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3.1 函数与方程
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课程目标
学习脉络
1.理解函数零点的定义，会求函数的零点．
2．掌握函数零点的判定方法．
3．理解函数的零点与方程的根的联系.
方程的根与函数的零点
名师点拨1.函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也是函数的图象与x轴交点的横坐标．
2．对零点存在定理的理解
(1)当函数y＝f(x)同时满足：①函数的图象在闭区间[a，b]上是连续曲线；②f(a)·f(b)＜0，则可以判断函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，但是不能明确说明有几个零点．
(2)当函数y＝f(x)的图象在闭区间[a，b]上不是连续曲
2、线，或不满足f(a)·f(b)＜0时，函数y＝f(x)在区间[a，b]内可能存在零点，也可能不存在零点．
例如，二次函数f(x)＝x2－2x－3在区间[3,4]上有f(3)＝0，f(4)＞0，所以f(3)·f(4)＝0，但x＝3是函数f(x)的一个零点．
函数f(x)＝x2，在区间[－1,1]上，f(－1)·f(1)＝1＞0，但是它存在零点0.
函数f(x)＝在区间[－1,1]上，有f(－1)·f(1)＜0，但是由其图象知函数f(x)在区间(－1,1)内无零点．
自主思考1函数的零点是一个点吗？
提示：函数的零点是一个实数而非一个点，是函数图象与x轴交点的横坐标，当自变量取该值时，其函数值等于0.
自主思考2根据函数零点的定义及函数零点与方程根的关系，有哪些方法可以判断函数存在零点？
提示：判断函数y＝f(x)是否存在零点的方法：
(1)方程法：判断方程f(x)＝0是否有实数解．
(2)图象法：判断函数y＝f(x)的图象与x轴是否有交点．
(3)定理法：利用零点的判定定理来判断．
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