1、
7.1 二元一次方程组和它的解
教学目标
【知识与技能】
理解二元一次方程、二元一次方程组和它们的解的含义,并会检验一对数是不是某个二元一次方程组的解.
【过程与方法】
经历认识二元一次方程和二元一次方程组的过程,感受类比的学习方法在数学学习过程中的作用.
【情感、态度与价值观】
学会用类比的方法迁移知识,体验二元一次方程组在处理实际问题中的优越性,感受学习数学的乐趣.
教学重难点
【重点】理解二元一次方程组的解的意义.
【难点】求二元一次方程的正整数解.
教学过程
一、创设情境,引入新课
古老的“鸡兔同笼”问题:
“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足.
2、问鸡、兔各几何?”
教师描述:
这是我国古代数学著作《孙子算经》中记载的数学名题.它曾在好几个世纪里引起过人们的兴趣,这个问题也一定会使在座的各位同学感兴趣.怎样来解答这个问题呢?
学生思考并自行解答,教师巡视.最后,在学生动手动脑的基础上,集体讨论并给出各个解决方案.
教师展示幻灯片:
方法1:算筹解法.(孙子算经,用算筹研究代数.)
方法2:图形解法.(尚不成熟的符号语言,但很直观.)
方法3:算术解法.
兔数 (94÷2)-35=12
鸡数 35-12=23
方法4:一元一次方程的解法.
解:设鸡有x只,则兔有(35-x)只,则可列方程:
2x+4(35-x)=9
3、4
解得:x=23
则鸡有23只,兔有12只.
请同学们自己思考.
教师不失时机地复习一元一次方程的有关概念,“元”是指什么?“次”是指什么?
二、尝试活动,探索新知
1.讨论二元一次方程、二元一次方程组的概念.
教师提问:
上面的问题可以用一元一次方程来解,那么还有其他方法吗?
方法6:设有x只鸡,y只兔,依题意得:
x+y=35 ①
2x+4y=94 ②
针对学生列出的这两个方程,教师提出如下问题:
(1)你能给这两个方程起个名字吗?
(2)为什么叫二元一次方程呢?
(3)什么样的方程叫二元一次方程呢?
教师结合学生的回答,板书定义1:
含有两个未知数,
4、并且未知数的指数都是1的方程,叫做二元一次方程.
同时教师引导学生利用一元一次方程进行知识的迁移与类比,让学生用原有的认知结构去同化新知识,符合建构主义理念.
教师追问:
在上面的问题中,鸡、兔的只数必须同时满足①、②两个方程.把①、②两个二元一次方程结合在一起,用大括号来连接.我们也给它起个名字,叫什么呢?
学生思考,教师板书定义2:
把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起,就组成了一个二元一次方程组.
2.讨论二元一次方程、二元一次方程组的解的概念.
探究活动:满足x+y=35,且符合问题的实际意义的值有哪些?请填入表中.
x
…
y
5、
…
教师启发:
(1)若不考虑此方程与上面实际问题的联系,还可以取哪些值?
(2)你能模仿一元一次方程的解给二元一次方程的解下定义吗?
(3)它与一元一次方程的解有什么区别?
教师板书定义3:
使二元一次方程两边相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解,记为
教师提问:
那么什么是二元一次方程组的解呢?
学生讨论达成共识:
二元一次方程组的解必须同时满足方程组中的两个方程.即:既是方程①的解,又是方程②的解.
教师板书定义4:
二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解.
注意:
二元一次方程组的解是成对出现的,用大括号
6、来连接,表示“且”.
请同学们议一议:
将上述“鸡兔同笼”问题的几种方案进行优劣对比,你有哪些想法呢?
学生通过对比,体验到从算术方法到代数方法是一种进步.当我们遇到求多个未知量,而且数量关系较复杂时,列二元一次方程组比列一元一次方程容易,它大大减轻了我们的思维负担.
三、例题讲解
【例】 下列各对数值中不是二元一次方程x+2y=2的解的是( )
A. 5，6 B.2,8
C. 3, 7 D.-2，2
解法分析:
将A、B、C、D中各对数值逐一代入方程检验是否满足方程,选D.
变式练习:上题中的选项是二元一次方程组的解的是( )
解法分析:
7、
在例1的基础上,进一步检验A、B、C、D中各对值是否满足方程2x+y=-2,使学生明确认识到二元一次方程组的解必须同时满足两个方程.
教师总结:
本例题先检验二元一次方程的解,再检验二元一次方程组的解,符合从简单到复杂的认知规律,使学生更深刻地理解二元一次方程组的解的概念.
四、巩固练习
1.根据下列语句,列出二元一次方程:
(1)甲数的一半与乙数的3倍的和为11;
(2)甲数和乙数的2倍的差为17.
2.方程x+2y=7在自然数范围内的解( )
A.有无数组 B.有两组
C.有三组 D.有四组
3.若mx+y=1是关于x、y的二元一次方程,那么( )
A.m≠0 B.m=0
C.m是正有理数 D.m是负有理数
【答案】 1.(1)0.5x+3y=11 (2)x-2y=17 2.D 3.A
五、课堂小结
本节课学习了哪些内容?你有哪些收获?(什么叫二元一次方程?什么叫二元一次方程组?什么叫二元一次方程组的解?)
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