2022北京西城实验学校初二下期中数学(含解析)(1).docx

2022 北京西城实验学校初二下学期期中数学试卷
一、选择题：〔每题3分，共30分〕
1．在△ABC中，ÐA=90°，那么以下式子中不成立的是〔〕．
A．BC2 =AB2 +AC2
C．AB2 =BC2 -AC2
B．AC2 =BC2 -AB2
D．AB2 =AC2 +BC2
2．以下各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是〔〕．
2
A．2，4，5 B．6，8，11 C．5，12，12 D．1，1，
3．关于x的一元二次方程x2-mx+(m-2)=0的根的情况是〔〕．
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
4．如图，在平行四边形ABCD中，AE^CD于点E，ÐB=65°，那么ÐDAE等于〔〕．
A．15°B．25°C．35°D．65°
5．用配方法解方程x2-2x-2=0，以下变形正确的选项是〔〕．
A．(x -1)2 = 2
B．(x - 2)2 = 2
C．(x -1)2 = 3
D．(x - 2)2 = 3
6．在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，假设添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，那么这个条件可以是〔〕．
A．ÐABC = 90°B． AC ^BD
C． AB =CD
D．AB∥CD
7．直角三角形的两条直角边的长分别为5，12，那么其斜边上的高为〔〕．
A．80 cm 13
B．13cm C．6cm D．60 cm 13
8．如图，在△ABC 中， AB = 6 ， AC = 10 ，点 D ， E ， F 分别是 AB ， BC ， AC 的中点，那么四边形 ADEF
的周长为〔〕．
A．8 B．10
C．12 D．16

B．(100 -x)(80 -x)+x2 = 7644
C．(100-x)(80-x)=7644 D．100x +80x =356
10．在平行四边形 ABCD 中，点 A1 ， A2 ， A3 ， A4 和C1 ，C2 ，C3 ， C4 分别是 AB 和CD 的五等分点，点 B1 ，
B2和D1，D2分别是BC和DA的三等分点，四边形A4B2C4D2的面积为1，那么平行四边形ABCD的面积为〔〕．
A．2
B．3
5
C．5
3
D．15
二、填空题：〔每题2分，共18分〕
11．解方程4x2=36，得．
12．如图，E、F是平行四边形ABCD对角线BD上的两点，请你添上一个适当的条件：，使四边形AECF为平行四边形．
5
13．如图，在Rt△ABC中，ÐACB=90°，AC=3，AB=6，点D是AB的中点，那么ÐACD= ．
14．如图，以菱形AOBC的顶点O为原点，对角线OC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，假设OB= ， 点C的坐标为(4,0)，那么点A的坐标为．
15．x=1是关于x的方程x2+mx+n=0的一个根，那么m2+2mn+n2的值．
16．如图，四边形ABCD，EFGH，NHMC都是正方形，边长分别为a，b，c；A，B，N，E，F五点在同一直线上，那么c=．〔用含有a，b的代数式表示〕．
17．如图，菱形 ABCD 的两条对角线分别长6 和8 ，点 P 是对角线 AC 上的一个动点，点 M 、N 分别是边 AB 、
BC的中点，那么PM+PN的最小值是．
18．如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC中，点D为AB的中点，那么线段CD的长为．
19．如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，那么线段CN的长是．
三、计算题：〔此题共10分，每题5分〕
20．解方程：〔1〕(公式法解)x2-3x+1=0．〔2〕x(x+3)-(2x+6)=0．
四、解答题〔此题共 29 分，25 小题 5 分，其余小题每题 6 分〕
21．如图，在△ABC 中， D 是 BC 边的中点， F ， E 分别是 AD 及其延长线上的点， CF∥BE ．
〔1〕求证： △BDE ≌△CDF ．
〔2 〕请连结 BF ， CE ，试判断四边形 BECF 是何种特殊四边形，并说明理由．
22．：如图，在平行四边形 ABCD中，点 E是 BC的中点，连接 AE并延长交 DC的延长线于点 F，连接 BF ．
〔1〕求证： △ABE ≌ △FCE ．
〔2 〕假设 AF =AD ，求证：四边形 ABFC 是矩形．
23．某农场的粮食产量在两年内从3000 吨增加到3630 吨，平均每年增产的百分率是多少
24．：关于 x 的一元二次方程 x2 + (2m + 1)x + 2m = 0 ．
〔1〕求证：无论 m 为何值，此方程总有两个实数根．
〔2 〕假设 x 为此方程的一个根，且满足0 D落 在 AC上的两点， E、G分别是折痕CE、 AG与 AB、CD的交点．
〔1〕证：四边形 AECG 是平行四边形．
〔2 〕假设 AB = 4cm ， BC = 3cm ，求线段 EF 的长．
五、解答题〔此题共 13 分，26 小题 6 分，27 小题 7 分〕
26．： △ABC 是一张等腰直角三角形纸板， ÐB = 90°， AB =BC = 1 ．
〔1〕要在这张纸板上剪出一个正方形，使这个正方形的四个顶点都在△ABC 的边上．小林设计出了一种剪法，如图1所示．请你再设计出一种不同于图1的剪法，并在图 2 中画出来．
〔2〕假设按照小林设计的图1所示的剪法来进行裁剪，记图1为第一次裁剪，得到1个正方形，将它的面积记为S1，那么S1=，在余下的2个三角形中还按照小林设计的剪法进行第二次裁剪〔如图3〕，得到2个新的正方形，将此次所得2个正方形的面积的和．记为S2，那么S2 = ，在余下的4个三角形中再按照小林设计的的剪法进行第三次裁剪〔如图4〕，得到4个新的正方形，将此次所得4个正方形的面积的和．记为S3；按照同样的方法继续操作下去 ，第n次裁剪得到个新的正方形，它们的面积的和．Sn= ．
27．：如图，平面直角坐标系 xOy 中，正方形 ABCD 的边长为 4 ，它的顶点 A 在 x 轴的正半轴上运动， 顶点 D 在 y 轴的正半轴上运动〔点 A ，D 都不与原点重合〕，顶点 B ，C 都在第一象限，且对角线 AC ，
BD 相交于点 P ，连接OP ．
〔1〕当OA=OD时，点D的坐标为．ÐPOA= °．
〔2 〕当OA
二、填空题〔此题共 18分，每题 3分〕
11．x1=-3，x2= 3
12．BE =DF
13．60 14．(2,1)
a2 + b2
15．1 16．
19．3
17．5 18．26
2
三、解答题〔此题共 72 分，第 17-26 题，每题 5 分，第 27 题 7 分，第 28 题 7 分，第 29 题 8 分〕
20．〔1〕解：a=1，b=-3，c=1，
D=b2 - 4ac = (-3)2 - 4 ´1´1 = 5 ，
-b ± b2 - 4ac
，
x =
2a
=-(-3) ±5
2 ´1

=3 ± 5 ．
2
即 x1
=3 +
2
5 ，x
=3 - 5 ．
2
2
〔2 〕解：因式分解，得(x + 3)(x - 2) = 0 ， 于是得 x + 3 = 0 或 x - 2 = 0 ，
解得 x1=-3， x2= 2 ．
四、解答题〔此题共 29 分，25 小题 5 分，其余小题每题 6 分〕
21．证明：〔1〕∵D是BC边的中点，
∴CD =BD ，
∵CF∥BE ，
∴ÐFDC =ÐEDB ，ÐFCD =ÐEBD ，
∴△BDE ≌△CDF ．
〔2 〕∵△BDE ≌△CDF ．
∴DE =DF ，
∵ DB =DC，
四边形 BECF 为平行四边形．
22．证明：〔1〕如图1．
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB∥DC ，即 AB∥DF ．
∴Ð1 =Ð2 ．
∵点 E 是 BC 的中点，
∴BE =CE ．
在△ABE 和△FCE 中，
ìÐ1 =Ð2
í
ïÐ3 =Ð4 ，
î
ïBE =CE
∴△ABE ≌△FCE ．
〔2 〕∵△ABE ≌△FCE ，
∴ AB =FC．
∵AB∥FC ，
∴四边形 ABFC是平行四边形．
∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴ AD =BC．
∵AF =AD ，
∴ AF =BC．
∴四边形 ABFC 是矩形．
23．解：设：每年的平均增长率为 x ， 依题意得：3000(1+x)2=3630，解得 x1=0.1， x2=-2.1，
x2=-2.1不合题意，舍掉．
答：每年的平均增长率为10% ．
24．证明：〔1〕D=(2m+1)2-4´1´2m
= 4m2 - 4m + 1
= (2m -1)2 ．
∵ (2m -1)2≥0 ，即 D≥0 ，
∴无论 m 为何值，此方程总有两个实数根．
〔2 〕(x +2m)(x +1) = 0 ．
于是得 x +2m = 0 或 x + 1 = 0 ． 解得 x1=-2m ， x2=-1．
∵ -1 < 0 ，而0
∴-3 E2 =AF 2 +EF 2 ，
即(4-x)2=22+x2．
解得 x =3 ，即线段 EF 长为 3 cm ．
2 2
解 法 2 ： 设 EF =x ，
∵ÐAFE =ÐB = 90°，ÐFAE =ÐBAC ，
∴△AEF∽△ACB ，
∴ EF =AE ．
CB AC
∴ x =4 -x ，
3 5
解得 x =3 ，
2
即线段 EF 长为 3 cm ．
2
五、解答题〔此题共 18 分，26 小题 6 分，27 小题 7 分〕
26．解：〔1〕如下列图；
〔2 〕∵四边形 DBFE 是正方形，
∴ DE =EF =BF =DB ，ÐEFC =ÐADE =90°，
∵ △ABC 是等腰直角三角形，
∴ÐA =ÐC = 45°，
∴ AD =DE =EF =CF =BF =BD ，
∵AB =BC = 1 ，
∴ DE =EF =1，
2
∴S
正方形DBFE
=S1
=1 ´1 =1 ．
2 2 4
同理： S2即是第二次剪取后的面积和，
1
Sn即是第 n 次剪取后的面积和，
∴第一次裁剪得到1个新的正方形，它的面积和为： S1=22

=1 ，
4
第二次裁剪得到 2 个新的正方形，它们的面积和为： S =1 ´1 ´ 2 =1 =1 ，
2 4 4 23 8
第三次裁剪得到 4 个新的正方形，它们的面积和为： S =1 ´1 ´ 4 =1 =1 ，
3 8 8 2416
第 n 裁剪得到 2n-1 个新的正方形，它们的面积和为 S =1 ´1 ´ 2n-1=1 ．
故答案为： 1 ， 1 ， 2n-1 ， 1 ．
n 2n 2n
2n+1
4 8 2n+1
27．解：〔1〕∵四边形ABCD为正方形，
∴ △ADP 是等腰直角角三角形， 又∵ OA =OD ，
∴ △AOD 是等腰直角角三角形，
∴四边形 AODP 是正方形，
∵正方形 ABCD 的边长为 4 ，
42 + 42
∴ AC =BD =
∴AP =DP =1 ´ 4
2
= 4 ，
2
2
2
= 2 ，
∴点 D 的坐标为 (0 , 2 2) ， ÐPOA = 45°．
〔2 〕证明：如图，过点 P 作 PM ^x 轴于点 M ， PN ^y 轴于点 N ，
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴PD =PA ，ÐDPA = 90°，
∵ PM ^x 轴于点 M ， PN ^y 轴于点 N ，
∴ÐPMO =ÐPNO =ÐPND = 90°，
∵ÐNOM = 90°，
∴四边形 NOMP 中， ÐNPM = 90°，
∴ÐDPA =ÐNPM ，
∵Ð1 =ÐDPA -ÐNPA ，Ð2 =ÐNPM -ÐNPA ，
∴Ð1 =Ð2 ，
∵在△DPN 和△APM 中，
ìÐPND =ÐPMA
í
ïÐ1=Ð2 ，
î
ïPD =PA
∴△DPN≌△APM〔AAS〕，
∴PN =PM ，
∴ OP 平分ÐDOA ．
〔3 〕当 A 、O 重合时，点 P 到 y 轴的距离最小，
d =1 ´ 4 = 2 ， 2
2
当OA =OD 时，点 P 到 y 轴的距离最大， d =PD = 2 ，
∵点 A ， D 都不与原点重合，
2
∴ 2 三角形的勾股定理斜边为 BC ，两直角边为 AB ， AC ，只有选项 D 不符合． 应选 D．
2．【答案】D
【解析】 A ．∵ 22 + 42 = 20 ¹ 52 ，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B ．∵ 62 + 82 = 100 ¹ 112 ，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C ．∵ 52 + 122 = 169 ¹ 122 ，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵12+12=2=(
应选：D．
2)2，∴能够构成直角三角形，故本选项符合题意．
3．【答案】A
【解析】∵D=(-m)2-4´(m-2)=m2-4m+4+4=(m2)2+4>0，
∴方程有两个不相等的实数根． 应选 A．
4．【答案】B
【解析】∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ÐD =ÐB = 65°，
∵AE ^CD ，
∴ ÐDAE = 90°-ÐD = 25°． 应选 B．
5．【答案】C
【解析】用配方法解方程可得x2-2x-2=0，(x-1)2=3．应选 C．
6．【答案】B
【解析】∵在四边形 ABCD 中，对角线 AC ， BD 互相平分，
∴四边形 ABCD 是平行四边形，
∴当 AC ^BD 时，四边形 ABCD 是菱形． 应选 B．
7．【答案】D
52 +122
【解析】∵直角三角形的两条直角边的长分别为5 ，12 ，
∴斜边为
= 13 ，
∵S△ABC
=1´5´12=1´13h〔h为斜边上的高〕， 2 2
∴h =60 ．
13
应选 D．
8．【答案】D
【解析】∵点 D ， E ， F 分别是 AB ， BC ， AC 的中点，
∴DE∥AC ，EF∥AB ，
DE =1 AC = 5 ，EF =1 AB = 3 ，
2 2
∴四边形 ADEF 平行四边形，
∴AD =EF ，DE =AF ，
∴四边形 ADEF 的周长为 2(DE +EF )=16． 应选 D．
9．【答案】C
【解析】设道路的宽应为 x 米，
依题意可得(100 -x)(80 -x)= 7644 ． 应选 C．
10．【答案】C
【解析】设平行四边形 ABCD 的面积是 S ， 设 AB = 5a ， BC = 3b ．
AB 边上的高是3x ， BC 边上的高是5 y ．
那么 S = 5a × 3x = 3b × 5 y ．即 ax =by =S ．
15
△AA4D2与△B2CC4全等，
B C =1 BC =b ， B C 边上的高是 4 × 5 y = 4 y ．
2 3 2 5
那么△AA4D2
和△B2CC4
的面积是 2by =2S ．
15
同理与△A4BB2
S
的面积是 ．
15
那么四边形 A B C D 的面积是 S -2S
- 2S
- S -S
=9S ，
4 2 4 2
即 9S = 1，
15
解得 S =3 ．
5
应选 C．

15 15 15 15 15
二、填空题〔此题共 18 分，每题 3 分〕
11．【答案】x1=-3，x2=3
【解析】 4x2 = 36 ，解得 x2 = 9 ， x =±3．
故答案为 x = 2 2 ．
12．【答案】BE=DF
【解析】∵平行四边形 ABCD ，
∴AB =CD ， AB∥CD ，
∴ÐABE =ÐCDF ．
∵BE =DF ，
∴△ABE ≌△CDF ，
∴AE =CF ．
同理可证：△ADF ≌ △CBE ，
∴AF =CE ，
∴四边形 AECF 是平行四边形．
．
13．【答案】60
【解析】∵ ÐACB = 90°， AB = 6 ，点 D 是 AB 的中点，
∴CD =1 AB = 3 ，AD =BD =3，
2
∵AC = 3 ，
∴△ACD 是等边三角形，
∴ ÐACD = 60°． 故答案为： 60°．
14．【答案】(2 , 1)
【解析】如图，连接 AB ，交OC 于 D ，
∵点C(4 , 0) ，
∴OC = 4 ，
∵四边形 AOBC 是菱形，
∴OD =1 OC =1 ´ 4 = 2 AB ^OC ，
2 2
5
∵OB=，
5
(
5 )2 - 22
∴OA =OB=，
OA2 - OD2
在Rt△AOD中，AD==
∴点 A 的坐标为 (2 , 1) ． 故答案为： (2 , 1) ．
= 1，
15．【答案】1
【解析】把 x = 1代入方程 x2 +mx +n = 0 得：1 +m +n = 0 ，
∴m +n =-1 ，
m2+2mn+n2=(m+n)2=(-1)2=1．故答案为：1．
a2 + b2
16．【答案】c=
【解析】由三个正方形如图的摆放，
∵四边形 ABCD 、 EFGH 、 NHMC 都是正方形，
∴ÐCNB +ÐENH = 90°，
又∵ ÐCNB +ÐNCB = 90°， ÐENH +ÐEHN = 90°，
∴ ÐCNB =ÐEHN ， ÐNCB =ÐENH ， 在△CBN 和△NEH 中，
ìÐBNC =ÐEHN
í
ïNC=HN ，
î
ïÐNCB =ÐHNE
∴△CBN≌△NEH〔ASA〕，
∴HE =BN ，
在Rt△CBN 中， BC 2 +BN 2 =CN 2 ，
又三个正方形的边长分别为 a， b， c， 那么有 a2+b2=c2，
a2 + b2
∴c=．
17．【答案】5
【解析】作 M 点关于 AC 的对称点 E ，连接 EN 交 AC 于 P ，
PM +PN 的最小值即为 EN ．
∵四边形 ABCD 为菱形，
∴ M 点关于 AC 的对称点 E 落在 AD 上．
∵菱形 ABCD 的两条对角线分别长6 和8 ，且 AC ^BD ，
∴AB = 5 ．
∵ M 、 N 分别是 AB 、 BC 的中点，
∴ E 为 AD 的中点，
∴ AE =BN ，
∴ EN =AB = 5 ．
∴ PM +PN 的最小值为5 ． 故答案为： 5 ．
18．【答案】26
2
【解析】观察图形
12 +52
26
AB==，
32 +32
2
AC== 3，
22 +22
2
BC==2
∴AC 2 +BC 2 =AB2 ，
∴三角形为直角三角形，
∵直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，
∴CD =
26 ．
2
19．【答案】3cm
【解析】由题意设CN =x cm ，那么 EN =(8 -x)cm ，
又∵ CE =1 DC = 4cm ，
2
∴在Rt△ECN中，EN 2=EC 2+CN 2，即(8-x)2=42+x2，解得： x =3，即CN = 3cm ．
故答案为： 3cm ．