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2022年青海省西宁市中考数学试卷
一、选择题〔本大题共10小题，每题3分，共30分〕
1．〔3分〕在以下各数中，比﹣1小的数是〔　　〕
A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．0
2．〔3分〕以下计算正确的选项是〔　　〕
A．3m﹣m=2 B．m4÷m3=m C．〔﹣m2〕3=m6 D．﹣〔m﹣n〕=m+n
3．〔3分〕以下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是〔　　〕
A．等边三角形 B．平行四边形 C．正六边形 D．圆
4．〔3分〕以下调查中，适合采用全面调查〔普查〕方式的是〔　　〕
A．了解西宁电视台“教育在线〞栏目的收视率
B．了解青海湖斑头雁种群数量
C．了解全国快递包裹产生包装垃圾的数量
D．了解某班同学“跳绳〞的成绩
5．〔3分〕不等式组的解集在数轴上表示正确的选项是〔　　〕
A． B． C． D．
6．〔3分〕在平面直角坐标系中，将点A〔﹣1，﹣2〕向右平移3个单位长度得到点B，那么点B关于x轴的对称点B′的坐标为〔　　〕
A．〔﹣3，﹣2〕 B．〔2，2〕 C．〔﹣2，2〕 D．〔2，﹣2〕
7．〔3分〕如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，假设OM=3，BC=10，那么OB的长为〔　　〕
A．5 B．4 C． D．
8．〔3分〕如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，那么CD的长为〔　　〕
A． B．2 C．2 D．8
9．〔3分〕西宁市创立全国文明城市已经进入倒计时！某环卫公司为清理卫生死角内的垃圾，调用甲车3小时只清理了一半垃圾，为了加快进度，再调用乙车，两车合作1.2小时清理完另一半垃圾．设乙车单独清理全部垃圾的时间为x小时，根据题意可列出方程为〔　　〕
A．+=1 B．+= C．+= D．+=1
10．〔3分〕如图，在正方形ABCD中，AB=3cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动，同时点N自D点出发沿折线DC﹣CB以每秒2cm的速度运动，到达B点时运动同时停止，设△AMN的面积为y〔cm2〕，运动时间为x〔秒〕，那么以下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是〔　　〕
A． B． C． D．
二、填空题〔本大题共10小题，每题2分，共20分〕
11．〔2分〕x2y是次单项式．
12．〔2分〕市民惊叹西宁绿化颜值暴涨，2022年西宁市投资25160000元实施生态造林绿化工程建设工程，将25160000用科学记数法表示为．
13．〔2分〕假设一个正多边形的一个外角是40°，那么这个正多边形的边数是．
14．〔2分〕计算：〔2﹣2〕2=．
15．〔2分〕假设x1，x2是一元二次方程x2+3x﹣5=0的两个根，那么x12x2+x1x22的值是．
16．〔2分〕圆锥的主视图是边长为4cm的等边三角形，那么该圆锥侧面展开图的面积是cm2．
17．〔2分〕如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在BC的延长线上，假设∠BOD=120°，那么∠DCE=．
18．〔2分〕如图，点A在双曲线y=〔x＞0〕上，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，OA的垂直平分线交OC于点B，当AC=1时，△ABC的周长为．
19．〔2分〕假设点A〔m，n〕在直线y=kx〔k≠0〕上，当﹣1≤m≤1时，﹣1≤n≤1，那么这条直线的函数解析式为．
20．〔2分〕如图，将▱ABCD沿EF对折，使点A落在点C处，假设∠A=60°，AD=4，AB=6，那么AE的长为．
三、解答题〔本大题共8小题，共70分〕
21．〔7分〕计算：﹣22+〔﹣π〕0+|1﹣2sin60°|
22．〔7分〕先化简，再求值：〔﹣m﹣n〕÷m2，其中m﹣n=．
23．〔8分〕如图，四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，O是AC的中点，AD∥BC，AC=8，BD=6，．
〔1〕求证：四边形ABCD是平行四边形；
〔2〕假设AC⊥BD，求▱ABCD的面积．
24．〔8分〕如图，建设“幸福西宁〞，打造“绿色开展样板城市〞．美丽的湟水河宛如一条玉带穿城而过，已形成“水清、流畅、岸绿、景美〞的生态环境新格局．在数学课外实践活动中，小亮在海湖新区自行车绿道北段AC上的A，B两点分别对南岸的体育中心D进行测量，分别测得∠DAC=30°，∠DBC=60°，AB=200米，求体育中心D到湟水河北岸AC的距离约为多少米〔精确到1米，≈1.732〕
25．〔8分〕西宁市教育局在局属各初中学校设立“自主学习日〞，规定每周三学校不得以任何形式布置家庭作业，为了解各学校的落实情况，从七、八年级学生中随机抽取了局部学生的反响表，针对以下六个工程〔每人只能选一项〕：A．课外阅读；B．家务劳动；C．体育锻炼；D．学科学习；E．社会实践；F．其他工程进行调查，根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图，请你根据统计图解答以下问题：
〔1〕此次抽查的样本容量为，请补全条形统计图；
〔2〕全市约有4万名在校初中学生，试估计全市学生中选择体育锻炼的人数约有多少人
〔3〕七年级〔1〕班从选择社会实践的2名女生和1名男生中选派2名参加校级社会实践活动，请你用树状图或列表法求出恰好选到1男1女的概率是多少并列举出所有等可能的结果．
26．〔10分〕如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，交AB延长线于点F．
〔1〕求证：DE⊥AC；
〔2〕假设AB=10，AE=8，求BF的长．
27．〔10分〕首条贯穿丝绸之路经济带的高铁线﹣﹣宝兰客专进入全线拉通试验阶段，宝兰客专的通车对加快西北地区与“一带一路〞沿线国家和地区的经贸合作、人文交流具有十分重要的意义，试运行期间，一列动车从西安开往西宁，一列普通列车从西宁开往西安，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为x〔小时〕，两车之间的距离为y〔千米〕，图中的折线表示y与x之间的函数关系，根据图象进行一下探究：
【信息读取】
〔1〕西宁到西安两地相距千米，两车出发后小时相遇；
〔2〕普通列车到达终点共需小时，普通列车的速度是千米/小时．
【解决问题】
〔3〕求动车的速度；
〔4〕普通列车行驶t小时后，动车到达终点西宁，求此时普通列车还需行驶多少千米到达西安
28．〔12分〕如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=4，OC=3，假设抛物线经过O，A两点，且顶点在BC边上，对称轴交BE于点F，点D，E的坐标分别为〔3，0〕，〔0，1〕．
〔1〕求抛物线的解析式；
〔2〕猜想△EDB的形状并加以证明；
〔3〕点M在对称轴右侧的抛物线上，点N在x轴上，请问是否存在以点A，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形假设存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；假设不存在，请说明理由．
2022年青海省西宁市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题〔本大题共10小题，每题3分，共30分〕
1．〔3分〕〔2022•西宁〕在以下各数中，比﹣1小的数是〔　　〕
A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．0
【分析】有理数大小比较的法那么：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【解答】解：根据有理数比较大小的方法，可得
﹣2＜﹣1＜0＜1，
所以各数中，比﹣1小的数是﹣2．
应选：C．
【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
2．〔3分〕〔2022•西宁〕以下计算正确的选项是〔　　〕
A．3m﹣m=2 B．m4÷m3=m C．〔﹣m2〕3=m6 D．﹣〔m﹣n〕=m+n
【分析】根据合并同类项、同底数幂的除法以及幂的乘方和去括号的知识进行判断即可．
解答】解：A、3m﹣m=2m，此选项错误；
B、m4÷m3=m，此选项正确；
C、〔﹣m2〕3=﹣m6，此选项错误；
D、﹣〔m﹣n〕=n﹣m，此选项错误；
应选B．
【点评】此题主要考查了合并同类项、同底数幂的除法以及幂的乘方和去括号的知识，解题的关键是掌握运算法那么，此题难度不大．
3．〔3分〕〔2022•西宁〕以下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是〔　　〕
A．等边三角形 B．平行四边形 C．正六边形 D．圆
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，不合题意；．
应选：A．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两局部折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两局部重合．
4．〔3分〕〔2022•西宁〕以下调查中，适合采用全面调查〔普查〕方式的是〔　　〕
A．了解西宁电视台“教育在线〞栏目的收视率
B．了解青海湖斑头雁种群数量
C．了解全国快递包裹产生包装垃圾的数量
D．了解某班同学“跳绳〞的成绩
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【解答】解：A、对西宁电视台“教育在线〞栏目的收视率情况的调查，适合抽样调查，故A选项错误；
B、对青海湖斑头雁种群数量情况的调查，适合抽样调查，故B选项错误；
C、对全国快递包裹产生包装垃圾的数量情况的调查，适于抽样调查，故C选项错误；
D、对某班同学“跳绳〞的成绩情况的调查，适合全面调查，故D选项正确．
应选：D．
【点评】此题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
5．〔3分〕〔2022•西宁〕不等式组的解集在数轴上表示正确的选项是〔　　〕
A． B． C． D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式﹣2x+1＜3，得：x＞﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1＜x≤1，
应选：B．
【点评】此题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是根底，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到〞的原那么是解答此题的关键．
6．〔3分〕〔2022•西宁〕在平面直角坐标系中，将点A〔﹣1，﹣2〕向右平移3个单位长度得到点B那么点B关于x轴的对称点B′的坐标为〔　　〕
A．〔﹣3，﹣2〕 B．〔2，2〕 C．〔﹣2，2〕 D．〔2，﹣2〕
【分析】首先根据横坐标右移加，左移减可得B点坐标，然后再根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标符号改变可得答案．
【解答】解：点A〔﹣1，﹣2〕向右平移3个单位长度得到的B的坐标为〔﹣1+3，﹣2〕，即〔2，﹣2〕，
那么点B关于x轴的对称点B′的坐标是〔2，2〕，
应选：B．
【点评】此题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，以及关于x轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标变化规律．
7．〔3分〕〔2022•西宁〕如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，假设OM=3，BC=10，那么OB的长为〔　　〕
A．5 B．4 C． D．
【分析】OM是△ADC的中位线，再结合条件那么DC的长可求出，所以利用勾股定理可求出AC的长，由直角三角形斜边上中线的性质那么BO的长即可求出．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，
∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB，
∴OM是△ADC的中位线，
∵OM=3，
∴DC=6，
∵AD=BC=10，
∴AC==2，
∴BO=AC=，
应选D．
【点评】此题考查了矩形的性质，勾股定理的运用，直角三角形斜边上中线的性质以及三角形的中位线的应用，解此题的关键是求出AC的长．
8．〔3分〕〔2022•西宁〕如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，那么CD的长为〔　　〕
A． B．2 C．2 D．8
【分析】作OH⊥CD于H，连结OC，如图，根据垂径定理由OH⊥CD得到HC=HD，再利用AP=2，BP=6可计算出半径OA=4，那么OP=OA﹣AP=2，接着在Rt△OPH中根据含30度的直角三角形的性质计算出OH=OP=1，然后在Rt△OHC中利用勾股定理计算出CH=，所以CD=2CH=2．
【解答】解：作OH⊥CD于H，连结OC，如图，
∵OH⊥CD，
∴HC=HD，
∵AP=2，BP=6，
∴AB=8，
∴OA=4，
∴OP=OA﹣AP=2，
在Rt△OPH中，∵∠OPH=30°，
∴∠POH=30°，
∴OH=OP=1，
在Rt△OHC中，∵OC=4，OH=1，
∴CH==，
∴CD=2CH=2．
应选C．
【点评】此题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理以及含30度的直角三角形的性质．
9．〔3分〕〔2022•西宁〕西宁市创立全国文明城市已经进入倒计时！某环卫公司为清理卫生死角内的垃圾，调用甲车3小时只清理了一半垃圾，为了加快进度，再调用乙车，两车合作1.2小时清理完另一半垃圾．设乙车单独清理全部垃圾的时间为x小时，根据题意可列出方程为〔　　〕
A．+=1 B．+= C．+= D．+=1
【分析】根据题意可以得到甲乙两车的工作效率，从而可以得到相应的方程，此题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
，
应选B．
【点评】此题考查由实际问题抽象出分式方程，解答此题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．
10．〔3分〕〔2022•西宁〕如图，在正方形ABCD中，AB=3cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动，同时点N自D点出发沿折线DC﹣CB以每秒2cm的速度运动，到达B点时运动同时停止，设△AMN的面积为y〔cm2〕，运动时间为x〔秒〕，那么以下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是〔　　〕
A． B． C． D．
【分析】分两局部计算y的关系式：①当点N在CD上时，易得S△AMN的关系式，S△AMN的面积关系式为一个一次函数；②当点N在CB上时，底边AM不变，表示出S△AMN的关系式，S△AMN的面积关系式为一个开口向下的二次函数．
【解答】解：∵点N自D点出发沿折线DC﹣CB以每秒2cm的速度运动，到达B点时运动同时停止，
∴N到C的时间为：t=3÷2=1.5，
分两局部：
①当0≤x≤1.5时，如图1，此时N在DC上，
S△AMN=y=AM•AD=x×3=x，
②当1.5＜x≤3时，如图2，此时N在BC上，
∴DC+CN=2x，
∴BN=6﹣2x，
∴S△AMN=y=AM•BN=x〔6﹣2x〕=﹣x2+3x，
应选A．
【点评】此题考查动点问题的函数图象问题；根据自变量不同的取值范围得到相应的函数关系式是解决此题的关键．
二、填空题〔本大题共10小题，每题2分，共20分〕
11．〔2分〕〔2022•西宁〕x2y是　3　次单项式．
【分析】利用单项式的次数的定义求解．
【解答】解：x2y是3次单项式．
故答案为3．
【点评】此题考查了单项式：单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
12．〔2分〕〔2022•西宁〕市民惊叹西宁绿化颜值暴涨，2022年西宁市投资25160000元实施生态造林绿化工程建设工程，将25160000用科学记数法表示为　2.516×107．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将2516 0000用科学记数法表示为2.516×107．
故答案为：2.516×107．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13．〔2分〕〔2022•西宁〕假设一个正多边形的一个外角是40°，那么这个正多边形的边数是　9　．
【分析】利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出答案．
【解答】解：多边形的每个外角相等，且其和为360°，
据此可得 =40，
解得n=9．
故答案为9．
【点评】此题主要考查了正多边形外角和的知识，正多边形的每个外角相等，且其和为360°，比较简单．
14．〔2分〕〔2022•西宁〕计算：〔2﹣2〕2=　16﹣8．
【分析】根据完全平方公式即可求出答案．
【解答】解：原式=4﹣8+12
=16﹣8
故答案为：16﹣8
【点评】此题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，此题属于根底题型．
15．〔2分〕〔2022•西宁〕假设x1，x2是一元二次方程x2+3x﹣5=0的两个根，那么x12x2+x1x22的值是　15　．
【分析】由根与系数的关系可求得〔x1+x2〕与x1x2的值，代入计算即可．
【解答】解：
∵x1，x2是一元二次方程x2+3x﹣5=0的两个根，
∴x1+x2=﹣3，x1x2=﹣5，
∴x12x2+x1x22=x1x2〔x1+x2〕=﹣5×〔﹣3〕=15，
故答案为：15．
【点评】此题主要考查根与系数的关系，由根与系数的关系求得〔x1+x2〕与x1x2的值是解题的关键．
16．〔2分〕〔2022•西宁〕圆锥的主视图是边长为4cm的等边三角形，那么该圆锥侧面展开图的面积是　8π　cm2．
【分析】根据题意确定出圆锥的底面半径与母线，进而确定出侧面展开图面积即可．
【解答】解：根据题意得：圆锥的底面半径为2cm，母线长为4cm，
那么该圆锥侧面展开图的面积是8πcm2．
故答案为：8π
【点评】此题考查了简单几何体的三视图，几何体的展开图，以及圆锥的计算，熟练掌握公式是解此题的关键．
17．〔2分〕〔2022•西宁〕如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在BC的延长线上，假设∠BOD=120°，那么∠DCE=　60°　．
【分析】先根据圆周角定理求出∠A的度数，再由圆内接四边形的性质即可得出结论．
【解答】解：∵∠BOD=120°，
∴∠A=∠BOD=60°．
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠DCE=∠A=60°．
故答案为：60°．
【点评】此题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．
18．〔2分〕〔2022•西宁〕如图，点A在双曲线y=〔x＞0〕上，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，OA的垂直平分线交OC于点B，当AC=1时，△ABC的周长为+1　．
【分析】由OA的垂直平分线交OC于点B，可得出OB=AB，结合三角形的周长公式可得出△ABC的周长=OC+CA由AC的长度利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可得出点A的坐标，进而即可得出△ABC的周长．
【解答】解：∵OA的垂直平分线交OC于点B，
∴OB=AB，
∴C△ABC=AB+BC+CA=OB+BC+CA=OC+CA．
∵点A在双曲线y=〔x＞0〕上，AC=1，
∴点A的坐标为〔，1〕，
∴C△ABC=OC+CA=+1．
故答案为：+1．
【点评】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质找出C△ABC=OC+CA是解题的关键．
19．〔2分〕〔2022•西宁〕假设点A〔m，n〕在直线y=kx〔k≠0〕上，当﹣1≤m≤1时，﹣1≤n≤1，那么这条直线的函数解析式为　y=x或y=﹣x　．
【分析】分别把〔﹣1，﹣1〕，〔﹣1，1〕代入可得直线解析式．
【解答】解：
∵点A〔m，n〕在直线y=kx〔k≠0〕上，﹣1≤m≤1时，﹣1≤n≤1，
∴点〔﹣1，﹣1〕或〔﹣1，1〕都在直线上，
∴k=﹣1或1，
∴y=x或y=﹣x，
故答案为：y=x或y=﹣x．
【点评】此题考查了待定系数法求正比例函数的解析式，把〔﹣1，﹣1〕和〔1，1〕分别代入求出k的值是解题的关键．
20．〔2分〕〔2022•西宁〕如图，将▱ABCD沿EF对折，使点A落在点C处，假设∠A=60°，AD=4，AB=6，那么AE的长为．
分析】过点C作CG⊥AB的延长线于点G，易证△D′CF≌△ECB〔ASA〕，从而可知D′F=EB，CF=CE，设AE=x，在△CEG中，利用勾股定理列出方程即可求出x的值．
【解答】解：过点C作CG⊥AB的延长线于点G，
在▱ABCD中，
∠D=∠EBC，AD=BC，∠A=∠DCB，
由于▱ABCD沿EF对折，
∴∠D′=∠D=∠EBC，∠D′CE=∠A=∠DCB，
D′C=AD=BC，
∴∠D′CF+∠FCE=∠FCE+∠ECB，
∴∠D′CF=∠ECB，
在△D′CF与△ECB中，
∴△D′CF≌△ECB〔ASA〕
∴D′F=EB，CF=CE，
∵DF=D′F，

∴DF=EB，AE=CF
设AE=x，
那么EB=6﹣x，CF=x，
∵BC=4，∠CBG=60°，
∴BG=BC=2，
由勾股定理可知：CG=2，
∴EG=EB+BG=6﹣x+2=8﹣x
在△CEG中，
由勾股定理可知：〔8﹣x〕2+〔2〕2=x2，
解得：x=AE=
故答案为：
【点评】此题考查平行四边形的综合问题，解题的关键是证明△D′CF≌△ECB，然后利用勾股定理列出方程，此题属于中等题型．
三、解答题〔本大题共8小题，共70分〕
21．〔7分〕〔2022•西宁〕计算：﹣22+〔﹣π〕0+|1﹣2sin60°|
【分析】根据乘方、零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值进行计算即可．
【解答】解：原式=﹣4+1+|1﹣2×|
=﹣3+﹣1
=﹣4．
【点评】此题考查了实数的运算，掌握乘方、零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值是解题的关键．
22．〔7分〕〔2022•西宁〕先化简，再求值：〔﹣m﹣n〕÷m2，其中m﹣n=．
【分析】现根据分式的混合运算顺序和法那么化简原式，再代入求解即可得．
【解答】解：原式=[﹣〔m+n〕]•
=•
=•
=，
∵m﹣n=，
∴n﹣m=﹣，
那么原式==﹣．
【点评】此题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法那么是解题的关键．
23．〔8分〕〔2022•西宁〕如图四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，O是AC的中点，AD∥BC，AC=8，BD=6，．
〔1〕求证：四边形ABCD是平行四边形；
〔2〕假设AC⊥BD，求▱ABCD的面积．
【分析】〔1〕由条件易证△AOD≌△COB，由此可得OD=OB，进而可证明四边形ABCD是平行四边形；
〔2〕由〔1〕和条件可证明四边形ABCD是菱形，由菱形的面积公式即可得解．
【解答】解：
〔1〕∵O是AC的中点，
∴OA=OC，
∵AD∥BC，
∴∠ADO=∠CBO，
在△AOD和△COB中，
，
∴△AOD≌△COB，
∴OD=OB，
∴四边形ABCD是平行四边形；
〔2〕∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴▱ABCD的面积=AC•BD=24．
【点评】此题主要考查平行四边形的判定和菱形的判断和性质．熟练掌握各种特殊四边形的性质定理和判定定理是解题的关键．
24．〔8分〕〔2022•西宁〕如图，建设“幸福西宁〞，打造“绿色开展样板城市〞．美丽的湟水河宛如一条玉带穿城而过，已形成“水清、流畅、岸绿、景美〞的生态环境新格局．在数学课外实践活动中，小亮在海湖新区自行车绿道北段AC上的A，B两点分别对南岸的体育中心D进行测量，分别测得∠DAC=30°，∠DBC=60°，AB=200米，求体育中心D到湟水河北岸AC的距离约为多少米〔精确到1米，≈1.732〕
【分析】如图，过点D作DH⊥AC于点H．通过解直角△BHD得到sin60°===，由此求得DH的长度．
【解答】解：过点D作DH⊥AC于点H．
∵∠HBD=∠DAC+∠BDA=60°，而∠DAC=30°，
∴∠BDA=∠DAC=30°，
∴AB=DB=200．
在直角△BHD中，sin60°===，
∴DH=100≈100×1.732≈173．
答：体育中心D到湟水河北岸AC的距离约为173米．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用．主要是正切概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．
25．〔8分〕〔2022•西宁〕西宁市教育局在局属各初中学校设立“自主学习日〞，规定每周三学校不得以任何形式布置家庭作业，为了解各学校的落实情况，从七、八年级学生中随机抽取了局部学生的反响表，针对以下六个工程〔每人只能选一项〕：A．课外阅读；B．家务劳动；C．体育锻炼；D．学科学习；E．社会实践；F．其他工程进行调查，根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图，请你根据统计图解答以下问题：
〔1〕此次抽查的样本容量为　1000　，请补全条形统计图；
〔2〕全市约有4万名在校初中学生，试估计全市学生中选择体育锻炼的人数约有多少人
〔3〕七年级〔1〕班从选择社会实践的2名女生和1名男生中选派2名参加校级社会实践活动，请你用树状图或列表法求出恰好选到1男1女的概率是多少并列举出所有等可能的结果．
【分析】〔1〕根据=百分比，计算即可；
〔2〕用样本估计总体的思想，即可解决问题；
〔3〕画出树状图，求出所有可能，以及一男一女的可能数，利用概率公式计算即可；
【解答】解：〔1〕总人数=200÷20%=1000，
故答案为1000，
B组人数=1000﹣200﹣400﹣200﹣50﹣50=100人，
条形图如下列图：
〔2〕参加体育锻炼的人数的百分比为40%，
用样本估计总体：40%×40000=16000人，
答：全市学生中选择体育锻炼的人数约有16000人．
〔3〕设两名女生分别用A1，A2，一名男生用B表示，树状图如下：
共有6种情形，恰好一男一女的有4种可能，
所以恰好选到1男1女的概率是=．
【点评】此题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了扇形统计图和条形统计图．
26．〔10分〕〔2022•西宁〕如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，交AB延长线于点F．
〔1〕求证：DE⊥AC；
〔2〕假设AB=10，AE=8，求BF的长．
【分析】〔1〕连接OD、AD，由AB=AC且∠ADB=90°知D是BC的中点，由O是AB中点知OD∥AC，根据OD⊥DE可得；
〔2〕证△ODF∽△AEF得=，据此可得答案．
【解答】解：〔1〕连接OD、AD，
∵DE切⊙O于点D，
∴OD⊥DE，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∵AB=AC，
∴D是BC的中点，
又∵O是AB中点，
∴OD∥AC，
∴DE⊥AC；
〔2〕∵AB=10，
∴OB=OD=5，
由〔1〕得OD∥AC，
∴△ODF∽△AEF，
∴==，
设BF=x，AE=8，
∴=，
解得：x=，
经检验x=是原分式方程的根，且符合题意，
∴BF=．
【点评】此题主要考查等腰三角形的性质、切线的性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质、切线的性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
27．〔10分〕〔2022•西宁〕首条贯穿丝绸之路经济带的高铁线﹣﹣宝兰客专进入全线拉通试验阶段，宝兰客专的通车对加快西北地区与“一带一路〞沿线国家和地区的经贸合作、人文交流具有十分重要的意义，试运行期间，一列动车从西安开往西宁，一列普通列车从西宁开往西安，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为x〔小时〕，两车之间的距离为y〔千米〕，图中的折线表示y与x之间的函数关系，根据图象进行一下探究：
【信息读取】
〔1〕西宁到西安两地相距　1000　千米，两车出发后　3　小时相遇；
〔2〕普通列车到达终点共需　12　小时，普通列车的速度是千米/小时．
【解决问题】
〔3〕求动车的速度；
〔4〕普通列车行驶t小时后，动车到达终点西宁，求此时普通列车还需行驶多少千米到达西安
【分析】〔1〕由x=0时y=1000及x=3时y=0的实际意义可得答案；
〔2〕根据x=12时的实际意义可得，由速度=可得答案；
〔3〕设动车的速度为x千米/小时，根据“动车3小时行驶的路程+普通列出3小时行驶的路程=1000〞列方程求解可得；
〔4〕先求出t小时普通列车行驶的路程，继而可得答案．
【解答】解：〔1〕由x=0时，y=1000知，西宁到西安两地相距1000千米，
由x=3时，y=0知，两车出发后3小时相遇，
故答案为：1000，3；
〔2〕由图象知x=t时，动车到达西宁，
∴x=12时，普通列车到达西安，即普通列车到达终点共需12小时，
普通列车的速度是=千米/小时，
故答案为：12，；
〔3〕设动车的速度为x千米/小时，
根据题意，得：3x+3×=1000，
解得：x=250，
答：动车的速度为250千米/小时；
〔4〕∵t==4〔小时〕，
∴4×=〔千米〕，
∴1000﹣=〔千米〕，
∴此时普通列车还需行驶千米到达西安．
【点评】此题主要考查一次函数的应用，根据题意弄懂函数图象中各拐点坐标的实际意义及行程问题中蕴含的相等关系是解题的关键．
28．〔12分〕〔2022•西宁〕如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=4，OC=3，假设抛物线经过O，A两点，且顶点在BC边上，对称轴交BE于点F，点D，E的坐标分别为〔3，0〕，〔0，1〕．
〔1〕求抛物线的解析式；
〔2〕猜想△EDB的形状并加以证明；
〔3〕点M在对称轴右侧的抛物线上，点N在x轴上，请问是否存在以点A，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形假设存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；假设不存在，请说明理由．
【分析】〔1〕由条件可求得抛物线的顶点坐标及A点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
〔2〕由B、D、E的坐标可分别求得DE、BD和BE的长，再利用勾股定理的逆定理可进行判断；
〔3〕由B、E的坐标可先求得直线BE的解析式，那么可求得F点的坐标，当AF为边时，那么有FM∥AN且FM=AN，那么可求得M点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得M点坐标；当AF为对角线时，由A、F的坐标可求得平行四边形的对称中心，可设出M点坐标，那么可表示出N点坐标，再由N点在x轴上可得到关于M点坐标的方程，可求得M点坐标．
【解答】解：
〔1〕在矩形OABC中，OA=4，OC=3，
∴A〔4，0〕，C〔0，3〕，
∵抛物线经过O、A两点，
∴抛物线顶点坐标为〔2，3〕，
∴可设抛物线解析式为y=a〔x﹣2〕2+3，
把A点坐标代入可得0=a〔4﹣2〕2+3，解得a=﹣，
∴抛物线解析式为y=﹣〔x﹣2〕2+3，即y=﹣x2+3x；
〔2〕△EDB为等腰直角三角形．
证明：
由〔1〕可知B〔4，3〕，且D〔3，0〕，E〔0，1〕，
∴DE2=32+12=10，BD2=〔4﹣3〕2+32=10，BE2=42+〔3﹣1〕2=20，
∴DE2+BD2=BE2，且DE=BD，
∴△EDB为等腰直角三角形；
〔3〕存在．理由如下：
设直线BE解析式为y=kx+b，
把B、E坐标代入可得，解得，
∴直线BE解析式为y=x+1，
当x=2时，y=2，
∴F〔2，2〕，
①当AF为平行四边形的一边时那么M到x轴的距离与F到x轴的距离相等，即M到x轴的距离为2，
∴点M的纵坐标为2或﹣2，
在y=﹣x2+3x中，令y=2可得2=﹣x2+3x，解得x=，
∵点M在抛物线对称轴右侧，
∴x＞2，
∴x=，
∴M点坐标为〔，2〕；
在y=﹣x2+3x中，令y=﹣2可得﹣2=﹣x2+3x，解得x=，
∵点M在抛物线对称轴右侧，
∴x＞2，
∴x=，
∴M点坐标为〔，﹣2〕；
②当AF为平行四边形的对角线时，
∵A〔4，0〕，F〔2，2〕，
∴线段AF的中点为〔3，1〕，即平行四边形的对称中心为〔3，1〕，
设M〔t，﹣t2+3t〕，N〔x，0〕，
那么﹣t2+3t=2，解得t=，
∵点M在抛物线对称轴右侧，
∴x＞2，
∴t=，
∴M点坐标为〔，2〕；
综上可知存在满足条件的点M，其坐标为〔，2〕或〔，﹣2〕．
【点评】此题为二次函数的综合应用，涉及矩形的性质、待定系数法、勾股定理及其逆定理、平行四边形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在〔1〕中求得抛物线的顶点坐标是解题的关键，注意抛物线顶点式的应用，在〔2〕中求得△EDB各边的长度是解题的关键，在〔3〕中确定出M点的纵坐标是解题的关键，注意分类讨论．此题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．