2022-2022学年高中数学课时分层作业14解三角形的实际应用举例北师大版必修5.doc

课时分层作业(十四)　解三角形的实际应用举例
(建议用时：60分钟)
一、选择题
1．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的(　　)
A．北偏东15°　　　 B．北偏西15°
C．北偏东10° D．北偏西10°
B　[如图所示，∠ACB＝90°，
又AC＝BC，
∴∠CBA＝45°，而β＝30°，
∴α＝90°－45°－30°＝15°，
∴点A在点B的北偏西15°．]
2．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A到C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西40°处，A，B两船的距离为3 km，则B到C的距离为(　　)
A．－1 B．(2－1)km
C．3 D．2
A　[由条件知，∠ACB＝80°＋40°＝120°，
设BC＝x km，
则由余弦定理知9＝x2＋4－4xcos 120°，
∵x＞0，∴x＝－1．]
3．如图所示，设A，B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是m米，∠BAC＝α，∠ACB＝β，则A，B两点间的距离为(　　)
A． B．
C． D．
C　[在△ABC中，∠ABC＝π－(α＋β)，AC＝m，
由正弦定理，得＝，
所以AB＝＝．]
4．一艘船上午9：30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30°的方向且与它相距8海里，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°的方向，此船的航速是(　　)
A．8(＋)海里/小时
B．8(－)海里/小时
C．16(＋)海里/小时
D．16(－)海里/小时
D　[由题意得在三角形SAB中，∠BAS＝30°，
∠SBA＝180°－75°＝105°，∠BSA＝45°．由正弦定理得＝，
即＝，得AB＝8(－)，因此此船的航速为＝16(－)(海里/小时)．]
5．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500 m，则电视塔在这次测量中的高度是(　　)
A．100 m B．400 m
C．200 m D．500 m
D　[设高AB＝h，在Rt△ABC中，由已知BC＝h，
在Rt△ABD中，由已知BD＝h，
在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos∠BCD得，3h2＝h2＋5002＋h·500，
解之得h＝500(m)．故选D．]
二、填空题
6．甲、乙两楼相距a，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是 ．
a，a　[甲楼的高为atan 60°＝a，
乙楼的高为a－atan 30°＝a－a＝a．]
7．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距 m．
10　[如图，OM＝AOtan 45°＝30(m)，
ON＝AOtan 30°＝×30＝10(m)，
在△MON中，由余弦定理得，
MN＝
＝＝10(m)．]
8．甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a海里的B处，乙船向正北行驶，若甲船是乙船速度的倍，甲船为了尽快追上乙船，则应取北偏东 (填角度)的方向前进．
30°　[设两船在C处相遇，则由题意∠ABC＝180°－60°＝120°，且＝，由正弦定理得＝＝⇒
sin∠BAC＝．
又0°＜∠BAC＜60°，所以∠BAC＝30°．]
三、解答题
9．如图所示，在高出地面30 m的小山顶上建造一座电视塔CD，今在距离B点60 m的地面上取一点A，若测得∠CAD＝45°，求此电视塔的高度．
[解]　设CD＝x m，∠BAC＝α，
则tan α＝＝，又∠DAB＝45°＋α，tan∠DAB＝＝，
又tan(α＋45°)＝＝3，
∴＝3，∴x＝150 m，即电视塔的高度为150 m．
10．一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行(2－2)n mile到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东15°的方向航行4 n mile到达海岛C．
(1)求AC的长；
(2)如果下次航行直接从A出发到达C，求∠CAB的大小．
[解]　(1)由题意，在△ABC中，
∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°，AB＝2－2，BC＝4，
根据余弦定理得，
AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos∠ABC
＝(2－2)2＋42＋(2－2)×4＝24，
所以AC＝2．
故AC的长为2n mile．
(2)根据正弦定理得，sin∠BAC＝＝．
所以∠CAB＝45°．
1．如图所示为起重机装置示意图．支杆BC＝10 m，吊杆AC＝15 m，吊索AB＝5 m，起吊的货物与岸的距离AD为(　　)
A．30 m　　　　 B． m
C．15 m D．45 m
B　[在△ABC中，cos∠ABC＝＝，
∠ABC∈(0°，180°)，
∴sin∠ABC＝＝，
∴在Rt△ABD中，
AD＝AB·sin∠ABC＝5×＝．]
2．如图，某山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚B处看索道AC，发现张角∠ABC＝120°，从B处攀登400米后到达D处，再看索道AC，发现张角∠ADC＝150°，从D处再攀登800米方到达C处，则索道AC的长为(　　)
A．100米 B．200米
C．300米 D．400米
D　[在△ABD中，BD＝400，∠ABD＝120°，因为∠ADB＝180°－∠ADC＝30°，所以∠DAB＝30°，所以AB＝BD＝400，AD＝＝400．在△ADC中，DC＝800，∠ADC＝150°，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠ADC＝(400)2＋8002－2×400×800×cos150°＝4002×13，所以AC＝400，故索道AC的长为400米．]
3．一海轮以20 n mile/h的速度向正东方向航行，它在A点测得灯塔P在船的北偏东60°方向上，2 h后船到达B点时，测得灯塔P在船的北偏东45°方向上，则B点到灯塔P的距离为 n mile．
20(＋)　[由题可知，在△ABP中，AB＝40，∠PAB＝30°，
∠ABP＝135°，
∴∠BPA＝15°，
由正弦定理得＝，
∴BP＝＝＝20(＋)(n mile)．]
4．如图所示，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为 海里/时．
　[由题可知PM＝68，∠MPN＝120°，N＝45°，
由正弦定理＝得MN＝68××＝34．
∴速度v＝＝(海里/时)．]
5．如图，一辆汽车从O点出发，沿海岸一条直线公路以100 km/h的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在O点南偏东方向距O点500 km且距海岸距离为300 km的海上M处有一快艇，与汽车同时出发，要把一件重要的物品递送给这辆汽车的司机，问快艇至少必须以多大的速度行驶，才能把物品递送到司机手中？并求快艇以最小速度行驶时方向与OM所成的角．
[解]　如图所示，
设快艇从M处以v km/h的速度出发， 沿MN方向航行，t h后与汽车在N点相遇，在△MON中，MO＝500，ON＝100t，MN＝vt．设∠MON＝α，由题意知，sin α＝，则cos α＝，
由余弦定理知MN2＝OM2＋ON2－
2·OM·ON·cos α，
即v2t2＝5002＋1002t2－2×500×100t×，
整理得，v2＝＋3 600，
当＝，即t＝时，v＝3 600，
∴vmin＝60．
即快艇至少必须以60 km/h的速度行驶，此时MN＝60×＝375．
∵MQ＝300，
设∠MNO＝β，则sin β＝＝，
∴α＋β＝90°，即MN与OM所成的角为90°．