高考数学艺体生好题突围系列强化训练02理.doc

高考数学 艺体生精选好题突围系列 强化训练02 理
第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. .已知全集, 集合, , 则集合可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B

2．如图,在复平面内,复数,对应的向量分别是,,则复数对应的点位于（ ☆ ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】D
【解析】由已知，，所以，，，它所对应的点为（1，-2），在第四象限
3．在某项测量中，测量结果X服从正态分布，若X在（0，8）内取值的概率为0.6，则X在（0，4）内取值的概率为
A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.6
【答案】B
【解析】由正态分布，得,,所以X在（0，4）内取值的概率为.
4．设等比数列中，前n项和为，已知，，则
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】因为等比数列，故也成等比数列，所以

5．已知函数的图象向左平移个单位后得到的图象，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C.
【解析】由题意得，又∵，∴，即，，∵，∴，故选C.
6．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据可得该几何体的体积是( ).
A． B． C． D．

【答案】B
【解析】通过分析几何体的三视图，该几何体为底面边长为2的正方形，高为2 的三棱锥，所以几何体的体积为
7.在矩形中，是对角线的交点，若等于（ ）
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
【解析】根据题意画出图像，利用向量的加减运算，得到：
，所以答案为A.
8．直线与圆相切，则圆的半径最大时，的值是（ ）
A． B． C． D．可为任意非零实数
【答案】C
9．已知不等式组，表示的平面区域为M，若直线与平面区域M有公共点，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可知，不等式表示的可行域如下图：由于直线恒过点（3,0），所以当直线过点C时斜率最小为.最大值为0.故选A.

10．若函数,在区间上的值域为， 则等于（ ）
(A) (B) (C) (D)
【答案】D
【解析】，，且，所以是以点为对称中心，所以其最大值与最小值的和.所以答案为D.
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）
11． 展开式中的系数为_________．
【答案】-75.
【解析】因为的展开式的通项为：，当第一项取时，此时展开式中的系数为的展开式的的系数即；当第二项取时，此时展开式中的系数为的展开式的的系数即；所以所求式子中展开式中的系数为-75.故应填-75.
12．执行如右图的程序框图，若输出的，则输入的值可以为 .

【答案】
【解析】通过分析程序框图可得：当，当，
当，此时因时，输出，故
13．设斜率为的直线与双曲线交于不同的两点，若点在轴上的射影恰好为双曲线的两个焦点，则该双曲线的离心率是
【答案】
【解析】根据题意可知：，且即：再结合：，解得，所以答案为：.
14．函数在区间上存在极值点，则实数的取值范围为 ．
【答案】；
【解析】函数的导数为，令，则或，当时单调递减，当和时单调递增和是函数的极值点，因为函数在区间上存在极值点，所以或或，
三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．已知等比数列的前n项和为，且满足.
（I）求p的值及数列的通项公式；
（II）若数列满足，求数列的前n项和.
【解析】（Ⅰ）由，，由成等比得
（Ⅱ）由可得，，，
，，.
16. 2015届高三上学期期中考试数学16).函数部分图象如图所示．

（Ⅰ）求的最小正周期及解析式；
（Ⅱ）设，求函数在区间上的最大值和最小值．
【解析】（Ⅰ）由图可得，，所以，所以 ，当时，，可得 ，因为， 所以 所以的解析式为
（Ⅱ）

因为，所以 ，当，即时，有最大值，最大值为；当，即时，有最小值，最小值为．
17．某教育主管部门到一所中学检查学生的体质健康情况．从全体学生中，随机抽取名进行体制健康测试，测试成绩（百分制）以茎叶图形式表示如下：

根据学生体制健康标准，成绩不低于的为优良．
将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，在该校学生中任选人进行体制健康测试，求至少有人成绩是“优良”的概率；
从抽取的人中随机选取人，记表示成绩“优良”的学生人数，求的分布列及期望．
【答案】（1）；（2）分布列详见解析，.
【解析】（1）抽取的12人中成绩是“优良”的有9人，频率为，依题意得从该校学生中任选1人，成绩是“优良“的概率为，设事件A表示“在该校学生中任选3人，至少有1人成绩是“优良”，则．
（2）由题意可得，的可能取值为0，1，2，3．
，，
，．
所以的分布列为

0
1
2
3

的期望．
18．四棱锥S－ABCD中，侧面SAD是正三角形，底面ABCD是正方形，且平面SAD⊥平面ABCD，M、N分别是AB、SC的中点．
(Ⅰ)求证：MN∥平面SAD；
(Ⅱ)求二面角S－CM－D的余弦值．

【答案】（Ⅰ）证明略，（Ⅱ）
【解析】 (Ⅰ)如图，取的中点，连结，则，且，，所以，且，所以四边形是平行四边形，则，由于平面，平面外，所以平面．
(Ⅱ)取的中点，连结，过作的垂线交于，分别以，，为轴，建立坐标系，，，，，，
设面的法向量为,则有令，，取面ABCD的法向量，则，所以二面角的余弦值为.

[解法二]:如图，取的中点，连结、，连结SH，由，且面⊥面，所以平面，易得，所以，则，所以，则有，所以是二面角的平面角，设，则，，，，，则，所以二面角的余弦值为．
19．已知圆，点，以线段AB为直径的圆内切于圆，记点B的轨迹为.
（Ⅰ）求曲线的方程；

【解析】（Ⅰ）设AB的中点为M，切点为N，连OM，MN，则
|OM|＋|MN|＝|ON|＝2，取A关于y轴的对称点A¢，连A¢B，故|A¢B|＋|AB|＝2(|OM|＋|MN|)＝4．
所以点B的轨迹是以A¢，A为焦点，长轴长为4的椭圆．其中，a＝2，，b＝1，则
曲线Γ的方程为．

20.已知函数
（Ⅰ）当时，判断函数在定义域内的单调性并给予证明；
【解析】（Ⅰ）当时，，定义域为，函数在定义域内单调递减，理由如下：，令，则，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，所以，从而，所以函数在定义域内单调递减；
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