2022届淮北二模考试数学(理科)参考答案(1).docx

2021 年淮北市高三第二次模拟考试数学参考答案(理科)（敬请阅卷严格按标准，统一尺度）一、选择题:本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意.题号123456789101112答案CACBDCDBDABB二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.313.1014. 415. - 235,2 516. 9三解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答；第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答）17.解：(I) 取 PC 的中点 E，连接 EN、ED，因EN / BC, AD / BC ，所以所以 M、N、E、D 四点公面EN / MD.2 分因为 MN / 平面PCD ，面PCD 面MNED = ED ，所以 MN/ED.4 分所以MNED 为平行四边形所以EN = MD = 2, BC = 2EN = 4.6 分(II) 取BC 中点 F，则 AF 垂直于 BC，因为 AD/BC，所以 AF AD以 A 为原点，AF 为 x 轴，AD 为 y 轴，AP 为 z 轴建立坐标系.8 分由 AF AD，AF AP知面 PMD 法向量为（1，0，0）.9 分求得面 PMN 的一个法向量为(6,2,1).11 分知二面角为钝角，求得余弦值为- 6 616118.(1)由茎叶图可知抽取的10 户中用水量为一阶的有2 户，二阶的有6 户，三阶的有2 户，第二阶梯水量的户数X 的可能取值为0,1,2,3.C 3 C 0C3P( X = 0) = 46101C 2 C13C3=; P( X = 1) = 46 =301010C1 C 2C3P( X = 2) = 4610所以X 的分布列为1C 0 C 31C3=; P( X = 3) = 46 =2106.4 分X0123P1303101216.E( X ) = 0 1 +1 3 + 2 1 + 3 1 = 9.6 分3010265（II）设Y 为从全市抽取的10 户中用水量为二阶的家庭户数，依题意得Y B(10,3)，5所以P(Y = k ) =k 3 k 2 10-k ，其中k = 0,1,2,.,10.8 分C10 (5) ( 5 )k 3 k 2 10-k设t =P(Y = k )=P(Y = k -1)C10 (5) ( 5 )32= 3(11- k ) .2kC(k -110)k -1 (5)11-k5若t 1，则k 6.6，P(Y = k -1) P(Y = k );若t 6.6, P(Y = k -1) P(Y = k ).63 6 2 4所以当 k = 6 或者 7， P (Y = k )可能最大，P (YP (Y= 6 ) = 7 )C 10 ( 5 ) ( 5 )32= 7 16C(710 5) 7 () 35所以抽到6 户为第二阶梯用户的可能性最大.12 分P(Y = k ) P(Y = k +1)(也可由不等式P(Y = k ) P(Y = k -1) ，及k N 解得)19.解：（I）因为DF1 AB 是边长为 2 的等边三角形3b2 + c22b = 2所以 b2+ c2，解得b = 1, c =2= 4,所以 a = 2所以椭圆 C 的方程为x + y2 = 1 4.4 分+(II)依题意直线 MN 斜率存在，设直线 MN 的方程为 y = kx + 2 ， P(x1 , y1 ), Q(x2 , y2 ) x2由 4y2 = 1整理得(1+ 4k 2 )x2 +16kx +12 = 0 y = kx + 2-16k12当D 0时，得 x1 + x2 = 1+ 4k 2 , x1 x2 = 1+ 4k 2设存在定点 D(0, t) 满足题意，则.5 分y - t y - ty y - t(y + y )+ t 2kPD kQD = 1 2= 1 212x1x2x1 x2(kx + 2)(kx + 2) - t(kx + 2 + kx + 2) + t 2= 1212，x1 x2k 2 x x + k (2 - t)(x + x ) + 4 - 4t + t 2= 1 212，代入并化简得.7 分（有用韦达定理意识）x1 x2kPD kQD =12k 21+ 4k 2- 16k 2 (2 - t) +1+ 4k 2 121+ 4k 2(2 -t)2= 12k 2 -16(2 - t)k 2 + (2 - t)2 (1+ 4k 2 )12= 43 - 4(2 - t) + (2 - t)2 k 2 + (2 - t)212由3 - 4(2 - t) + (2 - t)2 = 0得t = -1， t = 1，31.9 分当t = -1时kPD kQD = 4 ，当t = 1时kPD kQD = 12故存在满足题意的定点 D(0,-1) 或 D(0,1).12 分20.解:(I)由 2Sn = an+1 - 3得当 n 2 时， 2Sn-1 = an - 3，两式相减得 2an = an+1 - an即 an+1 = 3an ， (n 2)又 a1 = 1， 2S1 = a2 - 3 得 a2 = 3即 n = 1也满足上式，故an 是以 1 为首项，3 为公比的等比数列.4 分n得 a = 3n-1 , (n N * ).5 分（没验证首项的扣 1 分）（II）由题意 a b + a b+ a b+L + a b= 3n - n -1对任意正整数 n 成立及（I）1 n2n-13 n-2n 1得bn + 3bn-12+ 3 bn-2+L + 3n-1 b = 3n - n -11又bn+1+ 3bn2+ 3 bn-1+L + 3n b = 3n+1 - (n +1)-1 1n3 得bn+1 又 a1b1 = 3 -1-1= 2n +1， (n N * )即b1 = 1.7 分得bn= 2n -1, n N * ,进而T= n2.8 分2由Tn = an 得 nn2= 3n-1n2，即= 1 3n-1416记 f (n) =3n-1，则 f (1) = 1, f (2) =, f (3) = 1, f (4) =3，.9 分27以下证明 n 4 时 f (n) 1.(n +1)2因 f (n +1) - f (n) =3n即 n 4 时 f (n) 单调递减，- n23n-1= - 2n2 + 2n +1 =3n2n(1- n) +1 0 ，h(x)在 R 上单调递增，至多一个零点，不满足题意.2 分当k 0 时，由h (x) = ex - k = 0 得x = ln k，当x (-,ln k)时，h (x) 0 ，h(x)单调递增，h(x)的极小值也即是最小值为f(ln k) = k- kln k = k(1 - ln k)若f(ln k) 0 即0 k e，则h(x)至多一个零点，不满足题意.3 分若f(ln k) e，则由h(0) = 1 0 ， f(ln k) 0 ，即h(2 ln k) 0 ， 所以h(x)在(ln k,2 ln k)存在一个零点，从而h(x)有个两个不同零点，满足题意.4 分2121k综上，实数k的取值范围是 (e,+)=（2）要证f(x ) g(1) y 只要证e 2x1 +x2ex -exex +ex.5 分2100x - x2 0 ，即证e2 .7 分21tet - 1t2t- t要证e2 t tt- t= 1 t- t 设F (t) = e2 -e 2 - t，则F (t)e2 +e 2 - 1 02 tet - 1所以F (t)在(0,+)上为增函数，从而F (t) F (0) = 0 ，即e2要证 et - 1 et + 1 ，只需证 et - 1 t成立.9 分t0t2et + 12设G (t) = et - 1 - t，则G (t) =2et- 1 2et - 1 =et + 12(et + 1)2 24et2所以( )在( +)上为减函数，从而( ) ( ) = ，即 et - 1 et + 1 成立.11 分G t0,tet - 1et + 1G tG 00t2所以e2 0)成立，即f(x ) g(1) y .12 分t200选考题（本大题共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）22.（选修 4-4：坐标系与参数方程）（本小题满分 10 分） x = cosa-解：（)由 y = sina+3 sina得3 sinax2 + y2= 4 2 分)由rcos(q+ p = 2 得3rcosq- rsinq- 4 = 0 4 分6 C 的普通方程是 x2 + y2 = 4 ， l 的直角坐标方程为 3x - y - 4 = 0 5 分（）由()知 P(0, -4)设l 的参数方程为 x = 1 t2(t为参数）代入C 的方程得t2 - 4 3t+12=0 8 分 y = -4 +|PA|PB|=|t1t2 |= 123 t2所以|PA|PB| 为定值10 分23.（选修 4-5：不等式选讲）（本小题满分 10 分）-3x, x -2,解：（) f (x) = x+2 +2 x -1 = -x + 4, -2 x 1， 3 分3x, x 1当 x (-,1) 时， f (x) 单调递减；当 x 1, +)时， f (x) 单调递增，所以当 x = 1时， f (x) 取最小值 m = 3.5 分（）证明：由 （)可知 1 +a1 + 1 2b3c= 2, 因为 a,b, c 为正实数，所以 a + 2b + c = 1 ( 1 + 1+ 1 )( a + 2b + c ) = 1 1 + ( a+ 2b ) + ( c +a ) + ( 2b +c )9932 a2b3c9932 318b9a3a27c27c6b 1 (1 + 2 + 2 + 2 ) = 1 . 当且仅当 a = 2b = 3c ，即a = 3 , b = 3 , c = 1 时取等号，2 39992所以 a + 2b + c 1 . 993224210 分第 6 页