2022-2022版数学新学案北师大版选修2-2练习：第二章-变化率与导数-2.2-Word版含解析.docx

§2　导数的概念及其几何意义
课后训练案巩固提升
A组
1.若函数f(x)的图像过原点,且存在导数,limΔx→0f(Δx)Δx=-1,则f'(0)=(　　)

A.-2 B.-1
C.1 D.2
解析:∵函数f(x)的图像过原点,∴f(0)=0.
∴f'(0)=limΔx→0f(0+Δx)-f(0)Δx=limΔx→0f(Δx)Δx=-1.
答案:B
2.若f(x)在x=x0处存在导数,则limh→0f(x0+h)-f(x0)h(　　)
A.与x0,h都有关
B.仅与x0有关,而与h无关
C.仅与h有关,而与x0无关
D.以上答案:都不对
答案:B
3.已知曲线y=f(x)=2x2上一点A(2,8),则曲线在点A处的切线斜率为(　　)
A.4 B.16
C.8 D.2
解析:f'(2)=limΔx→02(2+Δx)2-2×22Δx
=limΔx→08Δx+2(Δx)2Δx=limΔx→0(8+2Δx)=8.
答案:C
4.与直线2x-y+4=0平行的抛物线y=x2的切线方程为(　　)
A.2x-y+3=0 B.2x-y-3=0
C.2x-y+1=0 D.2x-y-1=0
解析:设与直线2x-y+4=0平行的抛物线y=x2的切线与之相切于点(x0,x02),则有f'(x0)=2,即limΔx→0(x0+Δx)2-x02Δx=limΔx→0(2x0+Δx)=2x0=2,所以x0=1,x02=1,切点为(1,1).
因此切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.
答案:D
5.已知函数y=f(x)的图像在点M(1,f(1))处的切线方程为y=12x+2,则f(1)+f'(1)=　　　　　. 
解析:∵f(1)=12×1+2=52,f'(1)=12,
∴f(1)+f'(1)=52+12=3.
答案:3
6.已知f(x)在x=6处可导,且f(6)=8,f'(6)=3,则limx→6[f(x)]2-[f(6)]2x-6=　　　　　. 
解析:∵f'(6)=3,∴limx→6f(x)-f(6)x-6=3.
∴limx→6[f(x)]2-[f(6)]2x-6
=limx→6[f(x)-f(6)][f(x)+f(6)]x-6
=[f(6)+f(6)]·f'(6)=(8+8)×3=48.
答案:48
7.已知函数y=ax2+b在点(1,3)处的切线斜率为2,则ba的值是多少?
解由导数定义知f'(1)=limΔx→0a(1+Δx)2+b-(a×12+b)Δx=limΔx→0(2a+aΔx)=2a,∴2a=2,即a=1.
又∵3=a×12+b,∴b=2.∴ba=2.
8.已知曲线y=2x+1,则此曲线上哪一点处的切线与直线y=-2x+3垂直?写出该点处的切线方程.
解设曲线y=f(x)=2x+1上的点P(x0,y0)处的切线与直线y=-2x+3垂直,
则f'(x0)=limΔx→0ΔyΔx
=limΔx→02x0+Δx+1-2x0-1Δx
=limΔx→02(x0+Δx-x0)Δx(x0+Δx+x0)=22x0=1x0,
则1x0=12,∴x0=4,y0=24+1=5.
∴切线方程为y-5=12(x-4),即x-2y+6=0.
∴曲线在点(4,5)处的切线与直线y=-2x+3垂直,切线方程为x-2y+6=0.
9.导学号88184019已知直线l:y=4x+a和曲线C:y=x3-2x2+3相切,求a的值以及切点坐标.
解设直线l与曲线C:y=f(x)=x3-2x2+3相切于点P(x0,y0),
∵f'(x0)=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx
=limΔx→0(x0+Δx)3-2(x0+Δx)2+3-(x03-2x02+3)Δx
=3x02-4x0,
由导数的几何意义知3x02-4x0=4,
解得x0=-23或x0=2.
∴切点的坐标为-23,4927或(2,3).
当切点为-23,4927时,有4927=4×-23+a,
∴a=12127;
当切点为(2,3)时,有3=4×2+a,∴a=-5.
因此,a=12127,切点为-23,4927或a=-5,切点为(2,3).
B组
1.在曲线y=x2上切线倾斜角为π4的点是(　　)
A.(0,0) B.(2,4)
C.14,116 D.12,14
解析:∵切线的倾斜角为π4,
∴切线的斜率为k=tanπ4=1,
设切点为(x0,y0),则f'(x0)=limΔx→0(x0+Δx)2-x02Δx=limΔx→02Δx·x0+(Δx)2Δx=2x0,
∴2x0=1,x0=12,y0=122=14.
答案:D
2.在平面直角坐标系xOy中,点P在曲线C:y=x3-10x+3上,且在第二象限内,已知曲线C在点P处的切线斜率为2,则点P的坐标为　　　　　. 
解析:设y=f(x),P(x0,y0)(x0<0)
由题意知f'(x0)=3x02-10=2,∴x02=4.
∴x0=-2.∴y0=15.
∴点P的坐标为(-2,15).
答案:(-2,15)
3.曲线y=x3在点(1,1)处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为　　　　　. 
解析:∵曲线y=x3在点(1,1)处的切线斜率为k=limΔx→0(1+Δx)3-1Δx=limΔx→0[(Δx)2+3Δx+3]=3,
∴切线方程为y-1=3(x-1),切线与x轴的交点为23,0,与x=2的交点为(2,4).
∴围成的三角形的面积为S=12×43×4=83.
答案:83
4.导学号88184020若函数f(x)在x=a处的导数为m,求limΔx→0f(a+2Δx)-f(a-2Δx)Δx的值.
解∵limΔx→0f(a+Δx)-f(a)Δx=m,
∴limΔx→0f(a+2Δx)-f(a-2Δx)Δx
=limΔx→0f(a+2Δx)-f(a)+f(a)-f(a-2Δx)Δx
=limΔx→0f(a+2Δx)-f(a)Δx+limΔx→0f(a)-f(a-2Δx)Δx
=2limΔx→0f(a+2Δx)-f(a)2Δx+2lim-2Δx→0f(a-2Δx)-f(a)-2Δx
=2m+2m=4m.
5.导学号88184021已知函数f(x)=x3-3x及y=f(x)上一点P(1,-2),过点P作直线l.
(1)求使直线l和y=f(x)相切且以P为切点的直线方程;
(2)求使直线l和y=f(x)相切且切点异于点P的直线方程y=g(x).
解∵Δy=f(x+Δx)-f(x)=(x+Δx)3-3(x+Δx)-x3+3x=3x2Δx+3x(Δx)2+(Δx)3-3Δx.
∴limΔx→0ΔyΔx=3x2-3.
∴f'(x)=3x2-3.
∴过点P且以P(1,-2)为切点的直线的斜率为k1=f'(1)=0.
∴所求直线方程为y=-2.
(2)设切点坐标为(x0,x03-3x0),则直线l的斜率k2=f'(x0)=3x02-3,
∴直线l的方程为y-(x03-3x0)=(3x02-3)(x-x0).
又直线l过点P(1,-2),
∴-2-(x03-3x0)=(3x02-3)(1-x0).
∴2x03-3x02+1=0,即(2x03-2x02)-(x02-1)=0,
即(x0-1)(2x02-x0-1)=0,
解得x0=1(舍去)或x0=-12.
故所求直线斜率k=3x02-3=-94,
于是其方程为y-(-2)=-94(x-1),
即y=-94x+14.