2022届高二5月阶段考试数学(理)试卷--答案.pdf

1-/10 江苏省南通中学江苏省南通中学 2017 届高二届高二 5 月阶段考试数学（理月阶段考试数学（理科科）试卷）试卷 答答 案案 一、填空题：11 220 37 47 5103 612 734 812 9220 1014 1130 12-1 132 14314 二、解答题：15解：（）224524960A A A；（）7733840AA；（）甲、乙两人坐法有(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,6)6种，所以每人的两边都有空位的坐法为22612A 16解：（）令1x 得展开式各项系数和为4n，而二项式系数和为012nnnnnCCC，由题意得：424032nn即(264)(263)0nn，264n或263n，又因为nN，所以264n，故6n，-2-/10 二项展开式的第1r 项为123163rrrrTCx，令1243r得0r，所以展开式中含4x的项为0044163TCxx；（）因为6n，所以展开式中第4项的二项式系数最大，即12 333533 163540TCxx 17解：（）随机变量X的可能取值为0、1、2、3当13a 时，022112(0)(1)(1)239P XC；02122111114(1)(1)(1)(1)232339P XCC；12222111115(2)(1)(1)()2332318P XCC；2222111(3)2218P XCaa 从而X的分布列为 X 0 1 2 3 P 29 49 518 118 X的数学期望为24517()01239918186E X ；（）因为022211(0)(1)(1)(1)22P XCaa，0221(1)(1)2P XCa12211(1)(1)(1)22C aaa，122222111(2)(1)(1)(2)222P XC aaCaaa，22221(3)212P XCaa，所以(1)(0)(1)P XP Xaa，12(1)(2)2aP XP X，212(1)(3)2aP XP X，由题意得2(1)012021202aaaa 和01a，所以102a，即a的取值范围是1(0,2 18解：（）因为直线AB过点(1,0)D且垂直于x轴，所以可设1(1,)Ay，1(1,)By，-3-/10 直线AE的方程为11(1)(2)yyx，令3x，得1(3,2)My，所以直线BM斜率为11213 1BMyyk；（）直线BM与直线DE平行 理由如下：1当直线AB的斜率不存在时，由（）可知，1BMk又因为直线DE的斜率1012 1DEk，所以BMDE；2当直线AB的斜率存在时，可设其方程为(1)yk x（1k）设11(,)A x y，22(,)B x y，则直线AE方程为1111(2)2yyxx，令3x 得1113(3,)2yxMx 由2233(1)xyyk x得2222(1 3)6330kxk xk由221,2236313kkxk得2122613kxxk，21223313kx xk，直线BM的斜率为11212323BMyxyxkx 因为11212121(1)3(1)(2)(3)(2)1(3)(2)BMk xxk xxxxkxx 121221(1)2()3(3)(2)kx xxxxx 2222213312(1)(3)1313(3)(2)kkkkkxx 0，所以1BMDEkk，所以BMDE 综上，直线BM与直线DE平行 19解：（）因为()ln(1)ln(1)f xxx，所以11()11fxxx，(0)2f，(0)0f，所 以曲线()yf x在点(0,(0)f处的切线方程为2yx；（）令3)()2()3xg xf xx，则4222()()2(1)1xg xfxxx，因为01x，所以()0g x，()g x在区间(0,1)上递增，所以()(0)0g xg，即当(0,1)x时，3()2()3xf xx；-4-/10 （）由（）知，当2k 时，3()()3xf xk x对(0,1)x恒成立 当2k 时，令3()()()3xh xf xk x，则24222()()(1)1kxkh xfxkxx2442222()()()1kkkk xxxkkkx，当420kxk时，/()0h x，因此，()h x在区间42(0,)kk上单调递减，所以，当420kxk时，()(0)0h xh，即3()()3xf xk x，所以，当2k 时，3()()3xf xk x并非对(0,1)x恒成立 综上，k的最大值为 20解：（）证明：11!(1)!(1)!(1)!kknnknnn nkCnCkkk（）设等差数列的通项公式为0naand，其中d为公差，则00()niinia Ca123123nnnnnna Ca Ca Ca C 012120()(2)nnnnnnnnna CCCCd CCnC，因为11kknnkCnC，所以120111112()nnnnnnnnCCnCn CCC，因此 0()niinia C012120()(2)nnnnnnnnna CCCCd CCnC 1022nnand 12nna；令1x，则223202(14)22222 4212nnnniia，令1x，则20(1)0niiia，所以201(2 42)412nnnniiba，根据已知条件可知 012233(4 1)(41)(41)(1)(41)nnnnnnnnndCCCCC -5-/10 012233(4)(4)(4)(4)nnnnnnnCCCCC01234nnnnnCCCCC(1)1nnnC (1 4)(1 1)1nn(3)1n，所以(3)1nnd ，将41nnb，(3)1nnd 代入不等式(1)nnt db得(3)41nnt 当n为偶数时，41()()33nnt 恒成立，所以22415()()333t；当n为奇数41()()33nnt 恒成立，所以1141()()133t 综上所述，所以实数t的取值范围是5 1,3 -6-/10 江苏省南通中学江苏省南通中学 2017 届高二届高二 5 月阶段考试数学（理月阶段考试数学（理科科）试卷）试卷 解解 析析 一一、填空题：填空题：1略 2114520CC 3略 4【解析】直接应用余弦定理得225382 3 8cos()71212d 。5【解析】因为13ba，所以2222101()3abbeaa，故该双曲线的离心率为103。6【解析】方法 1：设“第1次抽到理科题”为事件A，“第2次抽到理科题”为事件B，则“第1次和第2次抽到理科题”为事件AB，则1134253()5AAP AA，23253()10AP ABA，所以()(|)()P ABP B AP A3110325。方法 2：亦可以在压缩了的样本空间中直接计算概率为121412CPC。7【解析】11131(1)(1)(1)2344P 。8【解析】方法 1：显然2211()()(1)22kkkP XkC（0k，1，2），易得随机变量X的概率分布为 X 0 1 2 P 14 12 14 数学期望为111()0121424E X ，随机变量X的方差为2211()(0 1)(1 1)42V X 211(2 1)42；方法 2：直接应用二项分布的方差公式1()(1)2V Xnpp。9【解析】22232223113311220CCCCCC。10【解析】121111122224D ABEE ABDE ABPA BEPA BCPVVVVVVV，所以12VV14。-7-/10 11【解析】方法 1：利用二项展开式的通项公式求解，2525()()xxyxxy，含2y的项为3T 22325()Cxxy，其中23()xx中含5x的项为141533CxxCx，所以52x y的系数为215330CC。方法 2：利用组合知识求解，25()xxy为5个2xxy的积，其中有两个取y，两个取2x，一个取x即可，所以52x y的系数为22153130C C C。12【解析】平面向量a，b满足|2|2 2ab，22484aba b，又222242 4abab 4|ab4a b，所以484a ba b 即1a b，故a b的最小值是1。13【解析】因为1122nnnaa，所以121122nnnaa，两式左右两边分别相加得 23 21nnnaa，又23 21nnnaa，且naZ，所以23 2nnnaa，从而 2019201920172017201520152013311()()()()aaaaaaaaaa 2017201520133(2222)201922，而201920192(3 1)，所以被3除所得余数为2。14【解析】1 当0 xy时，22216161611(,)|()()()()24f x yxyyxyyxyxxx 16131244xx，当且仅当4x，12y 时取得“”；2当0 xy时，221616(,)|()()f x yxyyxyyxx ，显然该函数在(0,xy上单调递减，所以221616(,)()()f x yyyyyyy ，再设216()h yyy（(0,)y），则由/()h y 322160yy得2y，易得min31()(2)124h yh，由1、2知216(,)|f x yxyyx 的最小值为314。二、解答题 15【解析】（）224524960A A A（捆绑法）；（）7733840AA（等可能）；（）（固定模型），甲、乙两人坐法有(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，3,6)，(4,6)6种，所以每人的两边都有空位的坐法为22612A。16【解析】（）令1x 得展开式各项系数和为4n，而二项式系数和为012nnnnnCCC，由题意得 -8-/10 424032nn，即(264)(263)0nn，264n或263n，又因为nN，所以264n，故6n，二项 展 开 式 的 第1r 项 为123163rrrrTCx，令1243r得0r，所 以 展 开 式 中 含4x的 项 为0044163TCxx；（）因为6n，所以展开式中第4项的二项式系数最大，即12 333533 163540TCxx。17【解析】（）随机变量X的可能取值为0、1、2、3。当13a 时，022112(0)(1)(1)239P XC；02122111114(1)(1)(1)(1)232339P XCC；12222111115(2)(1)(1)()2332318P XCC；2222111(3)2218P XCaa。从而X的分布列为 X 0 1 2 3 P 29 49 518 118 X的数学期望为24517()01239918186E X ；（）因为022211(0)(1)(1)(1)22P XCaa，0221(1)(1)2P XCa 12211(1)(1)(1)22Caaa，122222111(2)(1)(1)(2)222P XCaaCaaa，222211(3)22P XCaa，所以(1)(0)(1)P XP Xaa，12(1)(2)2aP XP X，212(1)(3)2aP XP X，由题意得2(1)012021202aaaa 和01a，所以102a，即a的取值范围是1(0,2。18【解析】（）因为直线AB过点(1,0)D且垂直于x轴，所以可设1(1,)Ay，1(1,)By，直线AE的方程 为11(1)(2)yyx，令3x，得1(3,2)My，所以直线BM斜率为11213 1BMyyk；（）直线BM与直线DE平行。理由如下：1当直线AB的斜率不存在时，由（）可知，1BMk。又因为直线DE的斜率1012 1DEk，所以BMDE；-9-/10 2当直线AB的斜率存在时，可设其方程为(1)yk x（1k）。设11(,)A x y，22(,)B x y，则直线AE方程为1111(2)2yyxx，令3x 得1113(3,)2yxMx。由2233(1)xyyk x得2222(1 3)6330kxk xk，由221,2236313kkxk得2122613kxxk，21223313kx xk，直线BM的斜率为11212323BMyxyxkx。因为11212121(1)3(1)(2)(3)(2)1(3)(2)BMk xxk xxxxkxx 121221(1)2()3(3)(2)kx xxxxx 2222213312(1)(3)1313(3)(2)kkkkkxx0，所以1BMDEkk，所以BMDE。综上，直线BM与直线DE平行。19【解析】（）因为()ln(1)ln(1)f xxx，所以/11()11fxxx，/(0)2f，(0)0f，所 以曲线()yf x在点(0,(0)f处的切线方程为2yx；（）令3()()2()3xg xf xx，则4/222()()2(1)1xgxfxxx，因为01x，所以/()0g x，()g x在区间(0,1)上递增，所以()(0)0g xg，即当(0,1)x时，3()2()3xf xx；（）由（）知，当2k 时，3()()3xf xk x对(0,1)x恒成立。当2k 时，令3()()()3xh xf xk x，则24/222()()(1)1kxkh xfxkxx 2442222()()()1kkkk xxxkkkx，当420kxk时，/()0h x，因此，()h x在区间 42(0,)kk上单调递减，所以，当420kxk时，()(0)0h xh，即3()()3xf xk x，所以，当2k 时，3()()3xf xk x并非对(0,1)x恒成立。综上，k的最大值为。20.【解析】（）证（略）；（）设等差数列的通项公式为0naand，其中d为公差，则00()niinia Ca 123123nnnnnna CaCaCaC012120()(2)nnnnnnnnna CCCCd CCnC，因为11kknnkCnC，所以120111112()nnnnnnnnCCnCn CCC，因此 -10-/10 0()niinia C012120()(2)nnnnnnnnna CCCCd CCnC1022nnand12nna；注：该问也可以用倒序相加法证明（酌情给分）；令1x，则223202(14)22222 4212nnnniia，令1x，则20(1)0niiia，所以201(2 42)412nnnniiba，根据已知条件可知012233(4 1)(41)(41)(1)(41)nnnnnnnnndCCCCC 012233(4)(4)(4)(4)nnnnnnnCCCCC 01234nnnnnCCCCC(1)1nnnC(1 4)(1 1)1nn(3)1n，所以(3)1nnd ，将41nnb，(3)1nnd 代入不等式(1)nntdb得(3)41nnt。当n为偶数时，41()()33nnt 恒成立，所以22415()()333t；当n为奇数，41()()33nnt 恒成立，所以1141()()133t 。综上所述，所以实数t的取值范围是5 1,3。