江苏专版2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测二十六平面向量的基本定理及坐标表示理含解析苏教版.doc

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课时跟踪检测（二十六） 平面向量的基本定理及坐标表示
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1．(2019·南通检测)已知点A(－1,2)，B(2,8)．若＝－，＝，则的坐标为________．
解析：∵A(－1,2)，B(2,8)，∴＝(－3，－6)，
则＝－＝(1,2)，＝＝(2,4)，
∴＝－＝(2,4)－(1,2)＝(1,2)．
答案：(1,2)
2．(2018·南京学情调研)设向量a＝(1，－4)，b＝(－1，x)，c＝a＋3b.若a∥c，则实数x的值是________．
解析：因为a＝(1，－4)，b＝(－1，x)，所以c＝a＋3b＝(－2，－4＋3x)．又a∥c，所以－4＋3x－8＝0，解得x＝4.
答案：4
3．(2018·苏州中学测试)已知A(2,1)，B(3,5)，C(3,2)，＝＋t (t∈R)，若点P在第二象限，则实数t的取值范围是________．
解析：设点P(x，y)，则由＝＋t (t∈R)，
得(x－2，y－1)＝(1,4)＋t(1,1)＝(1＋t,4＋t)，
所以解得
由点P在第二象限，得
所以－5＜t＜－3.
答案：(－5，－3)
4．(2018·苏州期末)已知向量＝(m,5)，＝(4，n)，＝(7,6)，则m＋n的值为________．
解析：∵向量＝(m,5)，＝(4，n)，
∴＝－＝(4－m，n－5)，
又＝(7,6)，∴解得m＝－3，n＝11，
∴m＋n＝8.
答案：8
5．(2019·启东月考)已知向量a＝，b＝(x,1)，其中x＞0，若(a－2b)∥(2a＋b)，则x的值为________．
解析：a－2b＝，2a＋b＝(16＋x，x＋1)，
由(a－2b)∥(2a＋b)，
得(8－2x)(x＋1)＝(16＋x)，
解得x＝4(负值舍去)．
答案：4
6．(2018·泰州期末)在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B分别为x轴，y轴上一点，且AB＝2，若点P(2，)，则|＋＋|的取值范围是________．

解析：因为AB＝2，所以AB的中点M在以原点为圆心，1为半径的圆上运动(如图所示)，则|＋＋|＝|2＋|，当M点为射线OP与圆的交点时，|2＋|的最小值为7，当M点为射线OP的反向延长线与圆的交点时，|2＋|的最大值为11，所以|＋＋|的取值范围是[7,11]．
答案：[7,11]
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1．已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，则c＝________.
解析：由题意可得3a－2b＋c＝(23＋x,12＋y)＝(0,0)，
所以解得所以c＝(－23，－12)．
答案：(－23，－12)
2．已知A(－3,0)，B(0，)，O为坐标原点C在第二象限，且∠AOC＝30°，＝λ＋，则实数λ的值为________．
解析：由题意知＝(－3,0)，＝(0，)，
则＝(－3λ，)，
由∠AOC＝30°，知以x轴的非负半轴为始边，OC为终边的一个角为150°，
所以tan 150°＝，即－＝－，所以λ＝1.
答案：1
3．已知点A(2,3)，B(4,5)，C(7,10)，若＝＋λ (λ∈R)，且点P在直线x－2y＝0上，则λ＝________.
解析：设P(x，y)，则由＝＋λ，得(x－2，y－3)＝(2,2)＋λ(5,7)＝(2＋5λ，2＋7λ)，所以x＝5λ＋4，y＝7λ＋5.又点P在直线x－2y＝0上，故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－.
答案：－
4．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若＝a，＝b，则＝________(用a，b表示)．
解析：如图，因为＝a，＝b，
所以＝＋＝＋＝a＋b.
因为E是OD的中点，
所以＝，
所以|DF|＝|AB|.
所以＝＝(－)＝×＝－＝a－b，
所以＝＋＝a＋b＋a－b＝a＋b.
答案：a＋b
5．已知a，c是同一平面内的两个向量，其中a＝(1,2)，|c|＝2，且a∥c，则向量c＝________.
解析：设向量c＝(x，y)，因为a，c是同一平面内的两个向量，其中a＝(1,2)，|c|＝2，且a∥c，可得2x＝y，并且x2＋y2＝20，解得x＝2，y＝4或x＝－2，y＝－4.所以c＝(2,4)或c＝(－2，－4)．
答案：(2,4)或(－2，－4)
6．(2018·白蒲中学高三期末)若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2，2)，则a在另一组基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐标为________．
解析：因为a在基底p，q下的坐标为(－2,2)，即a＝－2p＋2q＝(2,4)，令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，所以即所以a在基底m，n下的坐标为(0,2)．
答案：(0,2)
7．(2018·溧水高级中学测试)如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D，若＝m＋n，则m＋n的取值范围是________．
解析：由题意得，＝k (k＜0)，又|k|＝＜1，所以－1＜k＜0.又因为B，A，D三点共线，所以＝λ＋(1－λ)，所以m＋n＝kλ＋k(1－λ)，所以m＝kλ，n＝k(1－λ)，所以m＋n＝k，从而m＋n∈(－1,0)．
答案：(－1,0)
8．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则 ＝________.

解析：以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，
则A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，
所以a＝＝(－1,1)，b＝＝(6,2)，c＝＝(－1，－3)．
因为c＝λa＋μb，
所以(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，
即－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，
解得λ＝－2，μ＝－，所以＝4.
答案：4
9．(2019·淮安一模)已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．
(1)当k为何值时，k a－b与a＋2b共线；
(2)若＝2a＋3b，＝a＋m b，且A，B，C三点共线，求m的值．
解：(1)ka－b＝k(1,0)－(21)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．
∵k a－b与a＋2b共线，
∴2(k－2)－(－1)×5＝0，
解得k＝－.
(2)∵A，B，C三点共线，
∴存在实数λ，使得＝λ，
即2a＋3b＝λ(a＋mb)＝λa＋λmb，
又a与b不共线，∴解得m＝.
10．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(2,1)，A(1,0)，B(cos θ，t)， a∥.
(1)若||＝||，求向量的坐标；
(2)求y＝cos2θ－cos θ＋t2的最小值．
解：(1)因为＝(cos θ－1，t)，
又a∥，所以2t－cos θ＋1＝0.
所以cos θ＝2t＋1.①
又因为||＝||，所以(cos θ－1)2＋t2＝5.②
由①②得，5t2＝5，所以t2＝1.所以t＝±1.
当t＝1时，cos θ＝3(舍去)，当t＝－1时，cos θ＝－1，
所以B(－1，－1)，所以＝(－1，－1)．
(2)由(1)可知t＝，
所以y＝cos2θ－cos θ＋＝cos2θ－cos θ＋＝＋＝ 2－，
所以，当cos θ＝时，ymin＝－.
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1．已知△ABC是边长为4的正三角形，D，P是△ABC内的两点，且满足＝(＋)，＝＋，则△APD的面积为________．
解析法一：取BC的中点E，连接AE，由于△ABC是边长为4的正三角形，则AE⊥BC，＝(＋)，又＝(＋)，所以点D是AE的中点，AD＝.取＝，以AD，AF为邻边作平行四边形，可知＝＋＝＋.而△APD是直角三角形，AF＝，所以△APD的面积为××＝.

法二：以A为原点，以BC的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
因为等边三角形ABC的边长为4，
所以B(－2，－2)，C(2，－2)，
由题知＝(＋)＝[(－2，－2)＋(2，－2)]＝(0，－)，
＝＋＝(0，－)＋(4,0)＝，
所以△ADP的面积为S＝||·||＝××＝.
答案：

2．(2018·启东中学检测)在平面直角坐标系中，若O为坐标原点，则A，B，C三点在同一直线上的充要条件为存在唯一的实数λ，使得＝λ＋(1－λ)成立，此时称实数λ为“向量关于和的终点共线分解系数”．若已知P1(3，1)，P2(－1,3)，P1，P2，P3三点共线且向量与向量a＝(1，－1)共线，则“向量关于和的终点共线分解系数”为________．
解析：设＝(x，y)，则由∥a，知x＋y＝0，于是＝(x，－x)，设＝λ＋(1－λ)，则有(x，－x)＝λ(3,1)＋(1－λ)(－1,3)＝(4λ－1,3－2λ)，即于是4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1.
答案：－1
3．已知三点A(a,0)，B(0，b)，C(2,2)，其中a＞0，b＞0.
(1)若O是坐标原点，且四边形OACB是平行四边形，试求a，b的值；
(2)若A，B，C三点共线，试求a＋b的最小值．
解：(1)因为四边形OACB是平行四边形，
所以＝，即(a,0)＝(2,2－b)，
解得
故a＝2，b＝2.
(2)因为＝(－a，b)，＝(2,2－b)，
由A，B，C三点共线，得∥，
所以－a(2－b)－2b＝0，即2(a＋b)＝ab，
因为a＞0，b＞0，
所以2(a＋b)＝ab≤2，
即(a＋b)2－8(a＋b)≥0，
解得a＋b≥8或a＋b≤0.
因为a＞0，b＞0，
所以a＋b≥8，
即a＋b的最小值是8.
当且仅当a＝b＝4时，“＝”成立．