2022年高中数学课时跟踪检测三余弦定理苏教版必修.doc

课时跟踪检测〔三〕 余弦定理
层级一　学业水平达标
1．在△ABC中，假设a2－c2＋b2＝ab，那么C＝________.
解析：由a2－c2＋b2＝ab，得cos C＝＝＝，所以C＝30°.
答案：30°
2．在△ABC中，假设b＝1，c＝，C＝，那么a＝________.
解析：由余弦定理
c2＝a2＋b2－2abcos C得，
3＝a2＋1－2a×1×cos ，
即a2＋a－2＝0.
解得a＝1或a＝－2(舍去)．
∴a＝1.
答案：1
3．在△ABC中，假设a＝2，b＋c＝7，cos B＝－，那么b＝________.
解析：在△ABC中，由b2＝a2＋c2－2accos B及b＋c＝7知，b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×，整理得15b－60＝0，所以b＝4.
答案：4
4．在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，那么△ABC的最小角的大小为________．
解析：∵a>b>c，∴C为最小角，由余弦定理得cos C＝＝＝，∴C＝.
答案：
5．在△ABC中，b2＝ac且c＝2a，那么cos B＝________.
解析：∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，∴cos B＝＝＝.
答案：
6．假设△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，那么△ABC的形状是________．
解析：在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，
∴a∶b∶c＝5∶11∶13，
故令a＝5k，b＝11k，c＝13k(k>0)，由余弦定理可得
cos C＝＝＝－<0，又因为C∈(0，π)，所以，C∈，所以△ABC为钝角三角形．
答案：钝角三角形
7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，假设(b－c)cos A＝acos C，那么cos A＝________.
解析：由得bcos A＝acos C＋ccos A
＝a·＋c·＝b.
∴cos A＝＝.
答案：
8．在△ABC中，以下结论：
①假设a2>b2＋c2，那么△ABC为钝角三角形
②假设a2＝b2＋c2＋bc，那么A为120°；
③假设a2＋b2>c2，那么△ABC为锐角三角形．
其中正确的为________(填序号)．
解析：①中，a2>b2＋c2可推出cos A＝<0，即A为钝角，所以△ABC为钝角三角形；②中，由a2＝b2＋c2＋bc知，cos A＝＝－，∴A为120°；③中a2＋b2>c2可推出C为锐角，但△ABC不一定为锐角三角形；所以①②正确，③错误．
答案：①②
9．在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，B＝，b＝，a＋c＝4，求边 长a.
解：由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accos B
＝a2＋c2－2accos＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac.
又因为a＋c＝4，b＝，所以ac＝3，
联立解得a＝1，c＝3，或a＝3，c＝1.
所以a等于1或3.
10．在△ABC中，a＝5，b＝3，角C的余弦值是方程5x2＋7x－6＝0的根，求第三边长c.
解：5x2＋7x－6＝0可化为(5x－3)(x＋2)＝0.
∴x1＝，x2＝－2(舍去)．∴cos C＝.
根据余弦定理，
c2＝a2＋b2－2abcos C＝52＋32－2×5×3×＝16.
∴c＝4，即第三边长为4.
层级二　应试能力达标
1．a，b，c为△ABC的三边长，假设满足(a＋b－c)(a＋b＋c)＝3ab，那么角C的大小为．
解析：∵(a＋b－c)(a＋b＋c)＝3ab，∴a2＋b2－c2＝ab，即＝，∴cos C＝，∴C＝60°.
答案：60°
2．在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，那么边c的长为________．
解析：由题意，得a＋b＝5，ab＝2.由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19，∴c＝.
答案：
3．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是________．
解析：设边长为7的边所对角为θ，根据大边对大角，可得cos θ＝＝，θ＝60°，
∴180°－60°＝120°，
∴最大角与最小角之和为120°.
答案：120°
4．在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，那么AC边上的高为________．
解析：由余弦定理，可得cos A＝＝＝，所以sin A＝.那么AC边上的高h＝ABsin A＝3×＝.
答案：
5．假设△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，那么ab的值为________．
解析：依题意得两式相减得ab＝.
答案：
6．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.假设b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，那么角C＝________.
解析：由3sin A＝5sin B可得3a＝5b，又b＋c＝2a，所以可令a＝5t(t>0)，那么b＝3t，c＝7t，可得cos C＝＝＝－，故C＝.
答案：
7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.c＝2，acos B－bcos A＝.
(1)求bcos A的值；
(2)假设a＝4，求△ABC的面积．
解：(1)∵acos B－bcos A＝，根据余弦定理得，
a·－b·＝，
∴2a2－2b2＝7c，又∵c＝2，∴a2－b2＝7，
∴bcos A＝＝－.
(2)由acos B－bcos A＝及bcos A＝－，得acos B＝.
又∵a＝4，∴cos B＝，
∴sin B＝＝，
∴S△ABC＝acsin B＝.
8．在△ABC中，BC＝，AC＝3，sin C＝2sin A.
(1)求边AB的长；
(2)求sin的值．
解：(1)在△ABC中，根据正弦定理，得＝，
即AB＝sin C·＝2BC＝2.
(2)在△ABC中，根据余弦定理，得
cos A＝＝.
于是sin A＝＝.
从而sin 2A＝2sin Acos A＝，
cos 2A＝cos2A－sin2A＝.
故sin＝sin 2Acos－cos 2Asin＝.