1、2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学（文科）答案解析
第Ⅰ卷
一、选择题
1．【答案】B
【解析】集合A中的元素仅有－1，0，1三个数，集合B中元素为大于等于－1且小于1的数，故集合A，B的公共元素为－1，0，故选B．
2．【答案】D
【解析】A选项中若c小于等于0则不成立，B选项中若a为正数b为负数则不成立，C选项中若a，b均为负数则不成立，故选D．
3．【答案】C
【解析】A选项为奇函数，B选项为非奇非偶函数，D选项虽为偶函数但在上是增函数，故选C．
4．【答案】A
【解析】，其在复平面上的对应点为，该点位于第一象限，故选A．
5．【答案】B
【
2、解析】根据正弦定理，，则，故选B．
6．【答案】C
【解析】时，向下运行，将赋值给S，i增加1变成1，经判断执行否，然后将赋值给S，i增加1变成2，经判断执行是，然后输出，故选C．
7．【答案】C
【解析】该双曲线离心率，由已知，故，故选C．
8．【答案】B
【解析】设正方体的棱长为，建立空间直角坐标系，如图所示：
则,，
则，
，
，
，
，
，
故共有4个不同取值，故选B．
第Ⅱ卷
二、填空题
9．【答案】2
【解析】根据抛物线定义，∴，又准线方程为，故填2，．
10．【答案】3
【解析】由三视图知该四棱锥底面为正方形，其边长为3，四棱锥的高
3、为1，根据体积公式，故该棱锥的体积为3．
11．【答案】2
【解析】根据等比数列的性质知，
∴，又，故求得，
∴．
12．【答案】
【解析】区域D表示的平面部分如图阴影所示：
根据数形结合知到D的距离最小值为到直线的距离。
13．【答案】
【解析】当时，，即，当时，，即；故的值域为。
14．【答案】3
【解析】，，。
设，则。
∴ 得
∵，
可得如图。
可得，
，
两直线距离，
∴．
三、解答题
15．【答案】（1）的最小正周期为，最大值为
（2）
【解析】（1）因为
＝
＝
＝，
所以的最小正周期为，最大值为
（2）因为，所
4、以。
因为，所以。
所以。故。
16．【答案】（1）
（2）
【解析】（1）在3月1日至3月13日这13天中，1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率是。
（2）根据题意，事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日，或5日，或7日，或8日”。
所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为。
（3）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大。
17．【答案】（1）因为平面，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以.
（2）因为，E为CD的中点，
所以，且。
所以ABCD为平
5、行四边形。
所以.
又因为，，
所以BE∥平面BAD.
（3）因为，而且ABCD为平行四边形，
所以
由（1）知，所以.
所以，所以。
因为E和F分别是CD和PC的中点，
所以。所以。
所以。
所以。
18．【答案】（1）
（2）
【解析】由，得。
（1）因为曲线在点处与直线相切，
所以，。解得。
（2）令，得x＝0.
与的情况如下：
x
0
－
0
＋
1
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，是的最小值。
当时，曲线与直线最多只有一个交点；
当时，，，
所以存在，使得.
由于函数在区间和上均单调，所以当
6、时曲线与直线有且仅有两个不同交点。
综上可知，如果曲线与直线有两个不同交点，那么b的取值范围是。
19．【答案】（1）
（2）四边形OABC不是菱形
【解析】（1）因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分。
所以可设，代入椭圆方程得，即。
所以。
（2）假设四边形OABC为菱形。
因为点B不是W的顶点，且 ，所以.
由消y并整理得
设，
则，。
所以AC的中点为。
因为M为AC和OB的交点，且，所以直线OB的斜率为。
因为，所以AC与OB不垂直。
所以四边形OABC不是菱形，与假设矛盾。
所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形。
20．【答案】（1）
（2）是等比数列
（3）是等差数列
【解析】（1）．
（2）因为，公比，
所以是递增数列。
因此，对
于是对，
因此且，
即是等比数列。
（3）设d为的公差。
对，因为，
所以。
又因为，
所以。
从而是递增数列。
因此。
又因为，
所以
因此
所以。
所以。
因此对都有，即是等差数列。
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