2022年各地中考数学解析版试卷分类汇编(第1期)专题22等腰三角形.docx

等腰三角形一、选择题12022山东烟台如图，RtABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，B点与0刻度线的一端重合，ABC=40，射线CD绕点C转动，与量角器外沿交于点D，假设射线CD将ABC分割出以BC为边的等腰三角形，那么点D在量角器上对应的度数是A40B70C70或80D80或140【考点】角的计算【分析】如图，点O是AB中点，连接DO，易知点D在量角器上对应的度数=DOB=2BCD，只要求出BCD的度数即可解决问题【解答】解：如图，点O是AB中点，连接DO点D在量角器上对应的度数=DOB=2BCD，当射线CD将ABC分割出以BC为边的等腰三角形时，BCD=40或70，点D在量角器上对应的度数=DOB=2BCD=80或140，应选D22022山东枣庄如图，在ABC中，AB=AC，A=30，E为BC延长线上一点，ABC与ACE的平分线相交于点D，那么D等于A15 B17. 5 C20 D22.5第4题图【答案】A.【解析】试题分析：在ABC中，AB=AC，A=30，根据等腰三角形的性质可得ABC=ACB=75，所以ACE=180-ACB=180-75=105，根据角平分线的性质可得DBC=37.5，ACD=52.5，即可得BCD=127.5，根据三角形的内角和定理可得D=180-DBC-BCD=180-37.5-127.5=15，故答案选A.考点：等腰三角形的性质；三角形的内角和定理.32022.山东省泰安市，3分如图，在PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，假设MKN=44，那么P的度数为A44B66C88D92【分析】根据等腰三角形的性质得到A=B，证明AMKBKN，得到AMK=BKN，根据三角形的外角的性质求出A=MKN=44，根据三角形内角和定理计算即可【解答】解：PA=PB，A=B，在AMK和BKN中，AMKBKN，AMK=BKN，MKB=MKN+NKB=A+AMK，A=MKN=44，P=180AB=92，应选：D【点评】此题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，掌握等边对等角、全等三角形的判定定理和性质定理、三角形的外角的性质是解题的关键42022江苏省扬州如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余局部面积的最小值是A6B3C2.5D2【考点】几何问题的最值【分析】以BC为边作等腰直角三角形EBC，延长BE交AD于F，得ABF是等腰直角三角形，作EGCD于G，得EGC是等腰直角三角形，在矩形ABCD中剪去ABF，BCE，ECG得到四边形EFDG，此时剩余局部面积的最小【解答】解：如图以BC为边作等腰直角三角形EBC，延长BE交AD于F，得ABF是等腰直角三角形，作EGCD于G，得EGC是等腰直角三角形，在矩形ABCD中剪去ABF，BCE，ECG得到四边形EFDG，此时剩余局部面积的最小=46443633=2.5应选C二、填空题1.2022湖北黄冈如图，ABC, DCE, FEG, HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG，GI在同一条直线上，且AB=2，BC=1. 连接AI，交FG于点Q，那么QI=_.ADFHQBCEGI第14题【考点】相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质.【分析】过点A作AMBC. 根据等腰三角形的性质，得到MC=BC=，从而MI=MC+CE+EG+GI=.再根据勾股定理，计算出AM和AI的值；根据等腰三角形的性质得出角相等，从而证明ACGQ，那么IACIQG，故=，可计算出QI=.ADFHQBMCEGI【解答】解：过点A作AMBC.根据等腰三角形的性质，得 MC=BC=.MI=MC+CE+EG+GI=.在RtAMC中，AM2=AC2-MC2= 22-2=.AI=4.易证ACGQ，那么IACIQG=即=QI=.故答案为：.2. (2022四川资阳)如图，在33的方格中，A、B、C、D、E、F分别位于格点上，从C、D、E、F四点中任取一点，与点A、B为顶点作三角形，那么所作三角形为等腰三角形的概率是【考点】概率公式；等腰三角形的判定【分析】根据从C、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，选取D、C、F时，所作三角形是等腰三角形，即可得出答案【解答】解：根据从C、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，选取D、C、F时，所作三角形是等腰三角形，故P所作三角形是等腰三角形=；故答案为：3. 2022四川成都4分如图，在矩形ABCD中，AB=3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，那么AD的长为3【考点】矩形的性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA=AB=OB=3，得出BD=2OB=6，由勾股定理求出AD即可【解答】解：四边形ABCD是矩形，OB=OD，OA=OC，AC=BD，OA=OB，AE垂直平分OB，AB=AO，OA=AB=OB=3，BD=2OB=6，AD=3；故答案为：34. 2022四川达州3分如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60得到线段AQ，连接BQ假设PA=6，PB=8，PC=10，那么四边形APBQ的面积为24+9【考点】旋转的性质；等边三角形的性质【分析】连结PQ，如图，根据等边三角形的性质得BAC=60，AB=AC，再根据旋转的性质得AP=PQ=6，PAQ=60，那么可判断APQ为等边三角形，所以PQ=AP=6，接着证明APCABQ得到PC=QB=10，然后利用勾股定理的逆定理证明PBQ为直角三角形，再根据三角形面积公式，利用S四边形APBQ=SBPQ+SAPQ进行计算【解答】解：连结PQ，如图，ABC为等边三角形，BAC=60，AB=AC，线段AP绕点A顺时针旋转60得到线段AQ，AP=PQ=6，PAQ=60，APQ为等边三角形，PQ=AP=6，CAP+BAP=60，BAP+BAQ=60，CAP=BAQ，在APC和ABQ中，APCABQ，PC=QB=10，在BPQ中，PB2=82=64，PQ2=62，BQ2=102，而64+36=100，PB2+PQ2=BQ2，PBQ为直角三角形，BPQ=90，S四边形APBQ=SBPQ+SAPQ=68+62=24+9故答案为24+95. 2022江苏淮安，16，3分一个等腰三角形的两边长分别为2和4，那么该等腰三角形的周长是10【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系【分析】根据任意两边之和大于第三边，知道等腰三角形的腰的长度是4，底边长2，把三条边的长度加起来就是它的周长【解答】解：因为2+24，所以等腰三角形的腰的长度是4，底边长2，周长：4+4+2=10，答：它的周长是10，故答案为：10【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是先判断出三角形的两条腰的长度，再根据三角形的周长的计算方法，列式解答即可6.2022广东广州如图，中，,点在上，,将线段沿方向平移得到线段，点分别落在边上，那么的周长是cm.难易 容易考点 平移 ，等腰三角形等角对等边解析 CD沿CB平移7cm至EF参考答案 137.2022广西贺州如图，在ABC中，分别以AC、BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点O，那么AOB的度数为120【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质【分析】先证明DCBACE，再利用“8字型证明AOH=DCH=60即可解决问题【解答】解：如图：AC与BD交于点HACD，BCE都是等边三角形，CD=CA，CB=CE，ACD=BCE=60，DCB=ACE，在DCB和ACE中，DCBACE，CAE=CDB，DCH+CHD+BDC=180，AOH+AHO+CAE=180，DHC=OHA，AOH=DCH=60，AOB=180AOH=120故答案为120【点评】此题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，学会利用“8字型证明角相等，属于中考常考题型82022山东烟台如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应3，3，作腰长为4的等腰ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，那么点M对应的实数为【考点】勾股定理；实数与数轴；等腰三角形的性质【分析】先利用等腰三角形的性质得到OCAB，那么利用勾股定理可计算出OC=，然后利用画法可得到OM=OC=，于是可确定点M对应的数【解答】解：ABC为等腰三角形，OA=OB=3，OCAB，在RtOBC中，OC=，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，OM=OC=，点M对应的数为故答案为92022.山东省青岛市,3分如图，以边长为20cm的正三角形纸板的各顶点为端点，在各边上分别截取4cm长的六条线段，过截得的六个端点作所在边的垂线，形成三个有两个直角的四边形把它们沿图中 虛线剪掉，用剩下的纸板折成一个底为正三角形的无盖柱形盒子，那么它的容积为448480cm3【考点】剪纸问题【分析】由题意得出ABC为等边三角形，OPQ为等边三角形，得出A=B=C=60，AB=BC=ACPOQ=60，连结AO，作QMOP于M，在RtAOD中，OAD=OAK=30，得出OD=AD=2cm，AD=OD=2cm，同理：BE=AD=2cm，求出PQ、QM，无盖柱形盒子的容积=底面积高，即可得出结果【解答】解：如图，由题意得：ABC为等边三角形，OPQ为等边三角形，A=B=C=60，AB=BC=AC，POQ=60，ADO=AKO=90连结AO，作QMOP于M，在RtAOD中，OAD=OAK=30，OD=AD=2cm，AD=OD=2cm，同理：BE=AD=2cm，PQ=DE=2022=204cm，QM=OPsin60=204=106，cm，无盖柱形盒子的容积=2041064=448480cm3；故答案为：448480102022江苏泰州如图，直线l1l2，将等边三角形如图放置，假设=40，那么等于20【考点】等边三角形的性质；平行线的性质【分析】过点A作ADl1，如图，根据平行线的性质可得BAD=根据平行线的传递性可得ADl2，从而得到DAC=40再根据等边ABC可得到BAC=60，就可求出DAC，从而解决问题【解答】解：过点A作ADl1，如图，那么BAD=l1l2，ADl2，DAC=40ABC是等边三角形，BAC=60，=BAD=BACDAC=6040=20故答案为20三.解答题1. 2022年浙江省宁波市从三角形不是等腰三角形一个顶点引出一条射线于对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线1如图1，在ABC中，CD为角平分线，A=40，B=60，求证：CD为ABC的完美分割线2在ABC中，A=48，CD是ABC的完美分割线，且ACD为等腰三角形，求ACB的度数3如图2，ABC中，AC=2，BC=，CD是ABC的完美分割线，且ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长【考点】相似三角形的判定与性质【专题】新定义【分析】1根据完美分割线的定义只要证明ABC不是等腰三角形，ACD是等腰三角形，BDCBCA即可2分三种情形讨论即可如图2，当AD=CD时，如图3中，当AD=AC时，如图4中，当AC=CD时，分别求出ACB即可3设BD=x，利用BCDBAC，得=，列出方程即可解决问题【解答】解：1如图1中，A=40，B=60，ACB=80，ABC不是等腰三角形，CD平分ACB，ACD=BCD=ACB=40，ACD=A=40，ACD为等腰三角形，DCB=A=40，CBD=ABC，BCDBAC，CD是ABC的完美分割线2当AD=CD时，如图2，ACD=A=45，BDCBCA，BCD=A=48，ACB=ACD+BCD=96当AD=AC时，如图3中，ACD=ADC=66，BDCBCA，BCD=A=48，ACB=ACD+BCD=114当AC=CD时，如图4中，ADC=A=48，BDCBCA，BCD=A=48，ADCBCD，矛盾，舍弃ACB=96或1143由AC=AD=2，BCDBAC，=，设BD=x，2=xx+2，x0，x=1，BCDBAC，=，CD=2=【点评】此题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会分类讨论思想，属于中考常考题型22022上海如下列图，梯形ABCD中，ABDC，B=90，AD=15，AB=16，BC=12，点E是边AB上的动点，点F是射线CD上一点，射线ED和射线AF交于点G，且AGE=DAB1求线段CD的长；2如果AEC是以EG为腰的等腰三角形，求线段AE的长；3如果点F在边CD上不与点C、D重合，设AE=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围【考点】四边形综合题【专题】综合题【分析】1作DHAB于H，如图1，易得四边形BCDH为矩形，那么DH=BC=12，CD=BH，再利用勾股定理计算出AH，从而得到BH和CD的长；2分类讨论：当EA=EG时，那么AGE=GAE，那么判断G点与D点重合，即ED=EA，作EMAD于M，如图1，那么AM=AD=，通过证明RtAMERtAHD，利用相似比可计算出此时的AE长；当GA=GE时，那么AGE=AEG，可证明AE=AD=15，3作DHAB于H，如图2，那么AH=9，HE=AEAH=x9，先利用勾股定理表示出DE=，再证明EAGEDA，那么利用相似比可表示出EG=，那么可表示出DG，然后证明DGFEGA，于是利用相似比可表示出x和y的关系【解答】解：1作DHAB于H，如图1，易得四边形BCDH为矩形，DH=BC=12，CD=BH，在RtADH中，AH=9，BH=ABAH=169=7，CD=7；2当EA=EG时，那么AGE=GAE，AGE=DAB，GAE=DAB，G点与D点重合，即ED=EA，作EMAD于M，如图1，那么AM=AD=，MAE=HAD，RtAMERtAHD，AE：AD=AM：AH，即AE：15=：9，解得AE=；当GA=GE时，那么AGE=AEG，AGE=DAB，而AGE=ADG+DAG，DAB=GAE+DAG，GAE=ADG，AEG=ADG，AE=AD=15，综上所述，AEC是以EG为腰的等腰三角形时，线段AE的长为或15；3作DHAB于H，如图2，那么AH=9，HE=AEAH=x9，在RtADE中，DE=，AGE=DAB，AEG=DEA，EAGEDA，EG：AE=AE：ED，即EG：x=x：，EG=，DG=DEEG=，DFAE，DGFEGA，DF：AE=DG：EG，即y：x=：，y=9x【点评】此题考查了四边形的综合题：熟练掌握梯形的性质等等腰三角形的性质；常把直角梯形化为一个直角三角形和一个矩形解决问题；会利用勾股定理和相似比计算线段的长；会运用分类讨论的思想解决数学问题32022江苏省宿迁如图，在矩形ABCD中，AD=4，点P是直线AD上一动点，假设满足PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，那么AB的长为4【分析】如图，当AB=AD时，满足PBC是等腰三角形的点P有且只有3个【解答】解：如图，当AB=AD时，满足PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，P1BC，P2BC是等腰直角三角形，P3BC是等腰直角三角形P3B=P3C，那么AB=AD=4，故答案为4【点评】此题考查矩形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，属于中考常考题型42022江苏省宿迁如图，BD是ABC的角平分线，点E、F分别在边AB、BC上，EDBC，EFAC求证：BE=CF【分析】先利用平行四边形性质证明DE=CF，再证明EB=ED，即可解决问题【解答】证明：EDBC，EFAC，四边形EFCD是平行四边形，DE=CF，BD平分ABC，EBD=DBC，DEBC，EDB=DBC，EBD=EDB，EB=ED，EB=CF【点评】此题考查平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用直线知识解决问题，属于根底题，中考常考题型52022江苏省宿迁ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2，D是边AB上一动点A、B两点除外，将CAD绕点C按逆时针方向旋转角得到CEF，其中点E是点A的对应点，点F是点D的对应点1如图1，当=90时，G是边AB上一点，且BG=AD，连接GF求证：GFAC；2如图2，当90180时，AE与DF相交于点M当点M与点C、D不重合时，连接CM，求CMD的度数；设D为边AB的中点，当从90变化到180时，求点M运动的路径长【分析】1欲证明GFAC，只要证明A=FGB即可解决问题2先证明A、D、M、C四点共圆，得到CMF=CAD=45，即可解决问题利用的结论可知，点M在以AC为直径的O上，运动路径是弧CD，利用弧长公式即可解决问题【解答】解：1如图1中，CA=CB，ACB=90，A=ABC=45，CEF是由CAD旋转逆时针得到，=90，CB与CE重合，CBE=A=45，ABF=ABC+CBF=90，BG=AD=BF，BGF=BFG=45，A=BGF=45，GFAC2如图2中，CA=CE，CD=CF，CAE=CEA，CDF=CFD，ACD=ECF，ACE=CDF，2CAE+ACE=180，2CDF+DCF=180，CAE=CDF，A、D、M、C四点共圆，CMF=CAD=45，如图3中，O是AC中点，连接OD、CMAD=DB，CA=CB，CDAB，ADC=90，由可知A、D、M、C四点共圆，当从90变化到180时，点M在以AC为直径的O上，运动路径是弧CD，OA=OC，CD=DA，DOAC，DOC=90，的长=当从90变化到180时，点M运动的路径长为【点评】此题考查几何变换综合题、等腰直角三角形的性质、平行线的判定和性质、弧长公式、四点共圆等知识，解题的关键是发现A、D、M、C四点共圆，最后一个问题的关键，正确探究出点M的运动路径，记住弧长公式，属于中考压轴题62022辽宁沈阳在ABC中，AB=6，AC=BC=5，将ABC绕点A按顺时针方向旋转，得到ADE，旋转角为0180，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，连接BD，BE1如图，当=60时，延长BE交AD于点F求证：ABD是等边三角形；求证：BFAD，AF=DF；请直接写出BE的长；2在旋转过程中，过点D作DG垂直于直线AB，垂足为点G，连接CE，当DAG=ACB，且线段DG与线段AE无公共点时，请直接写出BE+CE的值温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答【考点】三角形综合题【分析】1由旋转性质知AB=AD，BAD=60即可得证；由BA=BD、EA=ED根据中垂线性质即可得证；分别求出BF、EF的长即可得；2由ACB+BAC+ABC=180、DAG+DAE+BAE=180、DAG=ACB、DAE=BAC得BAE=BAC且AE=AC，根据三线合一可得CEAB、AC=5、AH=3，继而知CE=2CH=8、BE=5，即可得答案【解答】解：1ABC绕点A顺时针方向旋转60得到ADE，AB=AD，BAD=60，ABD是等边三角形；由得ABD是等边三角形，AB=BD，ABC绕点A顺时针方向旋转60得到ADE，AC=AE，BC=DE，又AC=BC，EA=ED，点B、E在AD的中垂线上，BE是AD的中垂线，点F在BE的延长线上，BFAD，AF=DF；由知BFAD，AF=DF，AF=DF=3，AE=AC=5，EF=4，在等边三角形ABD中，BF=ABsinBAF=6=3，BE=BFEF=34；2如下列图，DAG=ACB，DAE=BAC，ACB+BAC+ABC=DAG+DAE+ABC=180，又DAG+DAE+BAE=180，BAE=ABC，AC=BC=AE，BAC=ABC，BAE=BAC，ABCE，且CH=HE=CE，AC=BC，AH=BH=AB=3，那么CE=2CH=8，BE=5，BE+CE=13【点评】此题主要考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、中垂线的性质、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题的关键