高考数学艺体生好题突围系列基础篇专题06指数函数与对数函数.doc

专题06 指数函数与对数函数

幂的运算、对数运算
【背一背基础知识】
1.根式：一般地，如果，那么就叫做的次方根，其中，且.式子叫做根式，其中叫做根指数，叫做被开方数.其中；
2.分数指数幂：我们规定正数的正分数指数幂的意义是：；我们规定正数的负分数指数幂的意义是：；其中的正分数指数幂为，
的负分数指数幂没有意义；
3.正数的有理数幂的运算法则如下：（1）；（2）；
（3）；
4.对数：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数；其中把以为底的对数叫做常用对数，并把记作，把以（无理数为底的底数叫做自然对数，并把记作；其中指数与对数的互化为：
.
5.对数恒等式：（1）；（2）；（3）.
5.对数的运算性质：如果且，，，那么：
（1）；（2）；（3）.
6.对数的换底公式：.
推论：（1）；（2）.
【讲一讲基本技能】
必备技能：
1.指数幂的化简与求值
(1)化简原则：①化根式为分数指数幂；②化负指数幂为正指数幂；③化小数为分数；④注意运算的先后顺序．
提醒：有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算．
(2)结果要求：①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂的形式表示；③结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂．
2.对数的化简与求值
(1)对数运算法则是在化为同底的情况下进行的，因此，经常会用到换底公式及其推论；在对含有字母的对数式化简时，必须保证恒等变形．
(2) (a>0且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中要注意灵活运用．
(3)利用对数运算法则，在真数的积、商、幂与对数的和、差、倍之间进行转化．
(4)有限制条件的对数化简、求值问题，往往要化简已知和所求，利用“代入法”.
3.形如型的方程、不等式或函数问题，利用换元法，将其转化为型的一元二次方程、不等式或二次函数问题，利用相关知识或方法求解；求解对数方程时，直接利用对数式与指数式的互化，利用指数相关知识求解；对于同底数的对数的运算时，一般利用底数的运算性质即可；对于不同底数的运算时，一般利用换底公式及其推论来解决.
1. 典型例题
例1 .
分析：本题考查指数数的运算性质，在处理指数的加减法运算时，首先利用指数的相关性质将各指数的系数化为一致的，然后根据指数的运算性质进行求解.
【答案】

例2．计算：= .
分析：本题考查对数数的运算性质，在处理同底数对数的加减法运算时，首先利用对数的相关性质将各对数的系数化为一致的，然后根据对数的运算性质进行求解.
【答案】

例3设a>0，将表示成分数指数幂，其结果是（ ）

A. B. C. D.
分析：本题考查指数运算与根式与分时指数幂的互化，处理这类问题时，先将根式化为分数指数幂，然后根据指数幂的运算化简.
【答案】D
【解析】.
例4设，且，则（ ）
A. B. C. D.
分析：本题是考查对数换底公式推论的应用，对于此种问题的考查，首先应该从指数式中求出和的表达式，借助换底公式的推论，将代数式化为同底数的对数式的加减运算，最后利用对数式与指数式的互化求出相应参数的值.
【练一练趁热打铁】
1. （　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，故选D.
2. .
【答案】

3. 若（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由得所以.
4. .
【答案】

指数函数与对数函数
【背一背基础知识】
1.指数函数：函数（且）称为指数函数，其中底数是不等于的常数，指数为自变量；
2.指数函数的基本性质：

图象

定义域

值域

定点
图象恒过定点
奇偶性
非奇非偶函数
单调性
在上是单调递增函数
在上是单调递减函数
3.对数函数：一般地，我们把函数（且）称为对数函数，其中为自变量，函数的定义域为，叫做对数函数的底数；特别地，我们称以为底数的对数函数为常用对数函数；称以无理数为底数的对数函数叫做自然对数函数.
4.对数函数的基本性质：

图象

定义域

值域

定点
图象恒过定点
奇偶性
非奇非偶函数
单调性
在上是单调递增函数
在上是单调递减函数
5.反函数：我们将函数（且）与函数且）称为互为反函数，它们的图象关于直线对称.
【讲一讲基本技能】
必备技能：
对于指数函数与对数函数基本性质的考查，一般利用定义法中的相关步骤验证即可；对于指数函数与对数函数单调性的考查，一般要根据底数的取值范围才能确定其单调性，所以有些时候要对底数的取值范围进行分类讨论，进而确定相应函数的单调性；在比较大小时，若能化成底数相同的指数式或对数式，只需利用相应的指数函数或对数函数的单调性即可进行比较，若指数式与对数式同时存在时，一般通过利用中间值与结合不等式的传递性得出所考察的数的大小关系；在解有关的指数或对数不等式时，一般将不等式两边化成同底数的指数式或对数式，利用相应函数的单调性得出相应的不等式，并注意相应结构本身的限制条件.
2.典型例题
例1函数的最小值为_________.
分析：本题是考查对数函数的值域问题，首先利用对数的运算性质，将其展开得到关于的二次函数，利用二次函数求得值域.
【答案】

例2函数的值域是（　　）
A．（0，+∞） B．[1，+∞）
C．（0，1] D．（0，1）
分析：本题是考查指数函数的值域，对于此类问题的求解，只需利用指数函数的单调性，结合指数函数的图像求得.
【答案】C
【解析】设t=x2，则t≥0，由指数函数的图象得：y=（）t（t≥0）的值域为（0，1]，∴函数的值域是（01]，故选C
例3不等式的解集是__________.
分析：本题是考查对数不等式的解法，对于此类问题的求解，只需将不等式的两边化成同底数的对数式，利用相应的对数函数的单调性得出两个真数的大小，同时还需注意对真数的限制条件，进而求解相应的不等式.
【练一练趁热打铁】
1. 如图，过原点O的直线与函数的图像交于A，B两点，过点B作y轴的垂线交函数的图像于点C，若AC平行于y轴，则点A的坐标是________．

【答案】
2. 若，，，则（ ）
A. B. C. D.
解析：易知，，，所以为负数，与均为正数，由于函数为增函数，函数为减函数，，，因此
，故，选A.
3.若函数是函数（且）的反函数，且，则
（ ）
A. B. C. D.
【答案】A

幂函数
【背一背基础知识】
1.幂函数：把形如的函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数.
2.幂函数在第一象限内的图象与基本性质：
的范围

在第一象限的图象特征
下凹，图象在第一象限无限接近于轴和轴
上凸
下凹
单调性
在上单调递减
在上单调递增
在上单调递增
定点

和
和
【讲一讲基本技能】
1.必备技能：
幂函数，其中为常数，其本质特征是以幂的底为自变量，指数为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准．在上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．
2.典型例题
例1已知幂函数的图象过点，则的值为 .
分析本题是考查幂函数的解析式的相关知识，在处理此类问题时，可将幂函数的解析式设为，通过题中条件的转化，借助指数运算求出的值，最后利用幂函数的解析式求解出相应的问题.
例2已知幂函数的图像过点，若，则实数的值为（ ）
A． B． 　　 C． 　　 D．
分析：本题首先利用点求得函数的解析式，再利用，可求得的值.
【答案】D
【解析】由函数过点可得，所以，所以，故，选答案D.
【练一练趁热打铁】
1.【若(2m＋1) >(m2＋m－1) ，则实数m的取值范围是 (　　)
A. B. C．(－1,2) D.
【答案】D

2. 当时，幂函数为减函数，则实数（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】A

函数的零点
【背一背基础知识】
1．方程的根与函数的零点
（1）函数零点
概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点.
（２）函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标.即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点.
（３）函数的零点与方程根的关系
函数的零点就是方程的根，即函数的图象与函数的图象交点的横坐标．
（４）三个等价关系(三者相互转化)

提醒：函数的零点不是点，是方程的根，即当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零．函数的零点也就是函数的图象与轴的交点的横坐标．
２．二次函数的零点：
１）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点；
２）△＝０，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；
３）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点.
３．零点存在性定理
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，且有·，那么，函数在区间内有零点，即存在使得，这个也就是方程的根．
注意以下两点：
①满足条件的零点可能不唯一；
②不满足条件时，也可能有零点．
③由函数在闭区间上有零点不一定能推出·，如图所示．所以·是在闭区间上有零点的充分不必要条件．

注意：①如果函数在区间上的图象是连续不断的曲线，并且函数在区间上是一个单调函数，那么当·时，函数在区间内有唯一的零点，即存在唯一的，使.
②如果函数在区间上的图象是连续不断的曲线，并且有·，那么，函数在区间内不一定没有零点．
③如果函数在区间上的图象是连续不断的曲线，那么当函数在区间内有零点时不一定有·，也可能有·.
４.二分法
二分法及步骤：
对于在区间，上连续不断，且满足·的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：
（1）确定区间，验证·，给定精度；
（2）求区间，的中点；
（3）计算：
①若=，则就是函数的零点；
②若·<，则令=（此时零点）；
③若·<，则令=（此时零点）；
（4）判断是否达到精度；
即若，则得到零点零点值（或）；否则重复步骤．
注：函数零点的性质：从“数”的角度看：即是使的实数；
从“形”的角度看：即是函数的图象与轴交点的横坐标；
若函数的图象在处与轴相切，则零点通常称为不变号零点；
若函数的图象在处与轴相交，则零点通常称为变号零点.
注：用二分法求函数的变号零点：二分法的条件·表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点.
（５）用二分法求函数零点近似值的步骤须注意的问题：
①第一步中要使：(1)区间长度尽量小；(2) ，的值比较容易计算且·.
②根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程的根是等价的．对于求方程的根，可以构造函数，函数的零点即为方程　的根．
③求函数零点近似值的关键是判断区间长度是否小于精确度，当区间长度小于精确度时，运算即告结束，此时区间内的任何一个值均符合要求，而我们通常取区间的一个端点值作为近似解．
５．二次方程的实根分布及条件.
①方程的两根中一根比大，另一根比小；
②二次方程的两根都大于
③二次方程在区间内有两根
④二次方程在区间内只有一根，或 (检验)或 (检验)检验另一根若在内成立．
注意：二次函数零点分布问题，即一元二次方程根的分布问题，解题的关键是结合图象把根的分布情况转化为不等式组或方程．二次方程根的分布问题，通常转化为相应二次函数与轴交点的个数问题，结合二次函数的图象通过对称轴，判别式Δ，相应区间端点函数值来考虑．
６．有关函数零点的重要结论
(1)若连续不断的函数是定义域上的单调函数，则至多有一个零点．
(2)连续不断的函数相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值符号可能不变．
(4)函数至多有个零点
【讲一讲基本技能】
必备技能：
1．函数零点的求法：
①（代数法）求方程的实数根；
②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.
２．确定函数的零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点的存在性定理:首先看函数在区间上的图象是否连续,再看是否有·.若有,则函数在区间内必有零点.
(2)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
３．确定方程在区间上根的个数的方法
(1)解方程法:当对应方程易解时,可先解方程,看求得的根是否落在区间上再判断.
(2)数形结合法:通过画函数与的图象,观察其在区间上交点个数来判断.
４．函数零点个数的判断方法
(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间上是连续不断的曲线，且·，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；
(3)利用图像交点的个数：画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
函数零点个数的判断通常转化为两函数图像交点的个数，其步骤是：
(1)令；
(2)构造，；
(3)作出图像；
(4)由图像交点个数得出结论．
５．应用函数零点的存在情况求参数的值或取值范围常用的方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．
６．与方程根有关的计算和大小比较问题的解法
数形结合法:根据两函数图象的交点的对称性等进行计算与比较大小.
７．在求方程解的个数或者根据解的个数求方程中的字母参数的范围的问题时，数形结合是基本的解题方法，即把方程分拆为一个等式，使两端都转化为我们所熟悉的函数的解析式，然后构造两个函数，，即把方程写成的形式，这时方程根的个数就是两个函数图象交点的个数，可以根据图象的变化趋势找到方程中字母参数所满足的各种关系．
2典型例题
例1函数的零点所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
分析：本题是考查函数零点所在区间，在函数连续的前提下，只需利用零点存在定理即可，即考查相应的函数在相应区间的端点值符号相反即可.
例2函数（为自然对数的底数）的零点个数是（ ）
A. B. C. D.
分析：本题是考查零点个数问题，但是此题不能利用代数方法来进行求解，可以将其转化为两个基本初等函数的图象的交点个数来等价处理.

【练一练趁热打铁】
1. 方程的解的个数为（ ）
(A) 1 (B) 3 (C) 4 (D) 5
【答案】B
【解析】本题中方程不可解，但方程解的个数可以借助于函数和的图象的交点的个数来解决，作出这两个函数的图象（如图），，，但当时，，而，故两个函数图象有三交点，即原方程有三个解．

2.函数的零点个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B

（一） 选择题（12*5=60分）
1. 设，，，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
2.函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
3. 已知函数f(x)=2x-2,则函数y=|f(x)|的图象可能是(　　)

【答案】B
【解析】|f(x)|=|2x-2|=
易知函数y=|f(x)|的图象的分段点是x=1,且过点(1,0),(0,1),又|f(x)|≥0,故选B.
4. 已知，，，，则下列等式一定成立的是（ ）
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】相除得，又，所以.选B.
5. 已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
6. 已知函数为常数，其中的图象如右图，则下列结论成立的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】
【解析】由图可知， 的图象是由的图象向左平移个单位而得到的，其中，再根据单调性易知，故选.
7.若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
8.已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，，因此，故选B.
9. 将函数的图象向左平移1个单位长度，那么所得图象的函数解析式为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【答案】C
【解析】因为，所以将其图象向左平移1个单位长度所得函数解析式为.故C正确.
10. 函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
11. 已知函数若关于的方程有两个不等的实根，则实数的取值范围是 ( )
A． B． C． D．
【答案】D
12. 若存在正数，使成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】∵存在正数，使成立，∴，∴令，
∵，∴，∴，∴.
（二） 填空题（4*5=20分）
13. 的值是___________.
【答案】.
【解析】由对数的运算性质可得.
14.方程的实数解为_______.
【答案】.
15. 计算： .
【答案】.

16.已知函数，设，若，则的取值范围是____．
【答案】
【解析】由图可知，，，且的值依次增大，均为正值，所以．

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