2008年高考理科数学试卷及答案-全国2.doc

2008年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学(必修+选修Ⅱ)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．不能答在试题卷上．
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

参考公式：
如果事件互斥，那么 球的表面积公式

如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径

球的体积公式
如果事件在一次试验中发生的概率是，那么
次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中表示球的半径

一、选择题
1．设集合，（ ）
A． B． C． D．
2．设且，若复数是实数，则（ ）
A． B． C． D．
3．函数的图像关于（ ）
A．轴对称 B． 直线对称
C． 坐标原点对称 D． 直线对称
4．若，则（ ）
A．<< B．<< C． << D． <<
5．设变量满足约束条件：，则的最小值（ ）
A． B． C． D．
6．从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．的展开式中的系数是（ ）
A． B． C．3 D．4
8．若动直线与函数和的图像分别交于两点，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
9．设，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，是的中点，则所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
11．等腰三角形两腰所在直线的方程分别为与，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（ ）
A．3 B．2 C． D．
12．已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ ）
A．1 B． C． D．2

2008年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学(必修+选修Ⅱ)
第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．设向量，若向量与向量共线，则 ．
14．设曲线在点处的切线与直线垂直，则 ．
15．已知是抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于两点．设，则与的比值等于 ．
16．平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：
充要条件① ；
充要条件② ．
（写出你认为正确的两个充要条件）

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
在中，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设的面积，求的长．

18．（本小题满分12分）
购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为．
（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率；
（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．

19．（本小题满分12分）

A
B
C
D
E
A1
B1
C1
D1
如图，正四棱柱中，，点在上且．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求二面角的大小．

20．（本小题满分12分）
设数列的前项和为．已知，，．
（Ⅰ）设，求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，，求的取值范围．

21．（本小题满分12分）
设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）求四边形面积的最大值．

22．（本小题满分12分）
设函数．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）如果对任何，都有，求的取值范围．

2008年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题（必修选修Ⅱ）参考答案和评分参考

评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要
考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和
难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数．选择题不给中间分．

一、选择题
1．B　 2．A　 3．C　 4．C　 5．D　 6．D
7．B　 8．B　 9．B　 10．C 11．A 12．C
二、填空题
13．2 14．2 5．
16．两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形．
注：上面给出了四个充要条件．如果考生写出其他正确答案，同样给分．
三、解答题
17．解：
（Ⅰ）由，得，
由，得．
所以． 5分
（Ⅱ）由得
，
由（Ⅰ）知，
故 ， 8分
又 ，
故 ，．
所以 ． 10分

18．解：
各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是，记投保的10 000人中出险的人数为，
则．
（Ⅰ）记表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则发生当且仅当， 2分

，
又，
故． 5分
（Ⅱ）该险种总收入为元，支出是赔偿金总额与成本的和．
支出 ，
盈利 ，
盈利的期望为 ， 9分
由知，，

．

（元）．
故每位投保人应交纳的最低保费为15元． 12分

19．解法一：
依题设知，．
（Ⅰ）连结交于点，则．
由三垂线定理知，． 3分
A
B
C
D
E
A1
B1
C1
D1
F
H
G
在平面内，连结交于点，
由于，
故，，
与互余．
于是．
与平面内两条相交直线都垂直，
所以平面． 6分
（Ⅱ）作，垂足为，连结．由三垂线定理知，
故是二面角的平面角． 8分
，
，．
，．
又，．
．
A
B
C
D
E
A1
B1
C1
D1
y
x
z
所以二面角的大小为． 12分
解法二：
以为坐标原点，射线为轴的正半轴，
建立如图所示直角坐标系．
依题设，．

，
． 3分
（Ⅰ）因为，，
故，．
又，
所以平面． 6分
（Ⅱ）设向量是平面的法向量，则
，．
故，．
令，则，，． 9分
等于二面角的平面角，
．
所以二面角的大小为． 12分
20．解：
（Ⅰ）依题意，，即，
由此得． 4分
因此，所求通项公式为
，．① 6分
（Ⅱ）由①知，，
于是，当时，

，

，
当时，

．
又．
综上，所求的的取值范围是． 12分
21．（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为，
直线的方程分别为，． 2分
如图，设，其中，
D
F
B
y
x
A
O
E
且满足方程，
故．①
由知，得；
由在上知，得．
所以，
化简得，
解得或． 6分
（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点到的距离分别为，
． 9分
又，所以四边形的面积为

，
当，即当时，上式取等号．所以的最大值为． 12分
解法二：由题设，，．
设，，由①得，，
故四边形的面积为

9分

，
当时，上式取等号．所以的最大值为． 12分
22．解：
（Ⅰ）． 2分
当（）时，，即；
当（）时，，即．
因此在每一个区间（）是增函数，
在每一个区间（）是减函数． 6分
（Ⅱ）令，则

．
故当时，．
又，所以当时，，即． 9分
当时，令，则．
故当时，．
因此在上单调增加．
故当时，，
即．
于是，当时，．
当时，有．
因此，的取值范围是． 12分