2023版高考数学一轮复习第八章数列8.5.1等差与等比数列的综合问题练习理北师大版.doc

8.5.1 等差与等比数列的综合问题
核心考点·精准研析
考点一　基本量的运算 
1.等差数列的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则前6项的和为 (　　)
A.-24 B.-3 C.3 D.8
2.已知{an}是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn,若a3,a4,a8成等比数列,则 (　　)
A.a1d>0,dS4>0 B.a1d<0,dS4<0
C.a1d>0,dS4<0 D.a1d<0,dS4>0
3.(2019·江苏高考)已知数列{an}(n∈N*)是等差数列,Sn是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是__ 
4.设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2,a5,a11成等比数列,且a11=2(Sm-Sn)(m>n>0,m,n∈N*),则m+n=________.
【解析】1.选A.设等差数列的公差为d,由a2,a3,a6成等比数列可得=a2a6,即(1+2d)2=(1+d)(1+5d),整理可得d2+2d=0,又公差不为0,则d=-2,故{an}前6项的和为S6=6a1+d=6×1+×(-2)=-24.
2.选B.因为数列{an}是等差数列,a3,a4,a8成等比数列,
所以=,
解得a1=-d,
所以S4=2=2=-d,
所以a1d=-d2<0,dS4=-d2<0.
3.设等差数列的首项为a1,公差为d,
由a2a5+a8=0,S9=27,
得解得a1=-5,d=2,
所以S8==4(2a1+7d)=16.
答案:16
4.设公差为d,则=a2a11⇒(a1+4d)2=(a1+d)(a1+10d)(d≠0),整理得a1=2d,由a11=2(Sm-Sn),可得a1+10d=2 ,
化简得(m2-n2)+3(m-n)=12,
即(m-n)(m+n+3)=12,因为m>n>0,m,n∈N*,
所以m=5,n=4,所以m+n=9.
答案:9
已知等比数列{an}的各项都为正数,且a3,a5,a4成等差数列,则的值是
(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
【解析】选A.设等比数列{an}的公比为q,由a3,a5,a4成等差数列,可得a5=a3+a4,即a3q2=a3+a3q,故q2-q-1=0,解得q=或q=(舍去),=
=====.
等差数列、等比数列基本量的运算方法
(1)等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程(组)问题.
(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用,而a1和d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法.
考点二　等差、等比数列的综合应用 

【典例】设数列{an}(n=1,2,3,…)的前n项和Sn满足Sn=2an-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)记数列的前n项和为Tn,求使得|Tn-1|<成立的n的最小值.
【解题导思】
序号
题目拆解
(1)
①Sn=2an-a1
将Sn=2an-a1利用an=Sn-Sn-1转化为an与an-1的关系,由Sn=2an-a1,将a2、a3用a1表示
②a1,a2+1,a3成等差数列
根据关系列方程,得a1
(2)
①记数列的前n项和为Tn
由(1)写出的表达式,表示出Tn
②求使得|Tn-1|<成立的n的最小值
由|Tn-1|<解关于n的不等式
【解析】(1)由已知Sn=2an-a1,有
an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n≥2),
即an=2an-1(n≥2).所以公比q=2.
从而a2=2a1,a3=2a2=4a1.
又因为a1,a2+1,a3成等差数列,即a1+a3=2(a2+1).
所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2.所以,数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列故,an=2n.
(2)由(1)得=.所以Tn=++…+==1-.由|Tn-1|<,得<,即2n>1 000.
因为29=512<1 000<1 024=210,所以n≥10.
于是,使|Tn1|<成立的n的最小值为10.
等差数列、等比数列综合问题的两大解题策略
(1)设置中间问题:求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等,确定解题的顺序.
(2)注意解题细节:在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等,这些细节对解题的影响也是巨大的.
　【误区警示】在不能使用同一公式进行计算的情况下要注意分类讨论,分类解决问题后还要注意结论的整合.
【变式备选】
已知等差数列{an}的各项均为正数,a1=1,
前n项和为Sn,数列{bn}为等比数列,b1=1,且b2S2=6,b2+S3=8.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式.
(2)求…+.
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d, d>0,{bn}的公比为q,则an=1+(n-1)d,bn=qn-1.
依题意有
解得或(舍去).
故an=n,bn=2n-1.
(2)由(1)知Sn=1+2+…+n=n(n+1),
所以==2,所以++…+
=2
=2=.
已知公比不为1的等比数列{an}的首项a1=,前n项和为Sn,且a4+S4,a5+S5,a6+S6成等差数列.
(1)求等比数列{an}的通项公式.
(2)对n∈N*,在an与an+1之间插入3n个数,使这3n+2个数成等差数列,记插入的这3n个数的和为bn,求数列{bn}的前n项和Tn.
解析】(1)设等比数列{an}的公比为q,a4+S4,a5+S5,a6+S6成等差数列,
所以a5+S5-a4-S4=a6+S6-a5-S5,
即2a6-3a5+a4=0,所以2q2-3q+1=0.
因为q≠1,所以q=,
所以等比数列{an}的通项公式为an=.
(2)由题意得bn=·3n=·,
Tn=·=.
考点三　求数列的通项公式 
命
题
精
解
读
1.考什么:数列的通项公式
2.怎么考:(1)由an与Sn的关系求通项an
(2)由递推公式求通项an
(3)构造新数列求an
3.新趋势:以数列为载体,与函数或不等式等综合考查
学
霸
好
方
法
1.求数列的通项公式an
(1)形如an+1=an+f(n)的数列,常用累加法
(2)形如an+1=anf(n)的数列,常可采用累乘法
(3)形如an+1=ban+d(其中b,d为常数,b≠0,1)的数列,常用构造法
2.交汇问题
与函数或不等式等交汇时,经常先构造出新的等差或等比数列求解,然后再求an
由an与Sn的关系求通项an
【典例】(2018·全国卷Ⅰ改编)记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1,则an=________. 
【解析】因为Sn=2an+1,当n≥2时,Sn-1=2an-1+1,
所以an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an=2an-1.
当n=1时,a1=S1=2a1+1,得a1=-1.
所以数列{an}是首项a1为-1,公比q为2的等比数列,所以an=-1×2n-1=-2n-1.
答案:-2n-1
Sn与an关系问题的求解思路如何?
提示:根据所求结果的不同要求,将问题向不同的两个方向转化.
①利用an=Sn-Sn-1(n≥2)转化为只含Sn,Sn-1的关系式
②利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为只含an,an-1的关系式
由递推公式求数列通项
【典例】1.设数列{an}满足a1=3,an+1=an+,则通项公式an=________. 
【解析】原递推公式可化为an+1=an+-
则a2=a1+-,a3=a2+-,a4=a3+-,…,an-1=an-2+-,an=an-1+-,以上(n-1)个式子的等号两端分别相加得,an=a1+1-,故an=4-.
答案:4-
2.在数列{an}中,a1=1,an=an-1(n≥2),则数列{an}的通项公式为________.
【解析】因为an=an-1(n≥2),
所以an-1=an-2,an-2=an-3,…,a2=a1.
以上(n-1)个式子相乘得an=a1···…·==.
当n=1时,a1=1,上式也成立.
所以an=(n∈N*).
答案:an=(n∈N*)
(1)形如an+1=an+f(n)的数列选择何种方法求通项公式?
提示:累加法
(2)形如an+1=anf(n)的数列,选择何种方法求通项公式?
提示:累乘法
【误区警示】
利用累乘法求通项公式时,易出现两个方面的问题:一是在连乘的式子中只写到,漏掉a1而导致错误;二是根据连乘求出an之后,不注意检验a1是否成立.
构造等差、等比数列求通项an
【典例】1.已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+2,则数列{an}的通项公式为____________. 
【解析】因为an+1=3an+2,所以an+1+1=3(an+1),
所以=3,
所以数列{an+1}为等比数列,公比q=3,又a1+1=2,
所以an+1=2·3n-1,所以an=2·3n-1-1(n∈N*).
答案:an=2·3n-1-1(n∈N*)
2.已知数列{an}满足:an+2=3an+1-2an,a1=2,a2=4,n∈N*.
求证:数列{an+1-an}为等比数列,并求数列{an}的通项公式.
【解析】因为==2,
所以数列{an+1-an}是公比为2,首项为2的等比数列,
所以an+1-an=2n,
累加可知:an-a1=2+22+…+2n-1=2n-2(n≥2),
an=2n(n≥2),当n=1时,a1=2满足上式,
所以an=2n(n∈N*).
1.数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,an1=3Sn(n≥1),则a6= (　　)
A.3×44 B.3×44+1
C.45 D.45+1
【解析】选A.a1=1,a2=3S1=3,a3=3S2=12=3×41,a4=3S3=48=3×42,a5=3S4=192=3×43,a6=3S5=768=3×44.
【一题多解】选A.当n≥1时,an+1=3Sn,则an+2=3Sn+1,
所以an+2-an+1=3Sn+1-3Sn=3an+1,即an+2=4an+1,
所以该数列从第2项开始是以4为公比的等比数列,又a2=3S1=3a1=3,
所以an=
所以当n=6时,a6=3×46-2=3×44.
2.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn= (　　)
A.2n-1 B.
C. D.
【解析】选B.由已知Sn=2an+1得Sn=2(Sn+1-Sn),即2Sn+1=3Sn,=,而S1=a1=1,所以Sn=.
3.设数列{an}满足a1=1,且an+1=an+n+1(n∈N*),则数列{an}的通项公式为________. 
【解析】由题意得a2=a1+2,a3=a2+3,…,an=an-1+n(n≥2),以上各式相加,得an=a1+2+3+…+n.又因为a1=1,所以an=1+2+3+…+n=(n≥2),因为当n=1时也满足上式,所以an=(n∈N*).
答案:an=
4.设数列{an}满足a1=1,an+1=2nan,则通项公式an=________. 
【解析】由an+1=2nan,得=2n-1(n≥2),
所以an=··…··a1
=2n-1·2n-2·…·2·1=21+2+3+…+(n-1)=.
又a1=1适合上式,故an=.
答案:
1.在数列{an}中,a1=3,且点Pn(an,an+1)(n∈N*)在直线4x-y+1=0上,求数列{an}的通项公式.
【解析】因为点Pn(an,an+1)(n∈N*)在直线4x-y+1=0上,
所以4an-an+1+1=0,即an+1=4an+1,
得an+1+=4,
所以是首项为a1+=,公比为4的等比数列,所以an+=·4n-1,故an=·4n-1-.
【变式备选】
在数列{an}中,a1=1,数列{an+1-3an}是首项为9,公比为3的等比数列.
(1)求a2,a3.
(2)求数列的前n项和Sn.
【解析】(1)因为数列{an+1-3an}是首项为9,公比为3的等比数列,
所以an+1-3an=9×3n-1=3n+1,
所以a2-3a1=9,a3-3a2=27,所以a2=12,a3=63.
(2)因为an+1-3an=3n+1,所以-=1,
所以数列是首项为,公差为1的等差数列,
所以数列的前n项和Sn=+=.
2设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,a2=2,且an+2=3Sn-Sn+1+3,n∈N*.
(1)证明:an+2=3an.
(2)求S2n.
【解析】(1)由条件,对任意n∈N*,有
an+2=3Sn-Sn+1+3,
则对任意n∈N*,n≥2,有an+1=3Sn-1-Sn+3.
两式相减,得an+2-an+1=3an-an+1,
即an+2=3an,n≥2,
又a1=1,a2=2,所以a3=3S1-S2+3=3a1-(a1+a2)+3=3a1.故对一切n∈N*,an+2=3an.
(2)由(1)知,an≠0,所以=3.
于是数列{a2n-1}是首项a1=1,公比为3的等比数列;数列{a2n}是首项a2=2,公比为3的等比数列.
因此a2n-1=3n-1,a2n=2×3n-1.
于是S2n=a1+a2+…+a2n
=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)
=(1+3+…+3n-1)+2×(1+3+…+3n-1)
=3×(1+3+…+3n-1)= .