2022年北京市东城区初三二模数学试卷(含答桉).docx

北京市东城区 2022 年初三年级综合练习〔二〕
初三数学试卷 2022.6
考生须知
学校姓名准考证号
1． 本试卷共 4 页，共五道大题，25 个小题，总分值 120 分．考试时间 120 分钟．
2． 在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和准考证号．
3． 试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4． 在答题卡上，选择题、作图题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5． 考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：〔此题共32分，每题4分〕
下面各题均有四个选项，其中只有一. 个. 是符合题意的．
1． −5 的倒数是
A．-5 B．5 C．−1 5

D． 1
5
2. 2022 年北京市高考人数约 8 万人，其中统考生仅 7.4 万人，创六年来人数最低. 请将 74 000 用科学记数法表示为
A．7.4×104
B．7.4×103
C．0.74×104
D．0.74 ×105

甲
3．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩均是9.2环，方差分别为s2
=0.56，s2
= 0.60 ，
乙
s
丁
丙
2 = 0.50 ， s2 = 0.45 ，那么成绩最稳定的是
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．假设 m+1 +
A．−1
 0 ，那么2m+ n的值为
n− 2
B．0 C．1 D．3
5.如图，△ABC为直角三角形，∠C=90°，假设沿图中虚线剪去∠C， C
E
1
2
D
那么∠1+∠2 等于

C.150° D.270°
B A
6．把代数式x3−xy2分解因式，以下结果正确的选项是〔第5题图〕
A．x(x+y)2 B． x(x−y)2
C．x(x2 − y2) D．x(x− y)(x+ y)
7．如图，模块①－⑤均由 4 个棱长为 1 的小正方体构成，模块⑥由 15 个棱长为 1 的小正方体构成. 现从模块①－⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为 3 的大正方体. 那么以下选择方案中，能够完成任务的为
A．模块①，②，⑤ B．模块①，③，⑤
C．模块②，④，⑤ D．模块③，④，⑤
8．用min{a, b, c}表示a、b、c三个数中的最小值，假设y=min{x2, x+2, 10−x}(x≥0)， 那么 y的最大值为
A．4 B．5 C．6 D．7
二、填空题：〔此题共16分，每题4分〕
x− 2
A
D
··
O
B
C
9．假设分式

2x+1
的值为0，那么x=．
10.如图，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧A�B上P
不同于点B的任意一点，那么∠BPC=度．
〔第 10 题图〕
11．四张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这四张卡片中随机抽取两张，那么取出的两张卡片上的数字之和为奇数的概率为．
12. 如图，正方形 OA1B1C1的边长为 2，以 O 为圆心、OA1为半径作弧 A1C1交 OB1于点 B2，设弧 A1C1与边
A1B1、B1C1围成的阴影局部面积为 S1；然后以 OB2为对角线作正方形 OA2B2C2，又以 O为圆心、OA2 为半径作弧A2C2交OB2于点B3，设弧A2C2与边A2B2、B2C2围成的阴影局部面积为S2；…，按此规律继续作下去，设弧AnCn与边AnBn、BnCn围成的阴影局部面积为Sn．那么
S1 =，
Sn =....

〔第 12 题图〕
三、解答题：〔此题共30分，每题5分〕
13. 计算：

8
1
+ ( ) 3
−1 + 20220 − 4 cos 45° ．
14. 解方程： x2 + 2x−1 = 0 ．
x y xy
15. x− 2y= 0 ，求(
− )⋅
的值．
y x x2− 2xy+y2
16．如图，AD∥BC，∠BAD=90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与射线AD相交于点E，连接BE，过C点作CF⊥BE，垂足为F.线段BF与图中现有的哪一条线段相等先将你猜想出的结论填写在下面
的横线上，然后再加以证明.
E
F
结论：BF=.
A D
B C
17．列方程或方程组解应用题：.
九章算术 方程问题：“五只雀、六只燕，共重1斤(等于16两)，雀重燕轻．互换其中一只，恰好 一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少〞
y
C
A
B
O x
18．如图，Rt∆ABC位于第一象限，A点的坐标为〔1，1〕，两条直角边 AB、AC分别平行于 x轴、 y轴，且 AB=3，AC=6．
k
〔1〕求直线 BC 的方程；
〔2〕假设反比例函数y= (k≠0)的图象与直线BC有交点，求
x
k的最大正整数.

〔第 18 题图〕
四、解答题：〔此题共20分，每题5分〕
E
19. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90�， A D
2
∠C=45�，E是DC上一点，∠EBC=45°，AD=2，CD= 4 ． 求BE的长．
B C
运营工程
世博园维护
相关活动
宣传推广
保安
接待贵宾
行政管理
费用〔单位：

万美元〕

9900

6000

23400

3000

A

8700
占运营费

的比例

0．165

B

0．39

0．05

0．15

0．145

20．根据上海市政府智囊团关于上海世博会支出的一份报告，绘制出了以下两个统计图表： 表一：上海世博会运营费统计表：
图一：上海世博会支出费用统计图：
求：〔1〕上海世博会建设费占总支出的百分比；
〔2〕表二中的数据 A、B；
〔3〕上海世博会专项费的总金额．
专项费
6%
运营费
36%
建设费

〔第 20 题图〕
21．将一个量角器和一个含30° 角的直角三角板如图 1 放置，图 2 是由它抽象出的几何图形，其中点 B 在半圆 O 的直径 DE 的延长线上，AB 切半圆 O 于点 F，BC=OD．
〔1〕求证：FC // DB；
3
〔2〕当OD=3，sin∠ABD= 时，求AF的长．
5
F
A
C
D O E B
〔第21题图1〕 〔第21题图2〕
22．请阅读下面材料，完成以下问题：
〔1〕如图1，在⊙O中，AB是直径，CD⊥ AB于点E， AE = a， EB= b．计算CE的长度〔用a、b的代数式表示〕；
〔2〕如图2，请你在边长分别为a、b〔a>b〕的矩形ABCD的边AD上找一点M，使得线段CM=
ab，
保存作图痕迹；
〔3〕请你利用〔2〕的结论，在图3中对矩形ABCD进行拆分并拼接为一个与其面积相等的正方形.要求： 画出拼成的正方形，并用相同的数字说明拼接前与拼接后的同一图形.
O
E
C
A D A D
A B
B C B C
D
〔第22题图1〕 〔第22 题图2〕 〔第22题图3〕
五、解答题：〔此题共22分，第23、24题每题7分，第25题8分〕
23．：关于x的一元二次方程kx2+2x+2−k=0〔k≥1〕．
〔1〕求证：方程总有两个实数根；
〔2〕当k取哪些整数时，方程的两个实数根均为整数．
24．如图，二次函数过A〔0，m〕、B〔−3，0〕、C〔12，0〕，过A点作x轴的平行线交抛物线于一点D，线段 OC上有一动点 P，连结 DP，作 PE⊥DP，交 y轴于点 E．
〔1〕求AD的长；
〔2〕假设在线段OC上存在不同的两点P1、P2，使相应的点EEEE1111、EEEE2222都与点A重合，试求m的取值范围．
y
A D
E
B O
P
C
x
〔3〕设抛物线的顶点为点Q，当60° ≤ ∠BQC≤ 90° 时， 求m的变化范围．
25．，正方形ABCD的边长为1，直线l1//直线l2，l1与l2之间的距离为1，l1、l2
与正方形 ABCD
的边总有交点．
〔1〕如图 1，当l1 ⊥ AC于点 A， l2 ⊥ AC交边 DC、BC 分别于 E、F 时，求 ∆EFC的周长；
〔2〕把图 1 中的l1 与l2同时向右平移 x，得到图 2，问 ∆EFC与 ∆AMN的周长的和是否随 x的变化而变化，假设不变，求出 ∆EFC与 ∆AMN 的周长的和；假设变化，请说明理由；
1
〔3〕把图 2 中的正方形饶点 A 逆时针旋转α ，得到图 3，问 ∆EFC与 ∆AMN 的周长的和是否随α的变化而变化，假设不变，求出 ∆EFC与 ∆AMN 的周长的和；假设变化，请说明理由．
D
l1

E
G

F
B
D
M
E
N
F
B
l
l1l2
1

l D l1
M
E
F
N
B
C
A
C A C
A
〔第25题图1〕 〔第25题图2〕 〔第25题图3〕
北京市东城区 2022-2022 学年度初三年级综合练习〔二〕
数学参考答案2022.6
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
D
B
D
D
A
C

一、选择题：〔此题共32分，每题4分〕
二、填空题：〔此题共16分，每题4分〕
9. 2 ， 10. 45°， 11. 2， 12.. 4 −π ，23−n −
3
三、解答题：〔此题共30分，每题5分〕

π
2n−1 .
13．解：原式=

8
1
+ ( ) 3
−1 + 20220 − 4 cos 45°
2
2
2 + 3+1− 4⋅ …………………………………………4 分
2
2
2
=2 + 4− 2
= 4. ………………………………………………………………5 分
14.解： x2 + 2x−1 = 0 ....
∴x2 + 2x−1 = (x+1)2 − 2 = 0 ....
∴(x+1)2 = 2 .
2
∴x+1=± .
2
∴x=−1± .
∴原方程的解为： x1 = −1+

2
2 ， x2 = −1− . …………………5 分

15. 解：
x y xy
) ⋅
( −
2 2
y x x − 2xy+y
x2 −y2 xy
= ⋅
xy x2 − 2xy+y2
(x− y)(x+ y)
=
xy
⋅ xy
(x− y)2

x+ y
=
x−y

. …………3 分
∵ x− 2y= 0 ， ∴x= 2y.
x+ y
∴ =
2y+ y
= 3y = 3 .
x− y 2y−y y
∴原式=3. …………5分
16．结论：BF=AE. ……1分
证明：∵CF⊥BE，∴ ∠BFC = 90� ....
又∵AD∥BC，∴∠AEB= ∠FBC.... …………2分
由于以点B为圆心，BC长为半径画弧，∴BE=BC.... …………3分
E
F
在△ABE与△FCB中，
A D
⎧∠AEB= ∠FBC,
⎨
⎪∠BAE = ∠CFB= 90°,
⎩
⎪BE = BC.
∴△ABE≌△FCB.... …………4 分
∴BF=AE. … …………5 分
B C
⎧5x+ 6y= 16,
⎩
17．解：设每只雀、燕的重量各为 x两， y两，由题意得： ⎨4x+ y= 5y+ x.…………2 分
⎧x= 32 ,
⎪
解方程组得： ⎨
⎪
⎪y=
⎩
19
24.
19
……………………………4 分
32 24
答：每只雀、燕的重量各为 两， 两. ………………………………………5分
19 19
18．解：〔1〕∵A点的坐标为〔1，1〕，两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴，AB=3，AC=6，∴B
〔4，1〕，C〔1，7〕.
∴直线AB的方程为：y= −2x+9 ………2分
〔2〕把y=k代入y=−2x+9整理得2x2 −9x+k=0.... …………3分
x
由于∆=b2 −4ac=81−8k≥ 0，解得：k≤81.... …………4分
8
∴k的最大正整数为10. …………5分四、解答题：〔此题共20分，每题5分〕
19．解：如图，过点D作DF∥ AB交BC于点F ．…………………… 1 分
E
∵AD∥BC，∴四边形ABFD是平行四边形． A D
∴BF=AD=2．……………………2 分
由DF∥AB， 得∠DFC=∠ABC=90�．
2
在Rt△DFC中，∠C=45�，CD=4 ，
=
CF B F C
由cosC ，
CD
求得 CF=4．……………………3 分所以BC = BF + FC = 6 ．
在△BEC中，∵ ∠C = 45� ，∠EBC=45°，∴ ∠BEC = 90� ....
2
BE
由 sinC= ，求得BE=3
BC
．………………5 分
20.解：〔1〕上海世博会建设费占总支出的百分比为：
1-6%-36% = 58% ．…………………1 分
〔2〕表二中 A=9000，B=0.1．…………………3 分
6000
〔3〕上海世博会专项费的总金额为
0.1
÷36%×6%=10000〔万美元〕．……5分
21.〔1〕证明：∵ AB切半圆 O 于点 F，∴ OF ⊥ AB．
F
∴∠OFB= 90°． A
又∵∆ABC为直角三角形，∴∠ABC =90°． C
∴∠OFB= ∠ABC．∴OF// BC．
又∵OF=OD,OD=BC，∴OF=BC． D O E B
3
∴四边形OFCB是平行四边形．∴ FC// OB．即FC// DB．………………3 分
〔2〕解：在Rt∆OFB中，∵∠OFB= 90° ，sin∠ABO= ，OF=OD=3，
5
∴OB=5, FB= 4．
在Rt∆ABC中，∵ ∠ABC = 90° ， ∠A= 30° ， BC = OD= 3 ，
3
∴ AB= 33．∴ AF= 3 − 4 ．………………5分
22．〔1〕解：如图1，连接AC、BC，
∵AB是⊙O的直径，∴ ∠ACB= 90° ．∴ ∠ACE+ ∠ECB= 90° ． 又∴ CD⊥ AB于点E，∴ ∠AEC= 90° ．∴ ∠ACE+ ∠A= 90° ．
∴∠A= ∠ECB．
∴∆ACE ∼ ∆CBE．∴ AE = CE ．∴CE2 = AE⋅ BE = ab．
CE BE
∵ CE为线段，∴ CE =
ab．…………………2分
〔2〕如图2，延长BC，使得CE=CD．
以BE为直径画弧，交CD的延长线于点P．
以C为圆心，以CP为半径画弧，交AD于点M．点M即为所求． …………4分
〔3〕如图3．正方形MNQC为所求．…………………5分
C
O E
P
A M
1
D
N
B 2
C
E
Q
1
2
M
P
D
C
E
A F
A B
B
D
图1 图2 图3 五、解答题：〔此题共22分，第23、24题每题7分，第25题8分〕 23．〔1〕证明：∵∆=4−4k(2−k)=4−8k+4k2=4(k−1)2≥0，
∴方程恒有两个实数根. …………………3 分
−2 ± 4(k−1)2
−1± (k−1)2
〔2〕解：方程的根为x= = ，
2k k
−1± (k−1)2
∵k≥ 1，∴x= = −1± (k−1).
k k
2
∴ x1 = −1 ， x2 = 1− k . …………………5 分
∵k ≥ 1，
∴当k = 1或k = 2 时，方程的两个实数根均为整数. …………7 分
24.解：〔1〕∵B〔−3，0〕、C〔12，0〕是关于抛物线对称轴对称的两点，AD//x轴，
∴A、D 也是关于抛物线对称轴对称的两点．
∵A〔0,m〕，∴D(9,m)．∴AD=9．…………2分
〔2〕方法一
∵PE⊥DP，∴要使线段OC上存在不同的两点P1、P2，使相应的点EEEE1111、EEEE2222

都与点 A重合，也就
是使以 AD 为直径的圆与 BC 有两个交点，即r > m ．
y
Q
A
D
E

B O
M P F C
x
9 9
∵r= ，∴m< ．
2 2
又∵ m> 0 ，∴ 0 < m<
方法二：

9
．…………4 分
2
∵ m> 0 ，∴点 E在 x轴的上方．
过 D 作 DF⊥ OC 于 点 F， 设 OP = x ，
OE= y，
那么 FC＝OC－AD＝3，PF＝ 9 − x．
=
OE OP
由△POE∽△DFP，得 ，∴
y = x ．∴ y = − 1 x2 + 9 x．
PF DF
9−x m m m
当 y = m时， m= − 1 x2 + 9 x，化为 x2 − 9x+ m2 = 0 ．
m m
当△=0，即92 − 4m2 = 0 ，解得m= 9 时，线段 OC上有且只有一点 P，使相应的点E点 A重合．
2
∵ m> 0 ，
∴线段OC上存在不同的两点P1、P2，使相应的点EEEE1111、EEEE2222
9

都与点 A重合时， m的取值范围为
0 < m<
．……4分
2
〔3〕设抛物线的方程为：y=a(x+3)(x−12)，又∵抛物线过点A〔0，m〕，
1
∴m= −36a．∴a=− m．
36
∴ y = −
1 m(x+ 3)(x− 12) = − 1 m(x− 9 )2 + 25 m．

36 36 2 16
∵tan∠BQM=BM，QM=25m，
QM 16
又∵60° ≤ ∠BQC≤ 90° ，
∴由抛物线的性质得： 30° ≤ ∠BQM ≤ 45° ．
24
∴当∠BQM=30°时，可求出m= 3，
5
当∠BQM = 45° 时，可求出m= 24 ．
5
∴m的取值范围为
24 ≤ m≤24
5 5
3 ．…………7 分
25．解：〔1〕如图1，∵正方形ABCD的边长为1，
2
∴AC= ．
又∵直线l1//直线l2，l1与l2之间的距离为1．
2
∴CG= −1．
2
∴EF = 2
−2,
EC = CF =2− ．
2
∴ ∆EFC的周长为EF + EC+ CF = 2 ．…………2 分
〔2〕∆EFC与∆AMN 的周长的和不随 x的变化而变化．
如图2，把l1、l2向左平移相同的距离，使得l1过A点，即l1平移到l4，l2平移到l3，过E、F
分别做l3 的垂线，垂足为 R，G．可证 ∆AHM ≅ ∆ERP, ∆AHN ≅ ∆FGQ．
∴AM=EP，HM=PR，AN=FQ，HN=GQ．
∴∆EFC与∆AMN的周长的和为∆CPQ的周长，由可计算∆CPQ的周长为2，∴∆EFC
与 ∆AMN 的周长的和为 2．…………5 分
〔3〕∆EFC与 ∆AMN 的周长的和不随α 的变化而变化．
如图3，把l1、l2平移相同的距离，使得l1过A点，即l1平移到l4，l2平移到l3，过E、F分别 做l3的垂线，垂足为R，S．过A做做l1的垂线，垂足为H．可证
∆AHM ≅ ∆FSQ, ∆AHN ≅ ∆ERP，
∴AM=FQ，HM=SQ，AN=EP，HN=RP．
∴ ∆EFC与 ∆AMN 的周长的和为 ∆CPQ的周长．
如图 4，过 A 做l3 的垂线，垂足为 T．连接 AP、AQ．
可证∆APT ≅ ∆APD, ∆AQT ≅ ∆AQB， ∴DP=PT，BQ=TQ．
∴ ∆CPQ的周长为 DP+PC+CQ+QB=DC+CB=2．
∴ ∆EFC与 ∆AMN 的周长的和为 2． …………8 分
D
P
M
E
H
R S
G
N
F
Q
B
D
l1

E
G

F
B
l
1l4l1
A
C A

l3l2
C
4
图1 图2
M
P
E
R

S F
H
N
Q
B
4
ll1D
l3l1
C
ll1 D
ll1
3
C
A A
P
M
E
F
T
N
Q
B
图3 图4
P
A M
D
B C E