2021年新高考数学模拟试卷(6).pdf

20212021 年新高考数学模拟试卷年新高考数学模拟试卷 6 6一选择题（共一选择题（共 8 8 小题，满分小题，满分 4040 分，每小题分，每小题 5 5 分）分）1（5 分）已知集合 Ax|2x3，Bx|x23x0，则 AB（）A2，3B2，0C0，3D3，32（5 分）设 i 为虚数单位，复数=A32iB3+2i2+3，则 z 的共轭复数是（）C32iD3+2i3（5 分）命题xR R，x2+x1 的否定是（）AxR R，x2+x1CxR R，x2+x1BxR R，x2+x1DxR R，x2+x14（5 分）设 M 是ABC 边 BC 的中点，若=+，则+的值为（）A41B2221C122D25（5 分）设 F1，F2是双曲线 C：=1（a0，b0）的左，右焦点，O 是坐标原点 过F2的一条直线与双曲线C和y轴分别交于A、B两点 若|OA|OF2|，|OB|=3|OA|，则双曲线 C 的离心率为（）A2+12B3+12C2+1D3+16（5 分）已知三棱锥 SABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形，且 ABSASBSC2，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A 38B433C 34D16327（5 分）已知数列an前 n 项和为 Sn，满 Snan2+bn（a，b 为常数），且 a9=，设函数 f（x）2+sin2x2sin2，记=()，则数列yn的前 17 项和为2A172B9C11D178（5 分）普通高中已知函数 yf（x）的周期为 2，当 x0，2时，f（x）（x1）2，如果 g（x）f（x）log5x，则函数 yg（x）的零点个数为（）A1B3C5D7二多选题（共二多选题（共 4 4 小题，满分小题，满分 2020 分，每小题分，每小题 5 5 分）分）9（5 分）函数 f（x）2sin（x+6）的图象可由函数 g（x）=3sin2xcos2x 的图象如何第1 1页（共2222页）变化得到（）A 先将 g（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再向左平移 个3单位3B 先将 g（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的2 倍，纵坐标不变，再向左平移 个单位3C先将g（x）的图象上所有点向左平移 个单位，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变216D先将g（x）的图象上所有点向左平移 个单位，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变10（5 分）某地某所高中 2019 年的高考考生人数是2016 年高考考生人数的 1.5 倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校 2016 年和 2019 年的高考升学情况，得到如下柱图：则下列结论正确的是（）A与 2016 年相比，2019 年一本达线人数有所增加B与 2016 年相比，2019 年二本达线人数增加了0.5 倍C与 2016 年相比，2019 年艺体达线人数相同D与 2016 年相比，2019 年不上线的人数有所增加11（5 分）函数 f（x）Asin（x+）（A0，0）的部分图象如图所示，则(4)的值为（）7第2 2页（共2222页）A26B23C22D112（5 分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点 F 是线段 BC1上的动点，则下列说法错误的是（）A当点 F 移动至 BC1中点时，直线 A1F 与平面 BDC1所成角最大且为 60B无论点 F 在 BC1上怎么移动，都有 A1FB1D1C当点 F 移动至 BC1中点时，A1F 与 B1D 相交于一点 E，且=2D在 BC1上存在点 F，使异面直线 A1F 与 CD 所成角是 30三填空题（共三填空题（共 4 4 小题，满分小题，满分 2020 分，每小题分，每小题 5 5 分）分）13（5分）若直线l：x3y0与圆C：x2+y28x4y+160交于M，N两点，则|MN|14（5 分）函数()=1(2+)的单调递减区间是，值域为215（5 分）若定义域为 R R 的函数 f（x）满足 f（x）f（x），则不等式 ef（lnx）xf（1）0 的解集为（结果用区间表示）16（5 分）观察下列算式：131，233+5，337+9+11，4313+15+17+19，若某数 n3按上述规律展开后，发现右边含有“2017”这个数，则：n四解答题（共四解答题（共 6 6 小题，满分小题，满分 7070 分）分）17（10 分）如图，在ABC 中，M 是 AC 的中点，=3，=2（1）若=12，求 AB 的长；（2）若=23，求 的面积第3 3页（共2222页）518（12 分）已知公差不为零的等差数列an中，a5+a722，且 a1，a2，a5成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）设=1，求数列bn的前 n 项和 Sn+119（12 分）为了解学生的身体素质情况，现从我校学生中随机抽取 10 人进行体能测试，测试的分数（百分制）如茎叶图所示根据有关国家标准，成绩不低于 79 分的为优秀，将频率视为概率（1）另从我校学生中任取3 人进行测试，求至少有1 人成绩是“优秀”的概率；（2）从前文所指的这 10 人（成绩见茎叶图）中随机选取 3 人，记 X 表示测试成绩为“优秀”的学生人数，求 X 的分布列及期望20（12 分）已知四棱锥 PABCD，=2，BCAD，ADC90，点 P 在底面 ABCD 上的射影是 BD 的中点 O，=2（1）求证：直线 BD平面 POC；（2）若 BC1，M、N 分别为 PO、CD 的中点，求直线 MN 与平面 PCD 所成角的正弦值；（3）当四棱锥 PABCD 的体积最大时，求二面角BPCD 的大小21（12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：221+22=1（ab0）的左、右顶点分别为 A1（2，0），A2（2，0），右准线方程为 x4过点 A1的直线交椭圆 C于 x 轴上方的点 P，交椭圆 C 的右准线于点 D直线 A2D 与椭圆 C 的另一交点为 G，直线 OG 与直线 A1D 交于点 H（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）若 HGA1D，试求直线 A1D 的方程；第4 4页（共2222页）（3）如果1=1，试求 的取值范围22（12 分）已知函数 f（x）xlnx，g（x）=2mx2（1）若函数 f（x）与 g（x）的图象上存在关于原点对称的点，求实数m 的取值范围（2）设 F（x）f（x）g（x），已知 F（x）在（0，+）上存在两个极值点x1，x2且 x1x2，求证：x1x211第5 5页（共2222页）20212021 年新高考数学模拟试卷年新高考数学模拟试卷 6 6参考答案与试题解析参考答案与试题解析一选择题（共一选择题（共 8 8 小题，满分小题，满分 4040 分，每小题分，每小题 5 5 分）分）1（5 分）已知集合 Ax|2x3，Bx|x23x0，则 AB（）A2，3B2，0C0，3D3，3【解答】解：Bx|x23x0，Bx|0 x3，AB2，3，故选：A2（5 分）设 i 为虚数单位，复数=A32i【解答】解：=3+2故选：B3（5 分）命题xR R，x2+x1 的否定是（）AxR R，x2+x1CxR R，x2+x1BxR R，x2+x1DxR R，x2+x1B3+2i2+3，则 z 的共轭复数是（）C32iD3+2i2+3(2+3)()=3 2，2【解答】解：全称命题的否定为特称命题，命题xR R，x2+x1 的否定是xR R，x2+x1，故选：C4（5 分）设 M 是ABC 边 BC 的中点，若=+，则+的值为（）A41B21C1D2【解答】解：如图，1111则=+=+=+（）=+，2222所以+=2+2=1，故选：C11第6 6页（共2222页）5（5 分）设 F1，F2是双曲线 C：2222=1（a0，b0）的左，右焦点，O 是坐标原点 过F2的一条直线与双曲线C和y轴分别交于A、B两点 若|OA|OF2|，|OB|=3|OA|，则双曲线 C 的离心率为（）A212B312C21D31【解答】解：如下图所示，由于|=3|2|=3|，所以，2=|=3则2=3，2所以，|2|=|2|=2|2|=2，21|=|2|=2|2|，则 A 为线段 BF2的中点，连接 BF1（F1为双曲线 C 的左焦点），由对称性可知，1=3，则BF1F2为等边三角形，A 为 BF2的中点，AF1BF2，|1|=|12|2|2|2=3，由双曲线的定义可得2=|1|2|=3 =(3 1)，因此，双曲线的离心率为=故选：D2=3131第7 7页（共2222页）6（5 分）已知三棱锥 SABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形，且 ABSASBSC2，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A 38B433C 34D163【解答】解：如图所示：三棱锥 SABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形，且ABSASBSC2，则：SD=3，设外接球的半径为 R，则：在BOD 中，利用勾股定理：(3)2=12+2，解得：R=23416所以：S4R24 3=3故选：D7（5 分）已知数列an前 n 项和为 Sn，满 Snan2+bn（a，b 为常数），且 a9=2，设函数 f第8 8页（共2222页）（x）2+sin2x2sin2，记=()，则数列yn的前 17 项和为（）2A172B9C11D17【解答】解：f（xsin2x+cosx+1，由=2+，得 an2naa+b，an为等差数列，a1+a172a9，y1+y17f（a1）+f（a17）sin2a1+cosa1+1+sin2a17+cosa17+1sin2a1+cosa1+1+sin（22a1）+cos（a1）+12，数列yn的前 17 项和为 28+117故选：D8（5 分）普通高中已知函数 yf（x）的周期为 2，当 x0，2时，f（x）（x1）2，如果 g（x）f（x）log5x，则函数 yg（x）的零点个数为（）A1【B3解C5答D7】解：根据题意，函数 g（x）f（x）log5x，若 g（x）f（x）log5x0，则有 f（x）log5x，分别作出函数 yf（x）与 ylog5x 的图象，分析可得：两个函数图象有5 个交点，则函数 yg（x）的零点个数为 5，故选：C二多选题（共二多选题（共 4 4 小题，满分小题，满分 2020 分，每小题分，每小题 5 5 分）分）9（5 分）函数 f（x）2sin（x+6）的图象可由函数 g（x）=3sin2xcos2x 的图象如何变化得到（）A 先将 g（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再向左平移 个3第9 9页（共2222页）单位3B 先将 g（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的2 倍，纵坐标不变，再向左平移 个单位3C先将g（x）的图象上所有点向左平移 个单位，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变216D先将g（x）的图象上所有点向左平移 个单位，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变【解答】解：把函数 g（x）=3sin2xcos2x2sin（2x6）的图象上所有点向左平移 个6单位，可得 y2sin（2x+6）的图象；再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，可得函数f（x）2sin（x+6）的图象或者先将 g（x）2sin（2x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，可得 y2sin（x）的图象，再向左平移 个单位，可得可得函数 f（x）2sin（x+6）的图象366故选：AD10（5 分）某地某所高中 2019 年的高考考生人数是2016 年高考考生人数的 1.5 倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校 2016 年和 2019 年的高考升学情况，得到如下柱图：则下列结论正确的是（）第1010页（共2222页）A与 2016 年相比，2019 年一本达线人数有所增加B与 2016 年相比，2019 年二本达线人数增加了0.5 倍C与 2016 年相比，2019 年艺体达线人数相同D与 2016 年相比，2019 年不上线的人数有所增加【解答】解：依题意，设2016 年高考考生人数为 x，则 2019 年高考考生人数为 1.5x，由 24%1.5x28%x8%x0，故选项 A 正确；由（40%1.5x32%x）32%x=8，故选项 B 不正确；由 8%1.5x8%x4%x0，故选项 C 不正确；由 28%1.5x32%x42%x0，故选项 D 正确故选：AD11（5 分）函数 f（x）Asin（x+）（A0，0）的部分图象如图所示，则(为（）7)的值47A26B23C22D17【解答】解：由函数的最小值可知：=2，函数的周期：=4 (12 3)=，则=2，由于当=12时，+=2 12+=2+2()，据此可得：=2+3()，令 k0 可得：=3，则函数的解析式为：()=2(2+3)，可得：(4)=2(2 4+3)=2 6=2故选：C12（5 分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点 F 是线段 BC1上的动点，则下列说法第1111页（共2222页）2277377112错误的是（）A当点 F 移动至 BC1中点时，直线 A1F 与平面 BDC1所成角最大且为 60B无论点 F 在 BC1上怎么移动，都有 A1FB1D1C当点 F 移动至 BC1中点时，A1F 与 B1D 相交于一点 E，且=2D在 BC1上存在点 F，使异面直线 A1F 与 CD 所成角是 30【解答】解：对于 A，当点 F 移动到 BC1的中点时，直线 A1F 与平面 BDC1所成角由小到大再到小，如图 1 所示；且 F 为 B1C 的中点时最大角的余弦值为错误；对于选项 B，在正方形中，DB1面 A1BC1，又 A1F面 A1BC1，所以 A1FB1D，B 正确；对于选项 C，F 为 BC1的中点时，也是 B1C 的中点，它们共面于平面 A1B1CD，且必相交，设为 E，连 A1D 和 B1C，如图 2，1=6662=13，最大角大于 60，所以 A21第1212页（共2222页）根据A1DEFB1E，可得1=11=2，所以 C 正确；对于 D，当点 F 从 B 运动到 C1时，异面直线 A1F 与 CD 所成角由大到小再到大，22且 F 为 B1C 的中点时最小角的正切值为故选：AD1=23，最小角大于 30，所以 D 错误23三填空题（共三填空题（共 4 4 小题，满分小题，满分 2020 分，每小题分，每小题 5 5 分）分）13（5 分）若直线 l：x3y0 与圆 C：x2+y28x4y+160 交于 M，N 两点，则|MN|6105【解答】解：依题意，圆C：（x4）2+（y2）24，故圆心（4，2）到直线 l：x3y0 的距离=|=22 2=24 5=故答案为：6105122|46|2=，10102610514（5 分）函数()=1(2+)的单调递减区间是（0，），值域为2，+）【解答】解：令 tx2+x0，求得函数的定义域为（0，1），f（x）g（t）=1，2本题即求函数 t 在定义域（0，1）上的增区间和值域tx2+x 在定义域（0，1）上的增区间为（0，），21故函数()=1(2+)的单调递减区间是(0，2)21再根据 tx2+x=(2)2+4，可得 t 在（0，1）上的最大值为，t 的最小值趋于零，4111故 f（x）g（t）=12，+），2第1313页（共2222页）故答案为：（0，）、2，+）2115（5 分）若定义域为 R R 的函数 f（x）满足 f（x）f（x），则不等式 ef（lnx）xf（1）0 的解集为（0，e）（结果用区间表示）【解答】解：令 g（x）=，()()则 g（x）=，2()因为 f（x）f（x），所以 g（x）0，所以，函数 g（x）为（，+）上的增函数，由 ef（lnx）xf（1），得：()(1)1，即 g（lnx）g（1），因为函数 g（x）为（，+）上的增函数，所以 lnx1所以不等式的解集是（0，e）故答案为（0，e）16（5 分）观察下列算式：131，233+5，337+9+11，4313+15+17+19，若某数 n3按上述规律展开后，发现右边含有“2017”这个数，则：n45【解答】解：由题意可得第 n 个式子的左边是 n3，右边是 n 个连续奇数的和，设第 n 个式子的第一个数为 an，则有 a2a1312，a3a2734，anan12（n1），以上（n1）个式子相加可得 ana1=(1)2+2(1)，2故 ann2n+1，可得 a451981，a462071，故可知 2017 在第 45 个式子，故答案为：45四解答题（共四解答题（共 6 6 小题，满分小题，满分 7070 分）分）17（10 分）如图，在ABC 中，M 是 AC 的中点，=3，=2（1）若=12，求 AB 的长；（2）若=23，求 的面积5第1414页（共2222页）【解答】解：（1）=312=4，（2 分）在ABC 中，由正弦定理得5=，43=26（6 分）4（2）在BCM 中，由余弦定理得2=2+2 2 2 2，124+BC22BC，解得 BC4（负值舍去），（10 分）=1=2+231 =43，（12 分）2318（12 分）已知公差不为零的等差数列an中，a5+a722，且 a1，a2，a5成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）设=，求数列bn的前 n 项和 Sn+1【解答】解：（1）公差 d 不为零的等差数列an中，a5+a722，且 a1，a2，a5成等比数列，可得 2a1+10d22，即 a1+5d11，又 a22a1a5，即（a1+d）2a1（a1+4d），解得 a11，d2，则 an1+2（n1）2n1；（2）=11111=（），+1(21)(2+1)2212+11111111则前 n 项和 Sn=2（13+35+212+1）=2（12+1）=2+119（12 分）为了解学生的身体素质情况，现从我校学生中随机抽取 10 人进行体能测试，测试的分数（百分制）如茎叶图所示根据有关国家标准，成绩不低于 79 分的为优秀，第1515页（共2222页）11将频率视为概率（1）另从我校学生中任取3 人进行测试，求至少有1 人成绩是“优秀”的概率；（2）从前文所指的这 10 人（成绩见茎叶图）中随机选取 3 人，记 X 表示测试成绩为“优秀”的学生人数，求 X 的分布列及期望【解答】解：（1）由茎叶图知，抽取的 10 人中成绩是“优秀”的有6 人，频率为，53依题意，从我校学生中任选1 人，成绩是“优秀”的概率为，53记事件 A 表示“在我校学生中任选3 人，至少 1 人成绩是优良”，3则()=1 3(1 5)3=1253117（2）由题意可得，X 的取值可能为 0，1，2，3，(=0)=(=1)=(=2)=(=3)=41033=30，=3，101124161426310363=10103=2，1，6X 的分布列为：XP011321231630103119数学期望 E（X）=0 30+1 10+2 2+36=520（12 分）已知四棱锥 PABCD，=2，BCAD，ADC90，点 P 在底面 ABCD 上的射影是 BD 的中点 O，=2（1）求证：直线 BD平面 POC；（2）若 BC1，M、N 分别为 PO、CD 的中点，求直线 MN 与平面 PCD 所成角的正弦值；第1616页（共2222页）11（3当四棱锥 PABCD 的体积最大时，求二面角BPCD 的大小【解答】解：（1）：（几何法）因为 PO平面 ABCD，所以 POBD，又因为 BCCD，且 O 为 BD 的中点，故 POBD又 POOCO，所以 BD平面 POC（2）解析 1：（几何法）连接 ON，PN，过 M 作 MHPN，垂足为 H，由于 ONBC，所以 ONCD，而 POCD，故 CD平面 PON，所以 CDMH，MH平面 PCD，故 MN 与平面 PCD 所成角为MNH由于 BC1，=2，所以=2，=2，故=7612，=104由PMHPON，所以=6，4747105所以=103546故直线 MN 与平面 PCD 所成角的正弦值为（2）解析 2：（坐标法）以 C 为原点建立直角坐标系如图所示，10535则 C（0，0，0），B（0，1，0），D（1，0，0），(，)，于是|=4+4+2=2，解得=2即(2，2，2)所以(2，0，0)，(2，2，4)，=(1，2，4)设平面 PCD 的法向量为=(，2)，=0=0则，611=6 =2+2+2=0令 z1，得=(0，6，1)，第1717页（共2222页）1212116116111616所以=|，|=|=66|0+24|1+66+1416=10535故直线 MN 与平面 PCD 所成角的正弦值为（3）解析 1：（几何法），10535设 BC2a，则=2，=2 22，所2(以=3=3112+4 2 2 22=24(2 22)22+2+22246)=，39236当且仅当 a222a2即=3时取等号此时=2643，=，33且=2，=2，所以PBCPDC过点 B 作 BEPC 于点 E，连接 DE，则 DEPC，所以BED 就是二面角 BPCD 的平面角16161642+2219+93又=3，所以=，4422233所以=2323故二面角 BPCD 的大小为（3）解析 2：（坐标法）同解法 1 可求得当四棱锥PABCD 体积最大时，=2643，=，以 C 为原点建立空间直角坐标系，336662626，0，0)，(0，0)，(，)33333则 C（0，0，0），(设平面 PBC 的法向量为1=(1，1，1)，261=01=03则，1=162 =3(1+1+1)=01 =令 z11，得1=(1，0，1)，同理，可得平面 PCD 的一个法向量为的2=(0，1，1)所以1，2=2，第1818页（共2222页）1又因为二面角 BPCD 为钝二面角，所以二面角BPCD 的大小为23第1919页（共2222页）21（12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：22+22=1（ab0）的左、右顶点分别为 A1（2，0），A2（2，0），右准线方程为 x4过点 A1的直线交椭圆 C于 x 轴上方的点 P，交椭圆 C 的右准线于点 D直线 A2D 与椭圆 C 的另一交点为 G，直线 OG 与直线 A1D 交于点 H（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）若 HGA1D，试求直线 A1D 的方程；（3）如果1=1，试求 的取值范围【解答】解：（1）由椭圆的左、右顶点分别为 A1（2，0），A2（2，0），右准线方程为x4 可得 a2，故椭圆方程为242=4，故 c1，b2a2c23，=1+23（2）设直线 A1D：yk（x+2），（k0），则与右准线 x4 的交点 D（4，6k），又 A2（2，0），所以设直线 A2D：y3k（x2），=3(+2)242212则22，解得 G（，），1+221+122+=143则直线 OG 的斜率为 kOG=OGA1D，k1，又 k0，解得 k=6，12216612 12，66则直线 A1D 的方程为 y=6（x+2）（3）由（2）中可得，设直线OG：y=612 12x，联立可得=62=(+2)解得H（12 1，242+2122+5，第2020页（共2222页）121225），2268212=1联立4，解得 P（，），3234234=(2)1=1，（xH+2，yH）（xP+2，yP），yHyP，=f（k）=12212 512234=342212 5=212 942341=，342341f（k）在（0，+）为减函数，（，）351322（12 分）已知函数 f（x）xlnx，g（x）=mx2（1）若函数 f（x）与 g（x）的图象上存在关于原点对称的点，求实数m 的取值范围（2）设 F（x）f（x）g（x），已知 F（x）在（0，+）上存在两个极值点x1，x2，且 x1x2，求证：x1x21【解答】解：（1）函数（f x）与 g（x）的图象上存在关于原点对称的点，即g（x）=2的图象与 f（x）xlnx 的图象有交点，即22=xlnx 在（0，+）上有解，即 =2111212在（0，+）上有解，设（x）=1（x0），则（x）=，2当 x（0，e）时，（x）为减函数，当 x（e，+）时，（x）为增函数，（x）min（e）=，2111m；（2）证明：由已知可得F（x）f（x）g（x）xlnx22，则 F（x）lnxmx+1，F（x）在（0，+）上存在两个极值点x1，x2，且 x1x2，第2121页（共2222页）21 1+1=01，2 2+1=0解得：m=1+2+212，且 m=，1+2121+2+21+2=1212，(1+1)121212即 lnx1+lnx2+2=121=122+，设 t=1，t（0，1），则 lnx1+lnx2+2=2(+1)，1要证 x1x21，即证 ln（x1x2）ln1，即证 lnx1+lnx20，只需证：lnx1+lnx2+22，即即证：2(1)0，+12(1)(+1)12，设 h（t）=+1，t（0，1），14(1)则 h（t）=2=20，(+1)(+1)2h（t）在（0，1）上单调递增，h（t）h（1）0，即+10 得证，x1x212(1)第2222页（共2222页）