2023版高考数学一轮复习第七章算法复数推理与证明7.3合情推理与演绎推理练习理北师大版.doc

7.3 合情推理与演绎推理
核心考点·精准研析
考点一　类比推理 
1.运用祖暅原理计算球的体积时,构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱,与半球(如图一)放置在同一平面上,然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点,圆柱上底面为底面的圆锥(如图二),用任何一个平行于底面的平面去截它们时,可证得所截得的两个截面面积相等,由此证明该几何体与半球体积相等.现将椭圆+=1绕y轴旋转一周后得一橄榄状的几何体(如图三),类比上述方法,运用祖暅原理可求得其体积等于 (　　)
A.4π　B.8π　C.16π　D.32π
2.我们知道:在平面内,点(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式d通过类比的方法,可求得:在空间中,点(2,4,1)到直线x+2y+2z+3=0的距离为
(　　)
A.3　　 B.5 C. D.3
【解析】1.选C.构造一个底面半径为2,高为3的圆柱,在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点的圆锥,
那么当截面与底面距离为h(0≤h≤3)时,小圆锥的底面半径为r,那么=,所以r=h,故截面面积为4π-,
把y=h代入椭圆+=1可得x=±,
所以橄榄球形几何体的截面面积为πx2=4π-,
由祖暅原理可得橄榄球形几何体的体积V=2(V圆柱-V圆锥)=
2=16π.
2.选B.类比平面内点到直线的距离公式,可得空间中点(x0,y0,z0)到直线Ax+By+Cz+D=0的距离公式为
d=,那么所求距离d==5.
　类比推理的分类
考点二　演绎推理 
【典例】数列{an}中,a1=1,an+1=(n∈N+).
(1)求a2,a3,a4的值,猜测数列{an}的通项公式.
(2)运用(1)中的猜测,证明数列是等差数列,并注明大前提、小前提和结论.
【解题导思】
序号
题目拆解
(1)
猜测数列的通项公式
根据a2,a3,a4的结构特征归纳猜测
(2)
证明数列是等差数列
证明-=常数
【解析】(1)因为数列{an}中,a1=1,an+1=,
a2=,a3=,a4=,猜测:an=.
(2)因为通项公式为an的数列{an},假设an+1-an=d,d是常数,那么{an}是等差数列,…大前提
又因为-=,为常数;…小前提
所以数列是等差数列.…结论
　演绎推理的推证规那么
　(1)演绎推理是从一般到特殊的推理,其一般形式是三段论,应用三段论解决问题时,应当首先明确什么是大前提和小前提,如果前提是显然的,那么可以省略.
(2)在推理论证过程中,一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成.
　设数列{an}的前n项和为Sn,且满足an=2-Sn(n∈N*).
(1)求a1,a2,a3,a4的值并写出其通项公式.
(2)用三段论证明数列{an}是等比数列.
【解析】(1)由an2-Sn,
当n=1时,a1=2-S1=2-a1,解得a1=1,
当n=2时,a2=2-S2=2-a1-a2,解得a2=,
当n=3时,a3=2-S3=2-a1-a2-a3,解得a3=,
当n=4时,a4=2-S4=2-a1-a2-a3-a4,解得a4=,
…由此归纳推理得an=(n∈N*).
(2)因为通项公式为an的数列{an},
假设=p,p是非零常数,那么{an}是等比数列;
因为通项公式an=,又=;
所以通项公式an=的数列{an}是等比数列.
考点三　归纳推理 
命
题
精
解
读
1.考什么:(1)考查数学定义、等式、不等式的证明.
(2)考查逻辑推理的核心素养.
2.怎么考:与数列、根本初等函数结合考查数学概念、数列相关的等式、不等式的证明.
3.新趋势:与三角、统计等知识点的交汇问题.
学
霸
好
方
法
1.数字排列问题的解题方法:先从行的规律归纳开头与末尾的数与所在行的关系式,再从列的规律归纳数与所在列的关系式,最后归纳表中各个数与行列的关系式
2.与式子有关的推理
(1)与不等式有关的归纳推理:观察所给几个不等式两边式子的特点,注意纵向看、找出隐含规律.
(2)与数列有关的归纳推理:通常是先求出几个特殊项,采用不完全归纳法,找出数列的项与项数的关系,列出式子即可.
3.图形问题的解法:与图形变化有关的归纳推理,合理利用特殊图形归纳推理得出结论,并用赋值检验法验证其真伪性.
与数字有关的归纳推理
【典例】(2023·宜昌模拟)大衍数列,源于?乾坤谱?中对易传“大衍之数五十〞的推论,揭示了中国传统文化中的太极衍生原理(其衍生过程如下图).大衍数列的前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,那么此数列第25项与第26项之和为 (　　)
A.600　　 B.650　　 C.700　　 D.750
【解析】选B.0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,60,72,84,98,112,128,144,162,
180,200,220,242,264,288,312,338,故此数列第25项与第26项之和为312+338=650.
与式子有关的归纳推理
【典例】(2023·武汉模拟)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,……,第n个三角形数为=n2+n,记第n个k边形数为N(n,k)(k≥3),以以下出了局部k边形数中第n个数的表达式:
三角形数N(n,3)=n2+n
正方形数N(n,4)=n2
五边形数N(n,5)=n2-n
六边形数N(n,6)=2n2-n
可以推测N(n,k)=________________,由此计算N(5,12)=________________.
【解析】原式子可化为:
N(n,3)=n2+n=n2+n;
N(n,4)=n2=n2+n;
N(n,5)=n2-n=n2+n;
N(n,6)=2n2-n=n2+n;
可推测N(n,k)=n2+n,
故N(5,12)=5×52-4×5=105.
答案:n2+n　105
与图形有关的归纳推理
【典例】(2023·衡水模拟)如图,第(1)个多边形是由正三角形“扩展“而来,第(2)个多边形是由正方形“扩展〞而来,……,如此类推.设由正n边形“扩展〞而来的多边形的边数为an,那么+++…+= (　　)
A. B. C. D.
【解析】选A.a3=12,a4=20,a5=30,猜测an=n(n+1)(n≥3,n∈N*),所以==-,
所以+++…+=+++…+=-=.
1.(2023·山东省实验中学模拟)观察以下式子,ln 2>,ln 3>+,ln 4>++,……,根据上述规律,第n个不等式应该为________________. 
【解析】根据题意,对于第一个不等式,ln 2>,那么有ln(1+1)>,
对于第二个不等式,ln 3>+,那么有ln(2+1)>+,
对于第三个不等式,ln 4>++,那么有ln(3+1)>++,
以此类推:
第n个不等式为:ln(n+1)>++…+.
答案:ln(n+1)>++…+
2.(2023·西北工业大学附中模拟)将全体正整数排成一个三角形数阵:按照以下排列的规律,第n行(n≥3)从左向右的第3个数为________________. 
1
2　3
4　5　6
7　8　9　10
……
【解析】第n-1行最后一个数是1+2+3+…+(n-1)=,第n(n≥3)行从左至右的第3个数是
+3=.
答案:
如图,将平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规那么标上数字标签:原点处标0,点(1,0)处标1,点(1,-1)处标2,点(0,-1)处标3,点(-1,-1)处标4,点(-1,0)处标5,点(-1,1)处标6,点(0,1)处标7,…,以此类推,那么格点坐标(22,23)的标签为 (　　)
A.2 109 B.2 107 C.2 207 D.2 209
【解析】选C.观察图像得点(1,0)处标1,即12,点(2,1)处标9,即32,点(3,2)处标25,即52,归纳点(n+1,n)处标(2n+1)2,那么格点坐标(24,23)的标签为(2×23+1)2=2 209,又点(22,23)在点(24,23)左边两格,即格点坐标(22,23)的标签为2 207.
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