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治理数学习题二

1．用随机变量来描述掷一枚骰子的试验结果，并写出它的分布律。
解：设随机变量X为掷一枚骰子显现的结果，则X=n (n=1,2,…,6),即X仅取1~6六个自然数值，P(X=n)=1/6，即显现六种情形的概率均为1/6。分布律为
X
1
2
3
4
5
6
p
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6

2．某试验成功的概率为，X代表第二次成功之前试验失败的次数，写出X的分布律。
答：分布律为
X
0
1
2
…
n
P
p
p (1-p)
p (1-p)2
…
p (1-p)n

3．下表能否为某个随机变量的分布律？为什么？
X
1
2
3
p
0.15
0.45
0.6
答：不能表示为某个随机变量的分布律。因为三个概率之和大于1。

4．产品有一、二、三等品和废品四种，一、二、三等品率和废品率分别为55%、25%、19%、1%，任取一件产品检验其质量等级，用随机变量X表示检验结果，并写出其分布律和分布函数。
解：设随机变量X取1，2，3，4四个值分别表示显现一、二、三等品和废品四种情形，则分布律为
X
1
2
3
4
p
0.55
0.25
0.19
0.01
分布函数为

x<2表示显现二等品以上（不含二等品）产品，x<3表示显现三等品以上（不含三等品）产品，x<4表示显现次品以上（不含次品）产品。

5．设某种试验成功的概率为0.7，现独立地进行10次这样的试验。问是否可以用一个服从二项分布的随机变量来描述这10次试验中成功的次数？如何描述？请写出它的分布以及分布的数学期望和标准差。
答：可以描述。即设随机变量X为试验成功的次数，
则 (n=1,2,…,10)
E(X)=Np=100.7=7
D(X)=Np(1-p)=100.70.3=2.1

6．如果你是一个投资咨询公司的雇员，你告诉你的客户，根据历史数据分析结果，企业A的平均投资回报比企业B的高，但是其标准差也比企业 B的大。你应该如何回答客户提出的如下问题：
（1） 是否意味着企业A的投资回报肯定会比企业B的高？为什么？
（2） 是否意味着客户应该为企业A而不是企业B投资？为什么？
答：（1）从长期投资来讲企业A肯定比企业B的投资回报高。因为企业A的平均投资回报比B的平均投资回报大。但短期投资需要比较两者的变化情形和变化及平均值的综合比较。
（2）不一定。如果企业A的平均投资回报与标准差的差大于企业B的平均投资回报与标准差的差，那么可投资企业A。如果两企业的平均投资回报比较接近，那么需要比较两者之间的变异系数，挑选变异系数较小的企业投资。

7．某公司估量在一定时间内完成某项任务的概率如下：
天数
1
2
3
4
5
概率
0.05
0.20
0.35
0.30
0.10
（1）求该任务能在3天（包括3天）之内完成的概率；
（2）求完成该任务的期望天数；
（3）该任务的费用由两部分组成——20,000元的固定费用加每天2,000元，求整个项目费用的期望值；
（4）求完成天数的标准差。
答：（1）P(天数3)=0.05+0.20+0.35=0.6
（2）E(天数)=10.05+20.20+30.35+40.30+50.10=3.2
（3）费用=20000+3.22000=26400元
（4）D(天数)=E(X2)-(E(X))2=120.05+220.2+320.35+420.3+520.1-3.22=1.06
标准差=1.029563

8．求4中随机变量X的期望和方差，以及。
解：
E(X)=10.55+20.25+30.19+40.01=1.66
E(X2)= 120.55+220.25+320.19+420.01=3.42
D(X)= E(X2)-(E(X))2=3.42-1.662=0.6644

9．设随机变量的概率密度函数为

求（1），（2）的数学期望。
解：
（1） E(Y)=E(2X)=2E(X)=2 dx=2dx=2(--x)=2
（2） E(Y)=E()===-=-=

10． 一工厂生产的某种设备的寿命（以年计）服从指数分布，概率密度为

工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换。若工厂售出一台设备赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元，试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望。
解：根据题意，设随机变量X赢利时取值100，亏损时取值-200，则赢利的数学期望为
E(X)=100-200=100-200(1-)
=300-200=300-200=33.6 (元)

11．设与为随机变量，，，，。在下列情形下，求和：
（1）；
（2）；
（3）。
解：
E(3X-Y)=E(3X)-E(Y)=3E(X)-E(Y)=9+2=11 与协方差无关
D(3X-Y)=9D(X)-6Cov(X,Y)+D(Y)=81-6Cov(X,Y)+4=
12．查表求：，，，。
答：
查表，1-0.05=0.95 =1.645
=1.96
=-1.96
=-1.285

13．某零件的寿命服从均值为1200小时，标准差为50小时的正态分布。随机地抽取一只零件，试求：
（1） 它的寿命不低于1300小时的概率；
（2） 它的寿命在1100小时和1300小时之间的概率；
（3） 它的寿命不低于多少小时的概率为95%？
解：
（1）
（2）
（3） 查表得 x=1118
即寿命不低于1118小时的概率为95%。

14． 一工厂生产的电子管寿命（以小时运算）服从期望值为的正态分布，若要求：，答应标准差最大为多少？
解：
即答应的标准差最大为31.25。
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