单侧极限与无穷大.pptx

4.单侧极限与无穷大单侧极限与无穷大1.单侧极限概念及其定义单侧极限概念及其定义当自变量趋于有限数时，函数极限 的数量化刻画是 “语言”：这时可以理解为：只考虑点只考虑点 x0 的的 左邻域左邻域 内，自变量内，自变量 从左边趋于从左边趋于 有限数有限数 x0 时，时，函数值函数值 f(x)有向常数有向常数 A 无限趋近的变化趋势。无限趋近的变化趋势。这种情况下，称函数这种情况下，称函数 f(x)在点在点 x0 的的 左极限左极限 存在，记为：存在，记为：只考虑点只考虑点 x0 的的 右邻域右邻域 内，自变量内，自变量 从右边趋于从右边趋于 有限数有限数 x0 时，函时，函数值数值 f(x)有有 向常数向常数 A 无限趋近的变化趋势。无限趋近的变化趋势。这种情况下，称函数这种情况下，称函数 f(x)在点在点 x0 的的右极限右极限 存在，记为：存在，记为：函数函数 f(x)在点在点 x0 的的 左极限左极限 与与 右极限右极限 统称为函数统称为函数 f(x)在在点点 x0 处的处的 单侧极限单侧极限。原规定的函数。原规定的函数 f(x)在点在点 x0 的的 极限极限 也也就常被称为就常被称为 双侧极限。双侧极限。利用单侧极限定义利用单侧极限定义 验证极限问题验证极限问题 定理：定理：函数函数 f(x)在点在点 x0 点处有点处有（双侧）双侧）极限极限 的充分必要条件是：的充分必要条件是：它在点它在点 x0 处的处的 左极限左极限 与与 右极限右极限 均均 存在存在 并且并且 相等相等。说明说明(1)函数极限的函数极限的 四则运算法则四则运算法则 对函数的对函数的 单侧极限单侧极限 也是成立的。也是成立的。单侧极限单侧极限 与与 双侧极限双侧极限 的相互关系显然有以下的定理：的相互关系显然有以下的定理：（2）“简单函数简单函数”的的 单侧极限单侧极限 已知结果仍然是：已知结果仍然是：（3）求）求“整式函数整式函数”和和 “某些某些 有理分式函数有理分式函数”的的 单侧极限单侧极限 时时，代入法代入法 仍然成立仍然成立；求求“另一些另一些 有理分式函数有理分式函数”的的 单侧极限单侧极限 时时，消去零因式法消去零因式法 仍然成立仍然成立；求；求“某些某些 无理分式函数无理分式函数”的的 单侧极限单侧极限 时时，共轭因式法共轭因式法 也仍然成立也仍然成立。2.单侧极限的应用实例单侧极限的应用实例 函数函数 f(x)的的 单侧极限单侧极限 概念在研究概念在研究 分段函数分段函数 的极的极 限时有限时有 不可或缺不可或缺 的应用。的应用。题型题型 I：研究研究 分段函数分段函数 在在 分段点分段点 上的函数极限问题上的函数极限问题.题型题型 II：已知已知 分段函数分段函数 在在 分段点分段点 上极限存在，求函数表示式中的上极限存在，求函数表示式中的 待定常数问题待定常数问题.3.无穷大的概念及其定义无穷大的概念及其定义 现在考虑当现在考虑当 x 0 时时，函数，函数 y=1/x 的的极限。极限。从图中可以看出，当从图中可以看出，当 x 0 时时，函数函数 y=1/x 的取值没有向某个的取值没有向某个常数无限趋于的常数无限趋于的极限趋势。根据极限趋势。根据前面的函数极限概念，当前面的函数极限概念，当 x 0 时时，函数，函数 y=1/x 的的极限不存极限不存在在。但是，我们可以说，。但是，我们可以说，当当 x 0 时时，函数，函数 y=1/x 的取值有一的取值有一个个 无限远离原点无限远离原点 的趋势的趋势！为了为了对这种也有某种趋势的情况进行对这种也有某种趋势的情况进行研究，我们称研究，我们称 这种极限不存在的这种极限不存在的特殊情况特殊情况 为：为：当当 x 0 时时，函，函数数 y=1/x 是无穷大是无穷大。“无限远离原点无限远离原点”的含义，的含义，从数量化角度看，可以理解为：无论给从数量化角度看，可以理解为：无论给定多大的正数定多大的正数 E,函数值函数值 f(x)与原点的距离与原点的距离|f(x)|要比要比 这个这个 正数正数 E 大：大：|f(x)|E 。当当 x 0 时时，函数，函数 y=f(x)=1/x 的取值有一个的取值有一个 无限远离原点无限远离原点 的趋势的趋势,从数量化角度看，便可理解为：从数量化角度看，便可理解为：无论给定多大的正数无论给定多大的正数 E,总可找到自变量总可找到自变量 x 非常接近原点的一个范围，当非常接近原点的一个范围，当 x 在此范围中时，在此范围中时，相应的函数值相应的函数值 f(x)与原点的距离必定大于这个正数与原点的距离必定大于这个正数 E.据此，据此，我们可以给出以下我们可以给出以下“当当 x 0 时时，函数，函数 y=1/x 是无穷大是无穷大”的的 数量化定义数量化定义“x 0”的含义，或者说的含义，或者说，“x 无限接近点无限接近点 零零 ”，从数量化角从数量化角度度 看，可以理解为：动点看，可以理解为：动点 x 与原点的距离与原点的距离|x-0|小于一个小于一个 很小的很小的 正数正数 ：|x-0|0 ,使得对于满足不等式使得对于满足不等式 0|x-x-x0|E ，则称则称 “当当自变量自变量 x 趋于趋于点点 x 0 时，函时，函数数 f(x)时无穷大时无穷大”，简记为：简记为：以上函数极限时无穷大的数量化说法，也可简明地表示为：以上函数极限时无穷大的数量化说法，也可简明地表示为：注意注意：(1)“无穷大无穷大”不是一个很大的数，它只表示具有不是一个很大的数，它只表示具有“无限无限远远 离原离原 点点”趋势趋势 的一种函数的一种函数 。(2)函数是函数是“无穷大无穷大”不是函数不是函数 极限存在极限存在 的一种情况，故的一种情况，故极极 限的限的 四则运四则运 算法则算法则 不能直接运用于不能直接运用于“无穷大无穷大”。(3)“无穷大无穷大”“无穷大无穷大”“无穷大无穷大”。反例：反例：(4)“无穷大无穷大”必须在说明自变量的具体极限过程下，才有意义。必须在说明自变量的具体极限过程下，才有意义。4.用定义验证函数是无穷大的应用实例用定义验证函数是无穷大的应用实例