2019_2020学年新教材高中数学课时素养评价十一一元二次方程的解集及其根与系数的关系新人教B版必修第一册.doc

课时素养评价
十一　一元二次方程的解集及其根与系数的关系

　　　　　(20分钟·40分)
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.一元二次方程x2-2x-1=0的解集是 (　　)
A.{1}
B.{1+，-1-}
C.{1+，1-}
D.{-1+，-1-}
【解析】选C.方程x2-2x-1=0，
变形得：x2-2x=1，
配方得：x2-2x+1=2，即(x-1)2=2，
开方得：x-1=±，
解得：x=1+或x=1-，
所以原方程的解集为{1+，1-}.

【加练·固】
　　 方程2x2-6x+3=0较小的根为p，方程2x2-2x-1=0较大的根为q，则pq等于 (　　)
A.3　　　 B.2　　　 C.1　　　 D.2
【解析】选B.2x2-6x+3=0，
这里a=2，b=-6，c=3，
因为b2-4ac=36-24=12，
所以x==，即p=；
2x2-2x-1=0，这里a=2，b=-2，c=-1，
因为b2-4ac=4+8=12，
所以x==，即q=，
则p+q=+=2.
2.一元二次方程x2-2x+m=0总有实数根，则m应满足的条件是 (　　)
A.m>1 B.m=1
C.m<1 D.m≤1
【解析】选D.因为方程x2-2x+m=0总有实数根，
所以Δ≥0，即4-4m≥0，所以-4m≥-4，所以m≤1.
3.已知三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2-12x+35=0的根，则该三角形的周长是 (　　)
A.14 B.12
C.12或14 D.以上都不对
【解析】选B.解方程x2-12x+35=0得x=5或x=7.因为3+4=7，所以长度为3，4，7的线段不能组成三角形，故x=7不符合题意，所以三角形的周长=3+4+5=12.
4.已知m，n是方程x2-x-1=0的两实数根，则+的值为 (　　)
A.-1 B.- C. D.1
【解析】选A.根据题意得m+n=1，mn=-1，
所以+===-1.
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.关于x的一元二次方程x2-5x+k=0有两个不相等的实数根，则k可取的最大整数为________. 
【解析】根据题意得Δ=(-5)2-4k>0，
解得k<，所以k可取的最大整数为6.
答案：6
6.方程5x+2=3x2的解集是________________. 
【解析】将方程化为一般形式3x2-5x-2=0，
a=3，b=-5，c=-2，b2-4ac
=(-5)2-4×3×(-2)=49>0，
x==，x=2或x=-.
所以原方程的解集为{2，-}.
答案：{2，-}
三、解答题
7.(16分)已知x1，x2是方程x2-6x+k=0的两个实数根，且·-x1-x2=115.
(1)求k的取值.
(2)求+-8的值.
【解析】(1)因为由题意有x1+x2=6，x1·x2=k.
所以·-x1-x2=(x1·x2)2-(x1+x2)=k2-6=115
所以k=11或k=-11.
又因为方程x2-6x+k=0有实数解，
所以Δ=(-6)2-4k≥0，所以k≤9.
所以k=11不符合题意应舍去，故k的值为-11.
(2)由(1)知x1+x2=6，x1·x2=-11，
所以+-8=(x1+x2)2-2x1x2-8=36+22-8=50.

　　　　　(15分钟·30分)
1.(4分)关于x的方程x2-ax+2a=0的两根的平方和是5，则a的值是 (　　)

A.-1或5 B.1 C.5 D.-1
【解析】选D.设方程两根为x1，x2，
由题意，得+=5.
所以(x1+x2)2-2x1x2=5.
因为x1+x2=a，x1x2=2a，
所以a2-2×2a=5.
解得a1=5，a2=-1.
又因为Δ=a2-8a，当a=5时，Δ<0，此时方程无实数根，所以舍去a=5.
当a=-1时，Δ>0，此时方程有两实数根.
所以取a=-1.
2.(4分)若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程
是 (　　)

A.x2+3x-2=0 B.x2-3x+2=0
C.x2-2x+3=0 D.x2+3x+2=0
【解析】选B.两个根为x1=1，x2=2，则两根的和是3，积是2.A项中两根之和等于-3，两根之积等于-2，所以此选项不正确；
B项中两根之和等于3，两根之积等于2，所以此选项正确；
C项中两根之和等于2，两根之积等于3，所以此选项不正确；
D项中两根之和等于-3，两根之积等于2，所以此选项不正确.
3.(4分)若实数a，b(a≠b)分别满足a2-7a+2=0，b2-7b+2=0，则+=________.  
【解析】由实数a，b分别满足a2-7a+2=0，b2-7b+2=0，且a≠b，得a，b是方程x2-7x+2=0的两个根，所以a+b=7，ab=2，
所以+====.
答案：
4.(4分)如图将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2 m，另一边减少了3 m，剩余一块面积为20 m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是________.  

【解析】设空地边长为x米，则：
(x-3)(x-2)=20，
所以x2-5x-14=0，
所以x1=-2，x2=7，
因为x>0，
所以x=7.
答案：7
【加练·固】
　　 等腰三角形的三边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2-8x+n-2=0的两根，则n的值为________. 
【解析】当2为底边长时，则a=b，a+b=8，
所以a=b=4.
因为4，4，2能围成三角形，
所以n-2=4×4，解得n=18.
当2为腰长时，a，b中有一个为2，
则另一个为6.
因为6，2，2不能围成三角形，所以此种情况不存在.
答案：18
5.(14分)已知关于x的一元二次方程x2-(m-3)x-m=0.
(1)求证：方程有两个不相等的实数根.
(2)如果方程的两实根为x1，x2，且+-x1x2=7，求m的值.
【解析】(1)因为x2-(m-3)x-m=0，所以Δ=b2-4ac=[-(m-3)]2-4×1×(-m)
=m2-2m+9=(m-1)2+8>0，所以方程有两个不相等的实数根.
(2)因为x2-(m-3)x-m=0，方程的两实根为x1，x2，
所以x1+x2=m-3，x1x2=-m.
因为+-x1x2=7，
所以(x1+x2)2-3x1x2=7，
即(m-3)2-3×(-m)=7，解得m1=1，m2=2，
即m的值是1或2.

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