1、
§3 向量的坐标表示和空间向量基本定理
3.1 空间向量的标准正交分解与坐标表示
课后训练案巩固提升
1.在空间直角坐标系O-xyz中,下列说法正确的是( )
A.向量AB的坐标与点B的坐标相同
B.向量AB的坐标与点A的坐标相同
C.向量AB的坐标与向量OB的坐标相同
D.向量AB的坐标与向量OB-OA的坐标相同
解析:空间向量的坐标用两种方法可以得到:(1)将向量的起点移到原点,终点坐标就是向量的坐标;(2)向量的坐标等于表示向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.
答案:D
2.已知动点P的竖坐标为0,则动点P的轨迹是( )
A.平面 B.直
2、线
C.不是平面,也不是直线 D.以上都不正确
解析:竖坐标为0,横坐标、纵坐标为任意实数,这样的点都在xOy平面内.
答案:A
3.点M(-1,3,-4)在坐标平面xOy,xOz,yOz内的投影的坐标分别是( )
A.(-1,3,0),(-1,0,-4),(0,3,-4)
B.(0,3,-4),(-1,0,-4),(0,3,-4)
C.(-1,3,0),(-1,3,-4),(0,3,-4)
D.(0,0,0),(-1,0,0),(0,3,0)
解析:自点M向坐标平面xOy引垂线,垂足为M0,则M0就是点M在坐标平面xOy内的投影,竖坐标zM0=0.所以可得M0(-1,3,
3、0),其他情况同理.
答案:A
4.在空间直角坐标系中,已知点P(x,y,z),则下列叙述正确的个数是( )
①点P关于x轴对称的点的坐标是P1(x,-y,z);
②点P关于yOz平面对称的点的坐标是P2(x,-y,-z);
③点P关于y轴对称的点的坐标是P3(x,-y,z);
④点P关于原点对称的点的坐标是P4(-x,-y,-z).
A.3 B.2 C.1 D.0
解析:只有④正确.①中P1(x,-y,-z),②中P2(-x,y,z),③中P3(-x,y,-z).
答案:C
5.已知i,j,k为标准正交基,a=i+2j+3k,则a在i
4、方向上的投影为( )
A.1 B.-1 C.14 D.-14
解析:a·i=|a|·|i|·cos,
则|a|·cos=a·i|i|=(i+2j+3k)·i=i2=1,故选A.
答案:A
6.如图,若正方体的棱长为1,则A1C的坐标为 ,CD1的坐标为 .
答案:(1,1,-1) (-1,0,1)
7.已知|a|=3,a与单位向量e的夹角为π,则a在e上的投影为 .
答案:-3
8.
已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体,建立如图所示的空间直角坐标系,试写出A,B,C,D,A1,B1,C1,D1的坐标,并写出DA,
5、DB,DC,DC1,DD1,DA1,DB1的坐标.
解A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),C1(0,1,1),D1(0,0,1).
DA=(1,0,0),DB=(1,1,0),DC=(0,1,0),DC1=(0,1,1),DD1=(0,0,1),DA1=(1,0,1),DB1=(1,1,1).
9.如图,三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为4的正三角形,AA1⊥平面ABC,AA1=26,M为A1B1的中点.以O为原点,以OB,OC,OM的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(其中O为AB的
6、中点),试求向量MC与AB的坐标.
解依题意O(0,0,0),A(-2,0,0),B(2,0,0),C(0,23,0),M(0,0,26).
∴MC=(0,23,-26),AB=(4,0,0).
10.导学号90074027如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=1,CC1=1,求:
(1)BD1在BD上的投影;
(2)BD1在BC1上的投影.
解(1)由题易知D1D⊥平面ABCD,
所以BD1在BD上的投影为|BD1|cos∠D1BD=|BD|=5.
(2)由题易知D1C1⊥平面BCC1B1,所以BD1在BC1上的投影为|BD1|cos∠D1BC1=|BC1|=2.
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