1、核心素养测评七十七 坐标系
1.(10分)将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得到曲线C.
(1)求曲线C的标准方程.
(2)设直线l:2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与直线l垂直的直线的极坐标方程.
【解析】(1)设(x1,y1)为圆上的点,在变换下变为曲线C上的点(x,y),依题意,得
由+=1,得x2+=1,
即曲线C的标准方程为x2+=1.
(2)由解得或
不妨设P1(1,0),P2(0,2),那么线段P1P2的中点坐标为,所求直线的斜率为k=,
于是所求直线
2、的方程为y-1=,
化为极坐标方程,并整理得2ρcos θ-4ρsin θ=-3,
故所求直线的极坐标方程为ρ=.
2.(10分)(2023·洛阳模拟)圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2,ρ2-2ρcos=2.
(1)将圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程.
(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.
【解析】(1)由ρ=2知ρ2=4,由坐标变换公式,得x2+y2=4.
因为ρ2-2ρcos=2,
所以ρ2-2ρ=2.
由坐标变换公式,得x2+y2-2x-2y-2=0.
(2)将两圆的直角坐标方程相减,得经过两圆交点的直线方程为x+y=1.
化为极坐标方程为ρco
3、s θ+ρsin θ=1,
即ρsin=.
3.(10分)(2023·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ-3=0.
(1)求C2的直角坐标方程.
(2)假设C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.
【解析】(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ,x2+y2=ρ2得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.
(2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.
由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1,y轴左边的
4、射线为l2.由于点B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.
当l1与C2只有一个公共点时,A到l1所在直线的距离为2,所以=2,故k=-或k=0.
经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;
当k=-时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点.
当l2与C2只有一个公共点时,A到l2所在直线的距离为2,所以=2,故k=0或k=.
经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=时,l2与C2没有公共点.
综上可得,k=-,C1的方程为:y=-|x|+2.
5、4.(10分)曲线C的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ+-2=0.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系xOy.
(1)假设直线l过原点,且被曲线C截得的弦长最小,求直线l的直角坐标方程.
(2)假设M是曲线C上的动点,且点M的直角坐标为(x,y),求x+y的最大值.
【解析】(1)ρ2-2ρcos-2=0,
即ρ2-2ρcos θ+2ρsin θ-2=0,
将代入上式,得曲线C的直角坐标方程为(x-1)2+(y+1)2=4,
圆心C(1,-1),假设直线l被曲线C截得的弦长最小,那么直线l与OC垂直,
即kl·kOC=-1,kOC=-1,因而kl=1,故直线l的直角坐标方程为y=x.
(2)因为M是曲线C上的动点,因而利用圆的参数方程可设
(φ为参数),那么x+y=2sin φ+2cos φ=2sin,
当sin=1时,x+y取得最大值2.
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