【黑龙江省大庆一中】2017学年高考冲刺数学年(理科)试题.pdf

1/14 黑龙江省黑龙江省 2017 年年大庆一中高考冲刺大庆一中高考冲刺数学（数学（理理科）试卷科）试卷 答答 案案 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，在每个小题给出的选项中，只有一个是对的，共 60 分）15AACAD 610ACDCC 1112BA 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）134 14116 151,21nn 168 三、解答题（共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17【解答】解：（1）数据补充完整如下表：wx 0 2 32 2 x 12 3 712 56 1312 sin()Awx 0 5 0 5 0 函数 f（x）的解析式为：()5sin(2)6f xx（2）将()yf x图象上所有点向左平移6个单位长度，得到()5sin5sin(2)6yg xx 由2,6xkkZ，可解得：,212kxkZ，当0k 时，可得：12x 从而可得离原点 O 最近的对称中心为：(,0)12 18【解答】（1）证明：以 C 为坐标原点，建立如图所示的坐标系，设12ACBCBB，则 A1（2，0，2），C（0，0，0），D（0，1，0），A（2，0，0），B1（0，2，2），B（0，2，0）1(2,0,2)AC ，(2,1,0)AD ，1(2,2,2)AB 设平面 AB1D 的法向量为(,)nx y z，则由100nADnAB，可得202220 xyxyz，故可取(1,2,1)n 10AC n，A1C平面 AB1D；（2）解：由（1）知平面 AB1D 的法向量为(1,2,1)n，平面 ABD 的法向量为(0,0,2)n 2/14 二面角 B1ADB 的余弦值为2|2 6m nm n 二面角 B1ADB 的正弦值为306；（3）解：设 M（0，2，t），则1(2,2,2)AMt，1(0,1,2)B D 若 A1MB1D，则110AMB D，22(2)0t，1t 1112B MB B时，A1MB1D 19【解答】解：记甲 n 局获胜的概率为 Pn，3n，4，5，（1）比赛三局甲获胜的概率是：333328()327PC；（2）比赛四局甲获胜的概率是：2343218()()3327PC；比赛五局甲获胜的概率是：223541216()()3381PC；甲获胜的概率是：3456481PPP（3）记乙 n 局获胜的概率为nP，3n，4，5 333311()327PC，2343122()()3327PC；23254128()()3381PC；故甲比赛次数的分布列为：X 3 4 5 P（X）33PP 44PP 55PP 所以甲比赛次数的数学期望是：18821681073()4()5()27272727818127EX 20【解答】解：（）经过点（0，b）和（c，0）的直线方程为0bxcybc，3/14 则原点到直线的距离为2212bcdcbc，即为2ab，223e12cbaa；（）由（）知，椭圆 E 的方程为22244xyb，由题意可得圆心 M（2，1）是线段 AB 的中点，则10AB，易知 AB 与 x 轴不垂直，记其方程为(2)1yk x，代入可得 2222(1 4)8(1 2)4(1 2)40kxkk xkb，设 A（x1，y1），B（x2，y2），则1228(12)14kkxxk221224(1+2)414kbx xk，由 M 为 AB 的中点，可得124xx，得28(12)414kkk，解得12k，从而21282x xb，于是222121212151()()410(2)1022|ABxxxxx xb，解得23b，则有椭圆 E 的方程为221123xy 21【解答】解：（1）依题意得2()lng xxaxbx，则1()2g xaxbx，由函数 g（x）的图象在点（1，g（1）处的切线平行于 x 轴得：(1)120gab，21ba（2）由（1）得=22(21)1(21)(1)()axaxaxxg xxx 函数 g（x）的定义域为（0，+），当0a 时，1()xg xx，由()0g x 得01x，由()0g x 得1x，即函数 g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）单调递减；当0a 时，令()0g x 得1x 或12xa，若112a，即12a 时，由()0g x 得1x 或102xa，由()0g x 得112xa，即函数 g（x）在1(0,)2a，（1，+）上单调递增，在1(,1)2a单调递减；若112a，即102a时，由()0g x 得12xa或01x，由()0g x 得112xa，4/14 即函数 g（x）在（0，1），1(,)2a上单调递增，在1(1,)2a单调递减；若112a，即12a 时，在（0，+）上恒有()0g x，即函数 g（x）在（0，+）上单调递增，综上得：当0a 时，函数 g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）单调递减；当102a时，函数 g（x）在（0，1）单调递增，在1(1,)2a单调递减；在1(,)2a上单调递增；当12a 时，函数 g（x）在（0，+）上单调递增，当12a 时，函数 g（x）在1(0,)2a上单调递增，在1(,1)2a单调递减；在（1，+）上单调递增（3）证法一：依题意得21212121lnlnyyxxkxxxx，证2111kxx，即证212211lnln11xxxxxx，因210 xx，即证21221211lnxxxxxxxx，令21xtx（1t），即证11ln1ttt（1t），令1()ln1h ttt（1t），则22111()0th tttt，h（t）在（1，+）上单调递增，()(1)0h th，即1ln1tt（1t）综合得11ln1ttt（1t），即2111kxx 证法二：依题意得212122112121lnlnlnlnyyxxkxkxxkxxxxx，令()lnh xxkx，则1()h xkx，由()0h x 得1xk，当1xk时，()0h x，当10 xk时，()0h x，h（x）在1(0,)k单调递增，在1(,)k单调递减，又12()()h xh x，121xxk，即2111kxx 证法三：令1()lnxh xxx，则111()h xxx，5/14 当1xx时，()0h x，函数 h（x）在（x1，+）单调递减，当21xx时，221211()()lnln1xh xh xxxx，即21211lnln1xxxxx；同理，令2()lnxm xxx，可证得21221lnln1xxxxx 证法四：依题意得22121211lnlnyyxxkxxxx，211211212221212211lnln1111lnlnlnlnxxkxxxxxxxxxxxxxxxx 令1111()lnlnh xxxxxxx，则1()1xh xx，当1xx时，()0h x，函数 h（x）在（x1，+）单调递增，当21xx时，21()()0h xh x，即121121lnlnxxxxxx 令2222()lnlnm xxxxxxx，则2()1xm xx，当2xx时，()0m x，函数 m（x）在（0，x2）单调递减，当12xx时，12()()0m xh x，即212221lnlnxxxxxx；所以命题得证 请考生在第 2223 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 22【解答】解：（）由2 5sin，可得222 50 xyy，即圆 C 的方程为22(5)5xy 由232252xtyt可得直线 l 的方程为530 xy 所以，圆 C 的圆心到直线 l 的距离为|0553|3 222（）将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程，得2222(3)()522tt，即23 240tt 由于2(3 2)4 4=20 故可设 t1、t2是上述方程的两个实根，所以12123 24.tttt，又直线 l 过点(3,5)P，6/14 故由上式及 t 的几何意义得1212|3 2PAPBtttt 选考题（共 1 小题，满分 0 分）23【解答】解：（1）2m时，()6f x，即|2|1|6xx，1x时，216x，即52x ，故52x ，12x 时，得：36不成立，2x 时，得：216x，即72x，故72x，故不等式的解集是572|2xxx 或；（2）()|1|(1)()|1|f xxmxxmxm，由题意得|1|6m，则16m 或16m，解得：5m或7m，故 m 的范围是(,75,)7/14 黑龙江省黑龙江省 2017 年年大庆一中高考冲刺大庆一中高考冲刺数学（数学（理理科）试卷科）试卷 解解 析析 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，在每个小题给出的选项中，只有一个是对的，共 60 分）1【考点】1E：交集及其运算【分析】解一元二次不等式，求出集合 B，然后进行交集的运算即可【解答】解：B=x|2x1，A=2，1，0，1，2；AB=1，0 故选：A 2【考点】A5：复数代数形式的乘除运算【分析】把给出的等式两边同时乘以，然后利用复数代数形式的除法运算化简，则 z 可求【解答】解：由（z2i）（2i）=5，得：，z=2+3i 故选：A 3【考点】25：四种命题间的逆否关系；2J：命题的否定；2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】由逆否命题的定义知 A 是正确的；x1|x|0 成立，但|x|0 时，x1 不一定成立，故 B 是正确的；p 且 q 为假命题，则 p 和 q 至少有一个是假命题，故 C 不正确；特称命题的否定是全称命题，故 D 是正确的【解答】解：逆否命题是对条件结论都否定，然后原条件作结论，原结论作条件，则 A 是正确的；x1 时，|x|0 成立，但|x|0 时，x1 不一定成立，故 x1 是|x|0 的充分不必要条件，故 B 是正确的；p 且 q 为假命题，则 p 和 q 至少有一个是假命题，故 C 不正确；特称命题的否定是全称命题，故 D 是正确的 故选 C 4【考点】3O：函数的图象【分析】判断函数奇偶性，根据奇偶性得出结论【解答】解：由函数有意义得0，解得2x2，设 f（x）=log2，则 f（x）=log2=log=f（x），y=log2是奇函数，y=log2的图象关于原点对称 故选 A 5【考点】8M：等差数列与等比数列的综合 8/14 【分析】设出等差数列的公差，由 a5，a9，a15成等比数列得到 a9和公差的关系，则的值可求【解答】解：设等差数列an的公差为 d（d0），由 a5，a9，a15成等比数列，得，即，a9=12d 则 a15=a9+6d=12d+6d=18d=故选：D 6【考点】L!：由三视图求面积、体积【分析】由已知中三视图，我们可以判断出几何体的形状及几何特征，求出其底面面积、高等关键几何量后，代入棱锥体积公式，即可得到答案【解答】解：由已知易得该几何体是一个以正视图为底面，以 1 为高的四棱锥 由于正视图是一个上底为 1，下底为 2，高为 1 的直角梯形 故棱锥的底面面积 S=则 V=故选 A 7【考点】EF：程序框图【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入S 的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案【解答】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：K S 是否继续循环 循环前 1 0 第一圈 2 2 是 第二圈 3 7 是 第三圈 4 18 是 第四圈 5 41 是 第五圈 6 88 否 故退出循环的条件应为 k5？故答案选 C 8【考点】LW：直线与平面垂直的判定【分析】根据面面垂直的判定定理可知选项 A 是否正确，根据平面 与平面 的位置关系进行判定可知选 9/14 项 B 和 C 是否正确，根据垂直于同一直线的两平面平行，以及与两平行平面中一个垂直则垂直于另一个平面，可知选项 D 正确【解答】解：，=l，ml，根据面面垂直的判定定理可知，缺少条件 m，故不正确；=m，而 与 可能平行，也可能相交，则 m 与 不一定垂直，故不正确；，m，而 与 可能平行，也可能相交，则 m 与 不一定垂直，故不正确；n，n，而 m，则 m，故正确 故选 D 9【考点】D3：计数原理的应用【分析】根据题意中甲要求不到 A 学校，分析可得对甲有 2 种不同的分配方法，进而对剩余的三人分情况讨论，其中有一个人与甲在同一个学校，没有人与甲在同一个学校，易得其情况数目，最后由分步计数原理计算可得答案【解答】解：根据题意，首先分配甲，有 2 种方法，再分配其余的三人：分两种情况，其中有一个人与甲在同一个学校，有 A33=6 种情况，没有人与甲在同一个学校，则有 C32A22=6 种情况；则若甲要求不到 A 学校，则不同的分配方案有 2（6+6）=24 种；故选：C 10【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值【分析】先利用同角三角函数的基本关系分别求得 sin（+）和 sin（）的值，进而利用 cos（+）=cos 通过余弦的两角和公式求得答案【解答】解：0，0，+，sin（+）=，sin（）=cos（+）=cos=cos（+）cos（）+sin（+）sin（）=故选 C 11【考点】KG：直线与圆锥曲线的关系；K8：抛物线的简单性质【分析】通过抛物线的定义，转化 PF=PN，要使有最小值，只需APN 最大即可，作出切线方程即可求出比值的最小值【解答】解：由题意可知，抛物线的准线方程为 x=1，A（1，0），过 P 作 PN 垂直直线 x=1 于 N，由抛物线的定义可知 PF=PN，连结 PA，当 PA 是抛物线的切线时，有最小值，则APN 最大，10/14 即PAF 最大，就是直线 PA 的斜率最大，设在 PA 的方程为：y=k（x+1），所以，解得：k2x2+（2k24）x+k2=0，所以=（2k24）24k4=0，解得 k=1，所以NPA=45，=cosNPA=故选 B 12【考点】6B：利用导数研究函数的单调性【分析】根据已知条件利用函数的单调性和奇偶性构造出新函数，利用 xf（x）+f（x）0，得到：0，进一步分析出偶函数的单调性在对称区间内单调性相反故建立不等式组，解不等式组求的结果【解答】解：定义在 R 上的奇函数 f（x），所以：f（x）=f（x）设 f（x）的导函数为 f（x），当 x（，0时，恒有 xf（x）f（x），则：xf（x）+f（x）0 即：0 所以：函数 F（x）=xf（x）在（，0）上是单调递减函数 由于 f（x）为奇函数，令 F（x）=xf（x），则：F（x）为偶函数 所以函数 F（x）=xf（x）在（0，+）上是单调递增函数 则：满足 F（3）F（2x1）满足的条件是：解得：所以 x 的范围是：（）11/14 故选：A 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13【考点】9R：平面向量数量积的运算【分析】由向量的加减运算和向量的垂直的条件，以及向量的平方即为模的平方，即可得到【解答】解：在等腰 RtABC 中，|=|=2，且 ABAC，即有=（）=022=4 故答案为：4 14【考点】7C：简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，令 t=2x+y，化为 y=2x+t，数形结合求得 t 的最大值，进一步求得的最小值【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得 A（1，2）令 t=2x+y，化为 y=2x+t，由图可知，当直线 y=2x+t 过 A 时，t 有最大值为 4 的最小值为 故答案为：15【考点】8E：数列的求和【分 析】由 已 知 得a2=S2 S1=2，从 而a=，利 用，求出 an=n，从而=，由此利 12/14 用裂项求和法能求出数列的前 n 项和【解答】解：数列an的前 n 项和 Sn满足 Sn=+An，a2=2，a2=S2S1=（）（）=2，解得 a=，=1，当 n2 时，an=SnSn1=（）=n，当 n=1 时，上式成立，an=n，=，数列的前 n 项和：Tn=1+=1=故答案为：，16【考点】HW：三角函数的最值；HX：解三角形【分析】结合三角形关系和式子 sinA=2sinBsinC 可推出 sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，进而得到tanB+tanC=2tanBtanC，结合函数特性可求得最小值【解答】解：由 sinA=sin（A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=2sinBsinC，可得 sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，由三角形 ABC 为锐角三角形，则 cosB0，cosC0，在式两侧同时除以 cosBcosC 可得 tanB+tanC=2tanBtanC，又 tanA=tan（A）=tan（B+C）=，则 tanAtanBtanC=tanBtanC，由 tanB+tanC=2tanBtanC 可得 tanAtanBtanC=，令 tanBtanC=t，由 A，B，C 为锐角可得 tanA0，tanB0，tanC0，由式得 1tanBtanC0，解得 t1，tanAtanBtanC=，13/14 =（）2，由 t1 得，0，因此 tanAtanBtanC 的最小值为 8，另解：由已知条件 sinA=2sinBsinc，sin（B 十 C）=2sinBsinC，sinBcosC 十 cosBsinC=2sinBcosC，两边同除以 cosBcosC，tanB 十 tanC=2tanBtanC，tanA=tan（B 十 C）=，tanAtanBtanC=tanA 十 tanB 十 tanC，tanAtanBtanC=tanA 十 2tanBtanC2，令 tanAtanBtanC=x0，即 x2，即 x8，或 x0（舍去），所以 x 的最小值为 8 当且仅当 t=2 时取到等号，此时 tanB+tanC=4，tanBtanC=2，解得 tanB=2+，tanC=2，tanA=4，（或 tanB，tanC 互换），此时 A，B，C 均为锐角 三、解答题（共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17【考点】HK：由 y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；HJ：函数 y=Asin（x+）的图象变换【分析】（1）由五点作图法即可将数据补充完整，写出函数的解析式；（2）由函数 y=Asin（x+）的图象变换可得 g（x），解得其对称中心即可得解 18【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定；LX：直线与平面垂直的性质【分析】（1）以 C 为坐标原点，建立如图所示的坐标系，求出面 AB1D 的法向量，证明=0，即可得到结论；（2）确定平面 AB1D 的法向量、平面 ABD 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得结论；（3）设出 M 的坐标，利用则，可得结论 19【考点】CA：n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率；CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差【分析】（1）比赛三局甲获胜的概率是：P3=（2）再求出 P4和 P5，甲获胜的概率是：P3+P4+P5=（3）写出甲比赛次数的分布列，根据分布列求得甲比赛次数的数学期望是 EX 20【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；KE：曲线与方程【分析】（）求出经过点（0，b）和（c，0）的直线方程，运用点到直线的距离公式，结合离心率公式计算即可得到所求值；（）由（）知，椭圆 E 的方程为 x2+4y2=4b2，设出直线 AB 的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合圆的直径和中点坐标公式，解方程可得 b2=3，即可得到椭圆方程 14/14 21【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6B：利用导数研究函数的单调性；R6：不等式的证明【分析】（1）利用导数的几何意义即可得出；（2）通过求导得到 g（x），通过对 a 分类讨论即可得出其单调性；（3）证法一：利用斜率计算公式，令（t1），即证（t1），令（t1），通过求导利用函数的单调性即可得出；证法二：利用斜率计算公式，令 h（x）=lnxkx，通过求导，利用导数研究其单调性即可得出；证法三：令，同理，令，通过求导即可证明；证法四：利用斜率计算公式，令 h（x）=xx1lnx+x1lnx1x1，及令 m（x）=xx2lnx+x2lnx2x2，通过求导得到其单调性即可证明 请考生在第 2223 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 22【考点】QJ：直线的参数方程；Q4：简单曲线的极坐标方程【分析】（I）圆 C 的极坐标方程两边同乘，根据极坐标公式进行化简就可求出直角坐标方程，最后再利用三角函数公式化成参数方程；（）将直线 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程，得即，根据两交点A，B 所对应的参数分别为 t1，t2，利用根与系数的关系结合参数的几何意义即得 选考题（共 1 小题，满分 0 分）23【考点】R5：绝对值不等式的解法；3R：函数恒成立问题【分析】（1）当 m=2 时，f（x）6，即|x2|+|x+1|6，通过讨论 x 的范围，从而求得不等式 f（x）6 的解集；（2）由绝对值不等式的性质求得 f（x）的最小值为|m+1|，由题意得|m+1|6，由此求得 m 的范围