2022届高考数学(文科)总复习课时跟踪练：(五十三)双曲线-Word版含解析.doc

课时跟踪练(五十三)
A组　基础巩固
1．(2019·石家庄一模)已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1　　　　 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则c＝4，a＝2，b2＝12，双曲线方程为－＝1，故选A.
答案：A
2．(2019·郴州模拟)已知双曲线－＝1(m>0)的一个焦点在直线x＋y＝5上，则双曲线的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
解析：由双曲线－＝1(m>0)的焦点在y轴上，且在直线x＋y＝5上，直线x＋y＝5与y轴的交点为(0，5)，
有c＝5，则m＋9＝25，则m＝16，
则双曲线的方程为－＝1，
则双曲线的渐近线方程为y＝±x.故选B.
答案：B
3．已知点F1(－3，0)和F2(3，0)，动点P到F1，F2的距离之差为4，则点P的轨迹方程为(　　)
A.－＝1(y>0) B.－＝1(x>0)
C.－＝1(y>0) D.－＝1(x>0)
解析：由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴上的双曲线的右支，设其方程为－＝1(x>0，a>0，b>0)，由题设知c＝3，a＝2，b2＝9－4＝5.
所以点P的轨迹方程为－＝1(x>0)．
答案：B
4．(2019·开封模拟)已知l是双曲线C：－＝1的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·＝0，则P到x轴的距离为(　　)
A. B.
C．2 D.
解析：由题意知F1(－，0)，F2(，0)，不妨设l的方程为y＝x，则可设P(x0，x0)．由·＝(－－x0，－x0)·(－x0，－x0)＝3x－6＝0，
得x0＝±，故P到x轴的距离为|x0|＝2，故选C.
答案：C
5．(2019·深圳模拟)已知椭圆＋＝1与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同的焦点，且其中的一个焦点F到双曲线的两条渐近线的距离之和为2，则双曲线的离心率为(　　)
A．2 B．3
C. D.
解析：因为椭圆＋＝1与双曲线－＝1有共同的焦点，
所以4＋m2－m2＝a2＋b2，所以a2＋b2＝4，
所以双曲线的焦点坐标为(－2，0)，(2，0)
设F(2，0)，
双曲线的渐近线方程为y＝±x，
因为焦点F到双曲线的两条渐近线的距离之和为2，
所以2×＝2，
所以＝，
所以b＝，
所以a2＝c2－b2＝1，
所以e＝＝2，故选A.
答案：A
6．(2019·安阳模拟)已知方程＋＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围是________．
解析：因为方程＋＝1表示焦点在x轴上的双曲线，
所以有解得44，8)
7．设双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为________．
解析：由双曲线的标准方程为－＝1，得a＝2，由双曲线的定义可得|AF2|－|AF1|＝4，|BF2|－|BF1|＝4，所以|AF2|－|AF1|＋|BF2|－|BF1|＝8.因为|AF1|＋|BF1|＝|AB|，当|AB|是双曲线的通径时，|AB|最小，所以(|AF2|＋|BF2|)min＝|AB|min＋8＝＋8＝10.
答案：10
8．[一题多解](2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为________．
解析：法一　不妨设点M、N在渐近线y＝x上，如图，△AMN为等边三角形，且|AM|＝b，

则A点到渐近线y＝x的距离为b，将y＝x变形为一般形式为bx－ay＝0，则A(a，0)到渐近线bx－ay＝0的距离d＝＝，所以＝b，即＝，所以双曲线离心率e＝＝.
法二　不妨设点M、N在渐近线y＝x上，如图，作AC垂直于MN，垂足为C，

据题意知点A的坐标为(a，0)，则|AC|＝＝，在△ACN中，∠CAN＝∠MAN＝30°，|AN|＝b，所以cos ∠CAN＝cos 30°＝＝＝＝＝，所以离心率e＝＝.
答案：
9．已知椭圆D：＋＝1与圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．
解：椭圆D的两个焦点为F1(－5，0)，F2(5，0)，
因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.
设双曲线G的方程为－＝1(a>0，b>0)，
所以渐近线方程为bx±ay＝0且a2＋b2＝25，
又圆心M(0，5)到两条渐近线的距离为r＝3.
所以＝3，得a＝3，b＝4，
所以双曲线G的方程为－＝1.
10．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．点M(3，m)在双曲线上．
(1)求双曲线的方程；
(2)求证：·＝0；
(3)求△F1MF2的面积．
(1)解：因为e＝，则双曲线的实轴、虚轴相等．
所以设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．
因为过点(4，－)，所以16－10＝λ，即λ＝6.
所以双曲线方程为x2－y2＝6.
(2)证明：因为＝(－2－3，－m)，
＝(2－3，－m)．
所以·＝(－2－3)(2－3)＋m2＝－3＋m2，
因为M点在双曲线上，所以9－m2＝6，即m2＝3，
所以·＝0.
(3)解：△F1MF2的底|F1F2|＝4.
由(2)知m＝±.
所以△F1MF2的高h＝|m|＝，
所以S△F1MF2＝×4×＝6.
B组　素养提升
11．(2019·河南适应性考试)设F1、F2分别是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是(　　)
A．x±y＝0 B.x±y＝0
C．x±2y＝0 D．2x±y＝0
解析：假设点P在双曲线的右支上，
则
所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.
因为|F1F2|＝2c>2a，
所以△PF1F2中最短的边是PF2，
所以△PF1F2的最小内角为∠PF1F2.
在△PF1F2中，由余弦定理得4a2＝16a2＋4c2－2×4a×2c×cos 30°，
所以c2－2ac＋3a2＝0，
所以e2－2e＋3＝0，所以e＝，即＝，
所以c2＝3a2，所以a2＋b2＝3a2，所以b2＝2a2，
所以＝，
所以双曲线的渐近线方程为x±y＝0，故选B.
答案：B
12．(2019·黄冈模拟)已知双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线的离心率为e，若双曲线上存在一点P使＝e，则·的值为(　　)
A．3 B．2
C．－3 D．－2
解析：由题意及正弦定理得＝＝e＝2，
所以|PF1|＝2|PF2|，由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2，所以|PF1|＝4，|PF2|＝2.又|F1F2|＝4，由余弦定理可知cos ∠PF2F1＝
＝＝，
所以·＝||·||·cos ∠PF2F1＝2×4×＝2.故选B.
答案：B
13．设双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________．
解析：如图，由已知可得a＝1，b＝，c＝2，从而|F1F2|＝4，由对称性不妨设P在右支上，

设|PF2|＝m，
则|PF1|＝m＋2a＝m＋2，
由于△PF1F2为锐角三角形，
结合实际意义可知m需满足
解得－1＋＋2<8.
答案：(2，8)
14．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为2x＋y＝0，且顶点到渐近线的距离为.
(1)求此双曲线的方程；
(2)设P为双曲线上一点，A，B两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若＝，求△AOB的面积．
解：(1)依题意得解得
故双曲线的方程为－x2＝1.
(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y＝±2x，
设A(m，2m)，B(－n，2n)，其中m＞0，n＞0，
由＝得点P的坐标为.
将点P的坐标代入－x2＝1，
整理得mn＝1.设∠AOB＝2θ，因为tan＝2，
则tan θ＝，从而sin 2θ＝.
又|OA|＝m，|OB|＝n，
所以S△AOB＝|OA||OB|sin 2θ＝2mn＝2.