2022数学模拟试卷(五)答案-1月特训.docx

文亮 2021 届浙江省普通“专升本”模拟考试答案高 等 数 学
一、单项选择题（每小题给出的选项中，只有一项符合要求，请将其代码填写在题后的括 号内，错选、多选或未选均无分.本题共有 5 小题，每小题 4 分，共 20 分）
1.B 2.B 3.C 4.B 5.D
二、填空题(本题共有 10 小题，每小题 4 分,共 40 分)（请在每小题的空格内填上正确答案.错填、不填均无分）
ì1,
í
6. f [g(x)] =ï0,
î
ï-1,
x <0,
x =0,
x >0
7. [0, tan1]
8. a =-5,
9. 2ag(a)
b = 4
10.
11.0
f ¢(x) =-4x -1
x2
1 3 5
12. x -x- .
3 3
13.y =e-òp( x)dx (òQ(x)eòp( x)dx dx +C)
2
14.æ3 ö
ç0, ,0÷
èø
15. [-1,1]
三、计算题(本题共有 8 小题，其中 16-19 小题每小题 7 分，20-23 小题每小题 8 分，共 60 分.计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分.)
16. 解： lim(cotx-
x®0
e2 x
sinx

) =lim
x®0
cosx-e2x
2 分
sin x
=lim
x®0
(cosx-1)-(e2x-1)
4 分
x

=lim
x®0
cos x-1
x
-1 x2
- lim
x®0
e2 x -1
5 分
x
=lim2 - lim 2x=-2 7 分
x®0 x x®0x
17.解：当x=0时，代入原方程得y=1 1分
方程两边同时求导得：2x+y¢=x3y¢+3x2y+cosx 4分
x2 +y
x=0
把x=0，y=1代入上式可得，y¢=1
x=0
所以dy =dx
dy

y¢(t)
7 分
- 2tsint2
18.解：
dx =x¢(t) =
sint2
=-2t 3 分

d 2y
那么
d( dy)
=dt dx

=(-
2t)¢=-2 7 分
dx2
dx sint2
dt
sin t 2
3
19.解：两边取对数，得lny=ln(x-1)+1éëln(1-2x)+lnlnx-ln(1+x2)ùû3分
两边对 x求导，得 1y¢=
1 +1 ( -2 +1
-2x) 6 分
y x-1 31-2x xlnx 1+x2
(1- 2x) ln x é
1 1æ
2 1 2xöù
\y¢=(x-1)3
1+ 2x
êx-+ç
-+-
+x2÷ú7 分
e x -1
ë1 3 è2x 1 xlnx 1 øû
20. 解：令
=t，那么ex =t2+1，x=ln(t2+1) 2分
(t2+1)ln(1+t2) 2t 2
原式=òt 1+t2dt=2òln(1+t
)dt 3 分
=2tln(1+t2
2t 2
ò
) - 2 1+t 2 dt
= 2tln(1+t2) -4t+4arctant+C 6 分
e x -1
=2x
- 4 +4arctan +C 8 分
e x -1
e x -1
ò
21.解：由题意可得，当xÎ[-1,0)时，j(x)=xe-tdt=-e-x+e； 3分
-1
当xÎ[0,1]时，j(x)=ò0e-tdt+òx(t+1)dt=1x2+x+e-17分
-1 0 2
ïì-e-x+e,-1£x<0
所以j(x)=í1x2+x+e+1,0£x£1 8分
ïî2
22.解：（1）D的面积
ò
A=3[( y+3) - ( y2-3)]dy 2 分
-2
=3 (-y2 +y + 6)dy = [-1 y3 +1 y2 + 6 y]3 =125. 4 分
（2）Vx
ò-2
=

6
(x 3)dx
3

3 2
ò p + --
ò
6p(x - 3) 2dx 3
-2 6
=p(x+3)26-p(x3)36=63p.

8 分（注：画图可给 2 分）
2 -3 3 3 2
1 1
23.解：f(x)=-
x +1
1 分
x + 2
1 ¥n
因为 =åx
1 - x
n=0
， xÎ (-1,1) ， 3 分

所以1 =1
x +
=1 ×
1 =
¥
x -1
1 å(-1)n(
x -1)n
=å(-1)
n (x -1)n
n+1
x -1
¥
，|
2

|<1 5 分
1 2+(x-1)
2 1 +
2
2 n=0
2 n=0 2
n=0
1 1 1 1
1 ¥n

x-1n¥
n (x -1)n
x -1
==×
x+2 3 +(x-1) 3 1+
x -1=3 å(-1) ( 3
) =å(-1)
3
n=0
3n+1
， | |<1 7 分
3
¥n 1 1 n
故 f (x) =å(-1)
n=0
( 2n+1 -3n+1 )(x -1)
， x Î (-1,3) 8 分
四、综合题(本题共有 3 小题，每小题 10 分,共 30 分)
24. 解：由题意可知：总成本C =C1
+ C2
=x 2 +y 2 - 2x + 2 y + 8，
约束条件为 x +y = 8.
问题转化为在 x +y = 8条件下求总成本C 的最小值.
把x+y=8代入目标函数得C=2x2 -20x+88(x>0的整数）. 3分
则C¢=4x-20，令C¢=0得唯一驻点为x=5， 5分
此时有C ¢= 4 > 0 .故 x = 5 是唯一极值点且为极小值，即最小值点.此时有 y = 3, C = 38 .
所以甲、乙两厂最优产量分别为5千件和3千件，最低成本为38千元. 10分
psinx pcosx
25.证明：记 I1 =ò
2dx， I2=ò2dx， 1 分
0 cos x +sinx 0 cos x + sinx
ppsinx
0 cost
pcosx
令 x =
-t，则ò2dx =òp
(-dt) =ò
2dx. 6 分
2 0 cos x + sinx
2 sin t + cost
0 cos x + sin x

psinx
1 1 psin x +cosx 1 pp
ò2dx =I1=
(I1 +I 2)=ò2dx=×=

． 10 分
0 cos x +sinx 2
2 0 cos x + sinx
2 2 4
26.证明：设函数f(x)=ex-1-1-xlnx（x³1） 2分
则f¢(x)=ex-1-lnx-1，f¢(x)= ex-1-1 4分
x
当 x>1时， f ¢(x) >0，
f ¢(x) 单调增加， 于是 f ¢(x) >
f ¢(1) =0， 7 分
进而f(x)单调增加，于是f(x)>f(1)=0， 9分所以当x>1时，ex-1-1>xlnx． 10分