高考数学艺体生好题突围系列基础篇专题02命题及其关系充分条件和必要条件.doc

1 专题专题 02 02 命题及其关系、充分条件和必要条件命题及其关系、充分条件和必要条件 命题及其关系【背一背基础知识】一命题的概念 在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题 二四种命题及其关系 1四种命题 命题 表述形式 原命题 若p，则q 逆命题 若q，则p 否命题 若p，则q 逆否命题 若q，则p 即：如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题；如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，这个命题叫做原命题的否命题；如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，这个命题叫做原命题的逆否命题.2四种命题间的逆否关系 3四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系【讲一讲基本技能】必备技能：必备技能：2 1.四种命题反映出命题之间的内在联系，要注意结合实际问题，理解其关系（尤其是两种等价关系）的产生过程，关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以叙述为：（1）交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原来命题的逆命题；（2）同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原来的否命题；（3）交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题.注意：在写其他三种命题时，大前提必须放在前面.2.正确的命题要有充分的依据，不一定正确的命题要举出反例，这是最基本的数学思维方式，也是两种不同的解题方向，有时举出反例可能比进行推理论证更困难，二者同样重要 3.判断四种形式的命题真假的基本方法是先判断原命题的真假，再判断逆命题的真假，然后根据等价关系确定否命题和逆否命题的真假如果原命题的真假不好判断，那就首先判断其逆否命题的真假 4.否命题与命题的否定是两个不同的概念：否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题；命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法 典型例题典型例题 例 1 命题“若ab，则acbc ”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是（）A 分析：由不等式的性质，可得命题的四种形式的真假.【答案】例 2 下列命题正确的个数是（）“在三角形 ABC 中，若sinsinAB,则AB”的逆命题是真命题；命题:2p x 或3y，命题:5q xy则p是q的必要不充分条件；“32,10 xR xx ”的否定是“32,10 xR xx ”；若|ab，则ab的逆否命题为真命题；回归分析中，回归方程可以是非线性方程.A.1 B.2 C.3 D.4 分析：本小题关键是考查原命题与逆命题的真假关系，说明假命题可以列举一些特殊值.【答案】C 3【练一练趁热打铁】1.在命题 p 的四种形式的命题(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，正确命题的个数记为 f(p)，已知命题p：“若两条直线l1：a1xb1yc10，l2：a2xb2yc20平行，则a1b2a2b10”那么f(p)_ 【答案】2 2.下列命题正确的个数是()命题“2000,13xR xx”的否定是“2,13xR xx ”；函数22()cossinf xaxax的最小正周期为”是“1a”的必要不充分条件；22xxax在1,2x上恒成立maxmin2)()2(axxx在1,2x上恒成立；“平面向量a与b的夹角是钝角”的充分必要条件是“0a b”.(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【答案】B【解析】因为命题“,x p”的否定为“,xp”，因此正确；因为()cos2,f xax所以2|a，即1a ，因此正确；因为22xxax在1,2x上恒成立2ax在1,2x上恒成立min(2)ax，1,2x，因此不正确；因为钝角不包含180,而由0a b 得向量夹角包含180,因此“平面向量a与b的夹角是钝角”的充分必要条件是“0a b 且a与b不反向”，故不正确.4 充分条件和必要条件充分条件和必要条件 【背一背基础知识】一般地，如果已知 pq，那么就说：p 是 q 的充分条件；q 是 p 的必要条件.可分为四类：（1）充分不必要条件，即 pq,而 qp；(2)必要不充分条件，即 pq,而 qp；(3)既充分又必要条件，即 pq，又有 qp；(4)既不充分也不必要条件，即 pq，又有 qp.一般地，如果既有 pq，又有 qp，就记作：pq.“”叫做等价符号.pq 表示 pq 且 qp.这时 p 既是 q 的充分条件，又是 q 的必要条件，则 p 是 q 的充分必要条件，简称充要条件.一个等价关系：互为逆否命题的两个命题的真假性相同，对于一些难于判断的命题可转化为其等价命题来判断.【讲一讲基本技能】充要关系的几种判断方法：(1)定义法：若,pq qp，则p是q的充分而不必要条件；若,pq qp ，则p是q的必要而不充分条件；若,pq qp，则p是q的充要条件；若,pq qp，则p是q的既不充分也不必要条件.(2)等价法：即利用pq与qp；qp与pq；pq与qp的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法(3)充要关系可以从集合的观点理解，即若满足命题p的集合为M，满足命题q的集合为N，则M是N的真子集等价于p是q的充分不必要条件，N是M的真子集等价于p是q的必要不充分条件，MN等价于p和q互为充要条件，M，N不存在相互包含关系等价于p既不是q的充分条件也不是q的必要条件【特别提醒】1.充分条件与必要条件的两个特征 (1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“pq”“qp”；(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件 注意区分“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”两者的不同，前者是“,pq qp”而后者是“,pq qp”2从逆否命题谈等价转换：由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而，当判断原命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假，这就是常说的“正难则反”3充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解(2)要注意区间端点值的检验 2.典型例题 例 1“1sin2x ”是“6x”的条件 5 分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可【答案】既不充分也不必要条件 例 2 若 aR，则“a1”是“|a|1”的 （）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 分析：本小题考查充分必要性的判断【答案】A.【解析】若 a1，则|a|1 是真命题，即 a1|a|1，由|a|1 可得 a1，所以若|a|1，则有 a1 是假命题，即|a|1a1 不成立所以 a1 是|a|1 的充分而不必要条件，故选 A.【练一练趁热打铁】1.设ba,为向量.则baba是ba的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也必要条件 【答案】2.设0a，且1a，则“函数logayx在0,上是减函数”是“函数32ya x在R上是增函数”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】函数logayx在0,上是减函数，则01a；函数32ya x在R上是增函数，则20a，则2a，因此“函数logayx在0,上是减函数”是“函数32ya x在R上是增函 6 数”的充分而不必要条件，故选 A.（一）（一）选择题（选择题（12*5=6012*5=60 分）分）1.命题“若1x1，则 x21”的逆否命题是()A.若 x1 或 x1，则 x21 B.若 x21，则1x1，则 x1 或 x1 D.若 x21，则 x1 或 x1【答案】D 2.给出命题：已知a、b为实数，若1ab，则14ab在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（）.A3 .B2.C1.D0 3.下列四个命题中，正确命题的个数是()个 若平面/平面，直线/m平面，则/m；若平面平面，且平面平面，则/；平面平面，且l，点A，Al，若直线ABl，则AB；直线mn、为异面直线，且m 平面，n 平面，若mn，则.（A）0 （B）1 （C）2 （D）3【答案】B【解析】A 答案：如果加入条件m，则/m；B 答案：例如墙角的三个面，则；C 答案：如果加入条件AB，则AB；D 答案：从向量角度看，m与n分别是,的法向量，显然mn，即.所以只有 D 正确.7 4.已知向量(1,2)a ，mb,3,Rm,则“6m”是“baa/”的（）A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件【答案】A 5.设平面向量a，b，c均为非零向量，则“()0abc”是“bc”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由bc得，0bc，得0abc；反之不成立，故0abc是bc的必要而不充分条件 6.函数()f x在0 xx处导数存在，若0:()0p f x；0:q xx是()f x的极值点，则（）Ap是q的充分必要条件 B.p是q的充分条件，但不是q的必要条件 C.p是q的必要条件，但不是q的充分条件 D.p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【答案】C 7复数iaiz3在复平面内对应的点在第三象限是0a的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】3(3)(3)3aiaiaizaiii i ，对应的点为(,3)a在第三象限，0a，0a，复数iaiz3在复平面内对应的点在第三象限是0a的充分不必要条件.8.有下列四个命题（1）若“xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若1m，则220 xxm有实数解”的逆否命题；（4）“若 AB=B，则AB”的逆否 8 命题.其中真命题为（）A、（1）（2）B、（2）（3）C、（4）D、（1）（3）【答案】9“21m”是“直线03)2()2(013)2(ymxmmyxm与直线相互垂直”的（）A充分必要条件 B充分而不必要条件 C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件答案：B 解析：当12m 时两直线斜率乘积为1从而可得两直线垂直,当2m时两直线一条斜率为 0，一条斜率不存在,但两直线仍然垂直.因此12m 是题目中给出的两条直线垂直的充分但不必要条件 10.设四边形ABCD的两条对角线为AC、BD，则“四边形ABCD为菱形”是“BDAC”的（）A.充分不必要条件 B.必要不成分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A 11.给出以下三个命题：若1sin()34,则7cos(2)38；设函数()3sin(2)cos(2)f xxx(|)2，且其图像关于直线0 x对称，则()yf x的最小正周期为，且在(0,)2上为增函数；在ABC中，角,A B C所对边长分别为,a b c，若2222abc，则cosC的最小值为12 其中真命题的个数为（）A3个 B2个 C1个 D0个【答案】9 12.给出下列命题：命题:p xR且满足sin21x.命题:q xR且满足tan1x.则p是q的充分必要条件；若集合1,1A，0,2B，则集合,z zxy xA yB中的元素的个数为 3；对于任意的三个平面向量a、b、c，总有()()a bcab c 成立；若命题“,0Rx 使得032020mmxx”为假命题，则实数m的取值范围是6,2 其中真命题的序号是（）A.B.C.D.【答案】C.（二）（二）填空题（填空题（4*5=204*5=20 分）分）13.对于常数m、n，“0mn”是“方程221mxny的曲线是椭圆”的 【答案】必要不充分条件 10 14.若“xR，使2(1)10 xax”为真命题，则实数a的取值范围是 .【答案】(,3)(1,)【解析】若“xR，使2(1)10 xax”为真命题，则0412a解得13aa或.15.已知命题 p:“1)(logalog,02121bba则若”,命题 p 的原命题，逆命题，否命题，逆否命题中真命题的个数为_.【答案】2 16.下列命题中，真命题的序号为 .（1）在ABC中，若BA，则BAsinsin；（2）已知)1,2(),4,3(CDAB，则AB在CD上的投影为2；（3）已知1cos,:xRxp，01,:2xxRxq，则“qp”为假命题；（4）要得到函数)42cos(xy的图象，只需将2sinxy 的图象向左平移4个单位【答案】(1)(3)【解析】（1）在AB C中，若BA BAsinsin，正确；（2）已知)1,2(),4,3(CDAB，则AB在CD上的投影为(3,4)(2,1)1055AB AB CDAB CDAB CDCD，错；（3）01,:2xxRxq为 11 真，则q为假，从而qp为假，正确；（4）将2sinxy 的图象向左平移4个单位，得到1sin()sin()cos()242824xxyx，错