2023版高考数学二轮复习专题限时集训3等差数列等比数列理.doc

专题限时集训(三)　等差数列、等比数列
[专题通关练]
(建议用时：30分钟)
1．[一题多解]{an}为等差数列，其前n项和为Sn，假设a3＝6，S3＝12，那么公差d等于(　　)
A．1　　　　B.　　　　C．2　　　　D．3
C　[法一：(根本量法)由题设得解得应选C.
法二：(性质法)因为S3＝＝12，所以a1＋a3＝8，所以2a2＝8，即a2＝4.又a3＝6，故公差d＝a3－a2＝6－4＝2.应选C.]
2．设Sn为等差数列{an}的前n项和，且2＋a5＝a6＋a3，那么S7＝(　　)
A．28 B．14
C．7 D．2
B　[∵{an}是等差数列，∴a3＋a6＝a4＋a5＝a5＋2，
∴a4＝2.
∴S7＝7a4＝7×2＝14.应选B.]
3．[易错题]在等比数列{an}中，a3，a15是方程x2－6x＋8＝0的两根，那么的值为(　　)
A．2 B．4
C．±2 D．±4
A　[∵a3，a15是方程x2－6x＋8＝0的根，
∴a3a15＝8，a3＋a15＝6，易知a3，a15均为正，∴a9＝a3q6＞0.由等比数列的性质知，a1a17＝a＝a3a15＝8，∴a9＝2，＝2，应选A.]
4．设公比为q(q>0)的等比数列的前n项和为Sn，假设S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，那么a1等于(　　)
A．－2 B．－1 C. D.
B　[S4－S2＝a3＋a4＝3a4－3a2 ，即3a2＋a3－2a4＝0，即3a2＋a2q－2a2q2＝0 ，即2q2－q－3＝0，解得q＝－1 (舍)或q＝，当q＝ 时，代入S2＝3a2＋2，
得a1＋a1q＝3a1q＋2，解得a1＝－1，应选B.]
5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1>0，a3＋a10>0，a6a7<0，那么满足Sn>0的最大自然数n的值为(　　)
A．6 B．7
C．12 D．13
C　[∵a1>0，a6a7<0，∴a6>0，a7<0，等差数列的公差小于零，又a3＋a10＝a1＋a12>0, a1＋a13＝2a7<0，∴S12>0，S13<0，∴满足Sn>0的最大自然数n的值为12.]
6．[易错题]等比数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝，S3＝，那么公比q＝________.
1　[(1)当公比q＝1时，S3＝3a1＝3a2＝，满足题意．
(2)当公比q≠1时，由S3＝a1＋a2＋a3＝，可知a1＋a3＝3，∴＋＝3得q＝1(舍去)．
综上可知，q＝1.]
7．(2023·武汉模拟)等差数列{an}的前n项和为Sn，假设a1＝1，S3＝a5，am＝2 019，那么m＝________.
1 010　[设公差为d，由题知S3＝a5，即3a1＋3d＝a1＋4d，又a1＝1，故d＝2，于是an＝1＋2(n－1)＝2n－1，再由2m－1＝2 019，得m＝1 010.]
8．假设等差数列{an}满足a7＋a8＋a9＞0，a7＋a10＜0，那么当n＝________时，{an}的前n项和最大．
8　[∵{an}成等差数列，∴由a7＋a8＋a9＞0可得a8＞0，
又a7＋a10＜0，∴a8＋a9＜0，故a8＞0，a9＜0，
∴当n＝8时，Sn最大．]
[能力提升练]
(建议用时：20分钟)
9．(2023·马鞍山二模)正项等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且－a3，a2，a4成等差数列，那么Sn与an的关系是(　　)
A．Sn＝2an－1 B．Sn＝2an＋1
C．Sn＝4an－3 D．Sn＝4an－1
A　[设等比数列的公比q(q＞0)，由a1＝1，且－a3，a2，a4成等差数列，得2a2＝a4－a3，即2q＝q3－q2，得q＝2，∴an＝2n－1，Sn＝＝2n－1，那么Sn＝2an－1.应选A.]
10．数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，假设a1·a6·a11＝3，b1＋b6＋b11＝7π，那么tan＝________.
－　[∵{an}是等比数列，{bn}是等差数列，
且a1·a6·a11＝3，b1＋b6＋b11＝7π，
∴a＝()3,3b6＝7π，
∴a6＝，b6＝，
∴tan＝tan
＝tan＝tan＝－.]
11．数列{an}满足a1＝－40，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n，那么an取最小值时n的值为________．
10或11　[由nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n＝2n(n＋1)，两边同时除以n(n＋1)，得－＝2，所以数列是首项为－40、公差为2的等差数列，所以＝－40＋(n－1)×2＝2n－42，所以an＝2n2－42n，对于二次函数f(x)＝2x2－42x，在x＝－＝－＝10.5时，f(x)取得最小值，因为n取正整数，且10和11到10.5的距离相等，所以n取10或11时，an取最小值．]
12．(2023·长春三模)数列{an}满足an＋1＝2an＋3×2n，a1＝2，数列{bn}满足bn＋1＝bn＋2n＋1，b1＝1.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列{bn}的通项公式．
[解](1)证明：根据题意，数列{an}满足an＋1＝2an＋3×2n，
等式两边除以2n＋1得＝＋，
故数列是以＝1为首项，为公差的等差数列．
(2)根据题意，由bn＋1＝bn＋2n＋1得bn＋1－bn＝2n＋1，
那么bn－bn－1＝2(n－1)＋1＝2n－1，
那么bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1
＝(2n－1)＋(2n－3)＋…＋3＋1＝＝n2.
题号
内容
押题依据
1
等差数列根本量的运算，等差数列的性质
以等差数列为载体，考查数列中“知三求二〞的根本量求法，考查等价转化能力和解方程的意识，具有较好的代表性
2
等比数列的概念，等差(比)数列的前n项和公式
以数列递推关系为载体，考查等差(比)数列的根本概念及判定方法，考查考生的逻辑推理及数学运算能力
【押题1】　正项等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a3＋a7－a＋15＝0，且Sn＝45，那么n＝(　　)
A．8　　　　　 B．9
C．10 D．11
B　[因为{an}是正项等差数列，a3＋a7－a＋15＝0，
所以a－2a5－15＝0，解得a5＝5(a5＝－3舍去)．
设{an}的公差为d，由a5＝a1＋4d＝1＋4d＝5，解得d＝1.
所以Sn＝＝＝＝45，即(n＋1)n＝90，进而得n2＋n－90＝(n＋10)(n－9)＝0，解得n＝9(n＝－10舍去)，应选B.]
【押题2】　数列{an}满足a1＝a,2an－an＋1＝n－1，设bn＝an－n.
(1)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；
(2)假设a＝2，求{an}的前n项和Sn.
[解](1)根据题意，数列{an}满足2an－an＋1＝n－1，
变形可得2an－2n＝an＋1－(n＋1)，
又由bn＝an－n，那么2bn＝bn＋1，
又由a1＝a，那么b1＝a－1，
当a≠1时，b1≠0，那么数列{bn}为等比数列，
当a＝1时，b1＝0，那么数列{bn}不是等比数列．
(2)由(1)的结论，a＝2，那么b1＝a－1＝1，数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列，
那么bn＝1×2n－1＝2n－1，
即an－n＝2n－1，那么an＝2n－1＋n，
那么Sn＝20＋1＋21＋2＋22＋3＋…＋2n－1＋n
＝(20＋21＋…＋2n－1)＋(1＋2＋3＋…＋n)＝2n－1＋.
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