2023版高考数学一轮复习选修4-4坐标系与参数方程2参数方程练习理北师大版.doc

2 参数方程
核心考点·精准研析
考点一　参数方程与普通方程的互化 
1.假设曲线C的参数方程为(θ为参数),求曲线C的方程.
2.在平面直角坐标系中,假设曲线C的参数方程为(t为参数),求曲线的普通方程.
3.将参数方程(t为参数)化为普通方程.
【解析】1.将曲线C的参数方程化为普通方程得x+2y-2=0(0≤x≤2,0≤y≤1).
2.依题意,消去参数可得x-2=y-1,
即x-y-1=0.
3.因为x=,
y==
=4-3×=4-3x.
又x=
=
=2-∈[0,2),
所以x∈[0,2),
所以所求的普通方程为3x+y-4=0(x∈[0,2)).
　将参数方程化为普通方程的方法
(1)将参数方程化为普通方程,需要根据参数方程的特征,选取适当的消参方法.常见的消参方法有:代入法、加减法、平方法等,对于含三角函数的参数方程,常利用同角三角函数关系式消参.
(2)将参数方程化为普通方程时,要注意原参数方程中自变量的取值范围,不要增解.
考点二　参数方程的应用 
【典例】(2023·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为 (θ为参数),直线l的参数方程为 (t为参数).
(1)求C和l的直角坐标方程.
(2)假设曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.
【解题导思】
序号
联想解题

(1)直线的参数方程化为普通方程时注意分类讨论
(2)直线的参数方程性质的应用
【解析】(1)曲线C的直角坐标方程为+=1.
当cos α≠0时,
l的直角坐标方程为y=tan α·x+2-tan α,
当cos α=0时,
l的直角坐标方程为x=1.
(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程,
整理得关于t的方程
(1+3cos2α)t2+4(2cos α+sin α)t-8=0.①
因为曲线C截直线l所得线段的中点恰为(1,2),
所以①有两个解,
设为t1,t2,那么t1+t2=0.
又由①得t1+t2=-,
故2cos α+sin α=0,
于是直线l的斜率k=tan α=-2.
1.直线的参数方程有多种形式,只有标准形式中的参数才具有几何意义,即参数t的绝对值表示对应的点到定点的距离.
2.根据直线的参数方程的标准形式中t的几何意义,有如下常用结论:
(1)假设直线与圆锥曲线相交,交点对应的参数分别为t1,t2,那么弦长l=|t1-t2|.
(2)假设定点M0(标准形式中的定点)是线段M1M2(点M1,M2对应的参数分别为t1,t2,下同)的中点,那么t1+t2=0.　
(3)设线段M1M2的中点为M,那么点M对应的参数为tM=.
设直线l的参数方程为(t为参数,α为倾斜角),圆C的参数方程为
(θ为参数).
(1)假设直线l经过圆C的圆心,求直线l的斜率.
(2)假设直线l与圆C交于两个不同的点,求直线l的斜率的取值范围.
【解析】(1)由得直线l经过的定点是P(3,4),而圆C的圆心是C(1,-1),
所以,当直线l经过圆C的圆心时,直线l的斜率k==.
(2)由圆C的参数方程(θ为参数),得圆C的圆心是C(1,-1),半径为2.
由直线l的参数方程(t为参数,α为倾斜角),得直线l的普通方程为y-4=k(x-3)(斜率存在),即kx-y+4-3k=0.
当直线l与圆C交于两个不同的点时,圆心到直线的距离小于圆的半径,即<2,解得k>.　
即直线l的斜率的取值范围为.
考点三　极坐标与参数方程的综合应用　 
命
题
精
解
读
1.考什么:(1)考查距离、弦长、位置关系、取值范围等问题.
(2)考查逻辑推理、数学运算等数学核心素养及数形结合、分类讨论等数学思想方法.
2.怎么考:与直线、圆、椭圆、三角函数等数学知识结合考查求弦长、距离、讨论位置关系等问题.
3.新趋势:以参数方程为载体,与其他数学知识交汇考查.
学
霸
好
方
法
取值范围问题的解题思路:
(1)求最值问题:结合直线与圆的关系,求圆上的点到直线的距离的最值,用圆心到直线的距离加减半径.
(2)求取值范围问题:根据极坐标与参数方程的关系,结合三角函数,根据三角函数的有界性求取值范围.
交点、距离、弦长问题
【典例】以平面直角坐标系的坐标原点O为极点,以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cos θ.
(1)求曲线C的直角坐标方程.
(2)设直线l与曲线C相交于A,B两点,求|AB|.
【解析】(1)由ρsin2θ=4cos θ,可得ρ2sin2θ=4ρcos θ,
所以曲线C的直角坐标方程为y2=4x.
(2)将直线l的参数方程代入y2=4x,
整理得4t2+8t-7=0,所以t1+t2=-2,t1t2=-,
所以|AB|==
=
==×
=×=.　　
曲线的位置关系
【典例】以极点为原点以极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρ=10,曲线C2的参数方程为(α为参数).
(1)判断两曲线C1和C2的位置关系.　
(2)假设直线l与曲线C1和C2均相切,求直线l的极坐标方程.
【解析】(1)由ρ=10得曲线C1的直角坐标方程为x2+y2=100,由
得曲线C2的普通方程为(x-3)2+(y+4)2=25.
曲线C1表示以(0,0)为圆心,10为半径的圆;
曲线C2表示以(3,-4)为圆心,5为半径的圆.
因为两圆心间的距离5等于两圆半径的差,所以圆C1和圆C2的位置关系是内切.
(2)由(1)建立方程组
解得可知两圆的切点坐标为(6,-8),且公切线的斜率为,所以直线l的直角坐标方程为y+8=(x-6),即3x-4y-50=0,
所以极坐标方程为3ρcos θ-4ρsin θ-50=0.
取值范围(最值)问题
【典例】(2023·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2ρcos θ+ρsin θ+11=0.
(1)求C和l的直角坐标方程;
(2)求C上的点到l距离的最小值.
【解析】(1)因为-1<≤1,且x2+=+=1,所以C的直角坐标方程为x2+=1(x≠-1).
l的直角坐标方程为2x+y+11=0.
(2)由(1)可设C的参数方程为
.
C上的点到l的距离为
=.
当α=-时,4cos+11取得最小值7,故C上的点到l距离的最小值为.
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