2022高考数学一轮复习课后限时集训69离散型随机变量及其分布列理北师大版.doc

课后限时集训69
离散型随机变量及其分布列
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一、选择题
1．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，那么P(X＝0)等于(　　)
A．0　　 B．　　 　
C．　　 D．
C　[由得X的所有可能取值为0,1，
且P(X＝1)＝2P(X＝0)，
由P(X＝1)＋P(X＝0)＝1，得P(X＝0)＝.]
2．假设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
P
9c2－c
3－8c
那么常数c的值为(　　)
A.或 B．
C. D．1
C　[根据离散型随机变量分布列的性质知
解得c＝.]
3．假设随机变量X的分布列为
X
－2
－1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
那么当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2] B．[1,2]
C．(1,2] D．(1,2)
C　[由随机变量X的分布列知P(X＜－1)＝0.1，P(X＜0)＝0.3，P(X＜1)＝0.5，P(X＜2)＝0.8，P(X＝2)＝0.1，那么当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(1,2]．]
4．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，假设取得黑球那么另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．假设抽取的次数为ξ，那么表示放回5个红球〞事件的是(　　)
A．ξ＝4 B．ξ＝5
C．ξ＝6 D．ξ≤5
C　[ “放回5个红球〞表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故ξ＝6.]
5．从装有3个白球、4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球、1个红球的概率是(　　)
A. B．
C. D．
C　[如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，那么这是一个超几何分布问题，故所求概率为P＝＝.]
二、填空题
6．设随机变量X的概率分布列为
X
1
2
3
4
P

m

那么P(|X－3|＝1)＝________.
　[由＋m＋＋＝1，解得m＝，
P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝＋＝.]
7．(2022·洛阳模拟)袋中有4只红球，3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，那么P(ξ≤6)＝________.
　[P(ξ≤6)＝P(取到3只红球1只黑球)＋P(取到4只红球)＝＋＝.]
8．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并答复正确的得1分，抢到题但答复错误的扣1分(即得－1分)．假设X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，那么X的所有可能取值是________．
－1,0,1,2,3　[X＝－1，甲抢到一题但答错了．
X＝0，甲没抢到题，或甲抢到2题，但答时一对一错．
X＝1时，甲抢到1题且答对或甲抢到3题， 且1错2对．
X＝2时，甲抢到2题均答对．
X＝3时，甲抢到3题均答对．]
三、解答题
9．某射手射击一次所得环数X的分布列如下：
X
7
8
9
10
P
0.1
0.4
0.3
0.2
现该射手进行两次射击，以两次射击中最高环数作为他的成绩，记为ξ.
(1)求ξ＞7的概率；
(2)求ξ的分布列．
[解]　(1)P(ξ＞7)＝1－P(ξ＝7)＝1－0.1×0.1＝0.99.
(2)ξ的可能取值为7,8,9,10.
P(ξ＝7)＝0.12＝0.01，
Pξ＝8)＝2×0.1×0.4＋0.42＝0.24，
P(ξ＝9)＝2×0.1×0.3＋2×0.4×0.3＋0.32＝0.39，
P(ξ＝10)＝2×0.1×0.2＋2×0.4×0.2＋2×0.3×0.2＋0.22＝0.36.
∴ξ的分布列为
X
7
8
9
10
P
0.01
0.24
0.39
0.36
10.PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2022，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．从某自然保护区2022年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：
PM2.5日均值
(微克/立方米)
[25，
35)
[35，
45)
[45，
55)
[55，
65)
[65，
75)
[75，
85]
频数
3
1
1
1
1
3
(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量到达一级的概率；
(2)从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列．
[解]　(1)记“从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量到达一级〞为事件A，
那么P(A)＝＝.
(2)由条件知，ξ服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，且随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3.
P(ξ＝k)＝(k＝0,1,2,3)．
∴P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝.
故ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P

1．设随机变量X的概率分布列如下表所示：
X
0
1
2
P
a

假设F(x)＝P(X≤x)，那么当x的取值范围是[1,2)时，F(x)等于(　　)
A. B．
C. D．
D　[由分布列的性质，
得a＋＋＝1，所以a＝.
而x∈[1,2)，
所以F(x)＝P(X≤x)＝＋＝.]
2．一只袋内装有m个白球，n－m个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X个白球，以下概率等于的是(　　)
A．P(X＝3) B．P(X≥2)
C．P(X≤3) D．P(X＝2)
D　[由超几何分布知P(X＝2)＝.]
3．(2022·山东滨州月考)如下图，A，B两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.记从中任取三条线且在单位时间内通过的最大信息总量为X，那么P(X≥8)＝________.
　[法一：(直接法)由得，X的取值为7,8,9,10，
∵P(X＝7)＝＝，P(X＝8)＝＝，
P(X＝9)＝＝，P(X＝10)＝＝，
∴X的概率分布列为
X
7
8
9
10
P

∴P(X≥8)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)
＝＋＋＝.
法二：(间接法)由得，X的取值为7,8,9,10，
故P(X≥8)与P(X＝7)是对立事件，
所以P(X≥8)＝1－P(X＝7)＝1－＝.]
4．某高中共派出足球、排球、篮球三个球队参加市学校运动会，它们获得冠军的概率分别为，，.
(1)求该高中获得冠军个数X的分布列；
(2)假设球队获得冠军，那么给其所在学校加5分，否那么加2分，求该高中得分Y的分布列．
[解]　(1)由题意知X的可能取值为0,1,2,3，
那么P(X＝0)＝××＝，
P(X＝1)＝××＋××＋××＝，
P(X＝2)＝××＋××＋××＝，
P(X＝3)＝××＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P

(2)因为得分Y＝5X＋2(3－X)＝6＋3X，而X的可能取值为0,1,2,3，所以Y的可能取值为6,9,12,15，那么
P(Y＝6)＝P(X＝0)＝，P(Y＝9)＝P(X＝1)＝，
P(Y＝12)＝P(X＝2)＝，P(Y＝15)＝P(X＝3)＝.
所以Y的分布列为
Y
6
9
12
15
P

1．有编号为1,2,3，…，n的n个学生，入坐编号为1,2,3，…，n的n个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，X＝2时，共有6种坐法．
(1) n的值为________；
(2) P(X＝3)＝________.
(1)4　(2)　[(1)因为当X＝2时，有C种坐法，
所以C＝6，即＝6，
n2－n－12＝0，解得n＝4或n＝－3(舍去)，所以n＝4.
(2)因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，那么 P(X＝3)＝＝＝.]
2．设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1，那么随机变量ξ的分布列为________．
ξ
0
1

P

　[ξ的可能取值为0,1，.
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝)＝＝.
P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝)＝1－－＝.
所以随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1

P

]　
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