1、
考点规范练58 坐标系与参数方程
考点规范练B册第43页
基础巩固组
1.(2015河北衡水中学二模)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数),以该直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系下,曲线P的方程为ρ2-4ρcos θ+3=0.
(1)求曲线C的普通方程和曲线P的直角坐标方程;
(2)设曲线C和曲线P的交点为A,B,求|AB|.
解:(1)曲线C的普通方程为x-y-1=0.
曲线P的直角坐标方程为x2+y2-4x+3=0.
(2)曲线P可化为(x-2)2+y2=1,表示圆心为(2,0),半径r=1的圆,
则圆心到直线C的距离为d=,
2、
所以|AB|=2.
2.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρcos=1,M,N分别为曲线C与x轴,y轴的交点.
(1)写出曲线C的直角坐标方程,并求M,N的极坐标;
(2)设M,N的中点为P,求直线OP的极坐标方程.
解:(1)由ρcos=1得,ρcos θ·cos+ρsin θ·sin=1.
即曲线C的直角坐标方程为x+y-2=0.
令y=0,则x=2;令x=0,则y=.
∴M(2,0),N.
∴M的极坐标为(2,0),N的极坐标为.
(2)M,N连线的中点P的直角坐标为,P的极角为θ=.
∴直线OP的极坐标方程为θ=
3、ρ∈R).〚导学号32470854〛
3.(2015沈阳一模)在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(θ为参数),直线l经过点P(1,2),倾斜角α=.
(1)写出圆C的普通方程和直线l的参数方程;
(2)设直线l与圆C相交于A,B两点,求|PA|·|PB|的值.
解:(1)消去θ,得圆的普通方程为x2+y2=16.
直线l的参数方程为
即(t为参数).
(2)把直线l的参数方程代入x2+y2=16,
得=16,
即t2+(2+)t-11=0.
所以t1t2=-11,即|PA|·|PB|=11.
4.在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标
4、系,已知点A的极坐标为,直线l的极坐标方程为ρcos=a,且点A在直线l上.
(1)求a的值及直线l的直角坐标方程;
(2)圆C的参数方程为(α为参数),试判断直线l与圆C的位置关系.
解:(1)由点A在直线ρcos=a上,可得a=.
所以直线l的方程可化为ρcos θ+ρsin θ=2,
从而直线l的直角坐标方程为x+y-2=0.
(2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,
所以圆C的圆心为(1,0),半径r=1.
因为圆心C到直线l的距离d=<1,
所以直线l与圆C相交.〚导学号32470855〛
能力提升组
5.已知曲线C:=1,直线l:(t为参数)
5、
(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.
解:(1)曲线C的参数方程为(θ为参数).
直线l的普通方程为2x+y-6=0.
(2)曲线C上任意一点P(2cos θ,3sin θ)到l的距离为d=|4cos θ+3sin θ-6|,
则|PA|=|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,且tan α=.
当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为.
当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为.〚导学号32470856〛
6.(2015河北石家庄高三质
6、检二)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数).以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度,曲线C2的极坐标方程为ρcos.
(1)把曲线C1的方程化为普通方程,C2的方程化为直角坐标方程;
(2)若曲线C1,C2相交于A,B两点,AB的中点为P,过点P作曲线C2的垂线交曲线C1于E,F两点,求|PE|·|PF|的值.
解:(1)消去参数可得C1:y2=4x,
C2:x-y-1=0.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),且AB中点为P(x0,y0),
联立可得x2-6x+1=0.
∴x1+x2=6,x1x2=1,
∴
∴AB中垂线的参数方程为(t为参数).①
y2=4x.②
将①代入②中,得t2+8t-16=0,∴t1·t2=-16.
∴|PE|·|PF|=|t1·t2|=16.〚导学号32470857〛
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