为铅垂线平面平面ABCABC为一般位置平面为一般位置平面ef=0 直线上的点都积聚直线上的点都积聚在一点，所以在一点，所以k在在ef的积聚的积聚点上点上121利用重影点来判别利用重影点来判别交点交点K属于直线也属于平面属于直线也属于平面dd特殊直线与一般特殊直线与一般位置位置平面相交平面相交21一般位置的相交问题一般位置的相交问题adebcaedcbP PHHmnmnkkk k作图步骤作图步骤包含直线作辅助平面（垂直面）包含直线作辅助平面（垂直面）求辅助平面与已知平面的交线求辅助平面与已知平面的交线交线与已知直线的交点即为所求交线与已知直线的交点即为所求例例3 3 求求DEDE 面面ABCABCK KE ED DA AB BC CMMN NKKP最后判别可见性最后判别可见性22步骤步骤：含已知线含已知线 EFEF作辅助面作辅助面 P P（垂直面）（垂直面）PEFMNKABCacbab c X O effePHmnmnkk112 332()交点交点K K为为与与EFEF的公有点的公有点 含含 EFEF作作 P PHH 与与 P P 相交于直线相交于直线 MNMN MNMN与与 EFEF共面于共面于P,P,交于交于K K K K既在既在EFEF上，又在上，又在上，上，交点交点K K即为即为与与EFEF的交点。的交点。求求 P P与已知面的交线与已知面的交线 MNMN求求MNMN与与EFEF的交点的交点 K K，即所求，即所求利用重影点判断可见性利用重影点判断可见性K例例4：求直线：求直线EF与平面与平面ABC的交点并判别可见性。的交点并判别可见性。空间分析空间分析23（2）平面与平面相交）平面与平面相交 两平面相交其交线为直线，两平面相交其交线为直线，交线是两平交线是两平面的共有线，面的共有线，同时同时交线上的点都是两平面的交线上的点都是两平面的共有点。共有点。要讨论的问题：要讨论的问题：求求两平面的两平面的交线交线方法：方法：确定两平面的确定两平面的两个共有点。两个共有点。确定确定一个共有点一个共有点及及交线的方向。交线的方向。判别两平面之间的相互遮挡关系，判别两平面之间的相互遮挡关系，即：即：判别可见性。判别可见性。24一般位置平面与一般位置平面与特殊位置特殊位置平面相交平面相交 求两平面交线的问题可以看作是求求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点两个共有点的问题的问题,由由于于特殊位置特殊位置平面的某些投影有积聚性平面的某些投影有积聚性，交线可直接求出。交线可直接求出。nlmmlnbaccabfkf k VHMmnlPBCacbPHkfFKNL25判断平面的可见性判断平面的可见性bbacnlmcmalnfkf kVHMmnlBCackfFKNL26求二平面的交线求二平面的交线MN.MN.mnnm例例5 5bacabcMMN N分析：分析：三角形三角形为一般位置平面为一般位置平面四边形四边形为铅垂面。为铅垂面。水平投影积聚为线水平投影积聚为线交线交线MN在在H面内的面内的投影在四边形的积投影在四边形的积聚投影上聚投影上27可通过正面投影可通过正面投影直观地进行判别。直观地进行判别。abcdefc f db e a m(n)分析：分析：平面平面ABC与与DEF都为都为正正垂面垂面，它们的正面投影都，它们的正面投影都积聚成直线。积聚成直线。交线必为一交线必为一条正垂线条正垂线，只要求得交线只要求得交线上的一个点便可作出交线上的一个点便可作出交线的投影。的投影。求交线求交线 判别可见性判别可见性作作 图图 从正面投影上可看出，从正面投影上可看出，在交线左侧，平面在交线左侧，平面ABC在上，在上，其水平投影可见。其水平投影可见。nm能否不用重能否不用重影点判别？影点判别？能能!如何判别？如何判别？例例6 6：求平面：求平面ABCABC与平面与平面DEFDEF的交线的交线MNMN并判别可，并判别可见性。见性。28R RV VS SV V用求一般位置线面交点的方法求解用求一般位置线面交点的方法求解结果结果基本方法：基本方法：线面求交点。线面求交点。两个一般位置平面相交两个一般位置平面相交29XOacbacbdefdef例例7：求求ABCABC与与DEFDEF的交线的交线。分析：分析：两平面均为一般位置平面两平面均为一般位置平面不能直接确定其交线不能直接确定其交线解决的办法：解决的办法：借助于辅助平面借助于辅助平面两平面的两平面的交线是一交线是一条直线条直线，只要求得，只要求得直线上的两点，即直线上的两点，即可以确定该交线，可以确定该交线，而点可以看作是而点可以看作是一一个平面上的直线个平面上的直线与与另一平面另一平面的的交点交点。故故:将问题转换为求将问题转换为求一般直线与平面交一般直线与平面交点点的问题的问题30beacdfacbdefPV1212kkQH3434ll55(),66()利用辅助面法利用辅助面法求求ABAB与与DEFDEF的交点的交点K K步骤：步骤：利用辅助面法利用辅助面法求求EFEF与与ABCABC的交点的交点L L连接连接KLKL，即即ABCABC与与DEFDEF的交线的交线利用重影点判断可见性利用重影点判断可见性31例例8 8112233441 12 23 34 4mmmm55885 58 8n nnnP P1 1P P2 2R RS SMMN N1 12 23 34 45 56 67 78 8求两平面的交线求两平面的交线R RV VS SV V用用“三面共点三面共点”原理求解原理求解作图步骤作图步骤作辅助平面（作辅助平面（作辅助平面（作辅助平面（投影面）投影面）投影面）投影面）分别求辅助平面与二已知平面的交线分别求辅助平面与二已知平面的交线分别求辅助平面与二已知平面的交线分别求辅助平面与二已知平面的交线求二交线的交点即为二平面交线上的点求二交线的交点即为二平面交线上的点求二交线的交点即为二平面交线上的点求二交线的交点即为二平面交线上的点323.3.垂直问题垂直问题直线与平面垂直直线与平面垂直几几 何何 定定 理理 若一直线垂直若一直线垂直于某平面，则此于某平面，则此直线必垂直于该直线必垂直于该平面内的一切直平面内的一切直线。反之若一直线。反之若一直线垂直于某平面线垂直于某平面内二相交直线则内二相交直线则此直线必垂直于此直线必垂直于该平面。该平面。包括包括:直线直线 平面、平面平面、平面 平面、直线平面、直线 直线直线33当直线垂直于投影面的垂直面时，这条直当直线垂直于投影面的垂直面时，这条直线平行于该投影面，直线与平面在该投影线平行于该投影面，直线与平面在该投影面上的投影也互相垂直。面上的投影也互相垂直。34V VH HA AB BE EC CD Dc cddaabbc ce ea ab bAB P（DCECD/VCE/Hab cdab ce 若直线垂直于平面，则直线的水平投影若直线垂直于平面，则直线的水平投影垂直于平面内水平线的水平投影；直线的垂直于平面内水平线的水平投影；直线的正面投影垂直于平面内正平线的正面投影正面投影垂直于平面内正平线的正面投影直线投影方向如何确定直线投影方向如何确定35c a b abc m m例例1：过：过M点作直线点作直线MN垂直于平面垂直于平面ABC。n.n作图步骤：作图步骤：面内作一任意正平线面内作一任意正平线面内作一任意水平线面内作一任意水平线直线的正面投影直线的正面投影(m(m n n)垂直正平线的正面投影垂直正平线的正面投影直线的水平投影直线的水平投影(mn(mn)垂直水平线的水平投影垂直水平线的水平投影36例例2：过：过M点作直线点作直线MN垂直于平面垂直于平面ABC。c a b abc m m.nn n 如何确定？如何确定？n 垂直于投影面垂直垂直于投影面垂直面的线一定是该投面的线一定是该投影面的平行线影面的平行线平面平面ABC为铅垂面为铅垂面水平投影为积聚直线水平投影为积聚直线直线直线MN垂直于平面，垂直于平面，则则 mnabcMN为水平线。故为水平线。故mn ox37两平面垂直两平面垂直几几 何何 定定 理理 若一直线垂直于某平面，则包含此直线的一若一直线垂直于某平面，则包含此直线的一切平面均垂直于该平面。反之，若两平面相互切平面均垂直于该平面。反之，若两平面相互垂直，则由平面垂直，则由平面A内任一点向平面内任一点向平面B所作的垂所作的垂线必在平面线必在平面A内。内。3839互相垂直的两平面垂直于同一投影面时，互相垂直的两平面垂直于同一投影面时，它们在这个投影面上的投影也互相垂直。它们在这个投影面上的投影也互相垂直。40例例3 3过点过点A作平面垂直于平面作平面垂直于平面aaa abbb b分析分析包含已知平面的垂线的平面包含已知平面的垂线的平面 已知平面已知平面过点过点A作直线作直线 已知平面已知平面包含该垂线作平面包含该垂线作平面作图步骤作图步骤c cc c平面平面ABCABC为所求为所求41例例4 4求点求点A到到BC之距之距aaa ab bc cbbc c分析分析过点过点A与与BC垂直垂直相交的直线段为相交的直线段为点到直线之距点到直线之距作图步骤作图步骤过点过点A作平面作平面 S BC求求BC SK连接连接AK，即为所求即为所求k kkkP PV V此例为作两一般位置此例为作两一般位置此例为作两一般位置此例为作两一般位置直线垂直相交的方法直线垂直相交的方法直线垂直相交的方法直线垂直相交的方法ss42aabba ab bc cc cddd d完成矩形完成矩形ABCD的投影的投影分析分析矩形的对边相互平行矩形的对边相互平行邻边相互垂直邻边相互垂直本题关键是求本题关键是求bc作图步骤作图步骤过点过点B作平面作平面 AB在平面内取直线在平面内取直线BC作作AD/BC CD/BA综合问题举例综合问题举例43acab已知已知ABC为等边三角形，为等边三角形，ab/OX，完成其投影，完成其投影ADBC分析分析bb已知已知已知已知CB(=ab)CB(=ab)、cbcb，求求求求cbcbCBP实长实长距距P之差之差CB实长实长cbCB距距V之差之差c为什么不取上面的点为什么不取上面的点b?因为实长因为实长ab不可能小于投影。不可能小于投影。44BCA直线直线与直线垂直与直线垂直问题的提出：如何求解点到线的距离，即过一点问题的提出：如何求解点到线的距离，即过一点作另一条直线的垂线，应如何作图？作另一条直线的垂线，应如何作图？(两个一般位置直线两个一般位置直线)空间分析空间分析过点过点A A与与BCBC垂直的垂直的直线有多少条直线有多少条?作图步骤作图步骤过点过点 A A 作平面作平面P P BCBC求求P P平面与平面与BCBC的交点的交点K K连接连接 AKAK即为所求即为所求kkqVpp例例5 5：过：过A A点作一直线点作一直线AKAK与与BCBC垂直相交。垂直相交。aabcbc无数条无数条这无数条直线组成了平面这无数条直线组成了平面P PP PAKAK一定位于一定位于P P平面上，垂足平面上，垂足K K为为BCBC与与P P的交点的交点思考思考若求若求A点到直线点到直线BC的距离，的距离，如何求解？如何求解？K45本章小结本章小结1.1.平行问题平行问题2.2.相交问题相交问题本章主要内容本章主要内容：直线与平面直线与平面 及及平面与平面平面与平面的相对位置的相对位置平行的几何条件平行的几何条件投影图上的作图问题投影图上的作图问题线面相交线面相交（求交点、判（求交点、判别可见性）别可见性）面为投影面垂直面面为投影面垂直面利用面投影积聚性求利用面投影积聚性求线为投影面垂直线线为投影面垂直线利用线投影积聚性求利用线投影积聚性求线面都为一般位置线面都为一般位置利用辅助平面法求利用辅助平面法求面面相交面面相交（求交线、判（求交线、判别可见性）别可见性）投影面垂直面与一般位置面相交投影面垂直面与一般位置面相交利用面投影积聚性求利用面投影积聚性求相交两面同时垂直某一投影面相交两面同时垂直某一投影面交线必为该面的投影面垂直线交线必为该面的投影面垂直线两一般位置平面相交两一般位置平面相交辅助平面法求辅助平面法求(转为线面求交点）转为线面求交点）463.3.垂直问题垂直问题线面垂直线面垂直（垂直几何（垂直几何条件）条件）面为投影面垂直面面为投影面垂直面（面有积聚性的投影与线的同面有积聚性的投影与线的同面投影必垂直）面投影必垂直）面为一般位置平面面为一般位置平面（线的正面投影与面内正平线的线的正面投影与面内正平线的正面投影垂直，线的水平投影与面内正面投影垂直，线的水平投影与面内水平线的水平投影垂直）水平线的水平投影垂直）面面垂直面面垂直（垂直几何（垂直几何条件）条件）两面同时垂直某一投影面两面同时垂直某一投影面（有积聚性的投影必垂直）有积聚性的投影必垂直）两一般位置平面垂直两一般位置平面垂直（过其中一面内一点向另一平面作垂线，过其中一面内一点向另一平面作垂线，则此垂线一定属于第一个平面）则此垂线一定属于第一个平面）线线垂直线线垂直其中一条线为投影面平行线其中一条线为投影面平行线（两线在其中一线平行的投影面上两线在其中一线平行的投影面上的投影必垂直）的投影必垂直）两一般位置直线垂直两一般位置直线垂直（过点作另一条线的垂线或求点到过点作另一条线的垂线或求点到线的距离问题）线的距离问题）47作业：练习册作业：练习册48 直线与平面、两平面的相对位置直线与平面、两平面的相对位置点、直线、平面之间的相对位置点、直线、平面之间的相对位置从属关系从属关系平行关系平行关系相交关系相交关系属于直线的点属于直线的点属于平面的点属于平面的点属于平面的直线属于平面的直线直线与直线平行直线与直线平行直线与平面平行直线与平面平行平面与平面平行平面与平面平行直线与直线相交直线与直线相交直线与平面相交直线与平面相交平面与平面相交平面与平面相交垂直关系垂直关系直线与平面垂直直线与平面垂直平面与平面垂直平面与平面垂直直线与直线垂直直线与直线垂直