2022-2022学年高中数学课时跟踪检测十一夹角的计算北师大版选修2-.doc

课时跟踪检测十一 夹角的计算一、根本能力达标1正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，那么CD与平面BDC1所成角的正弦值等于()A.B.C. D.解析：选A建立如下图的空间直角坐标系，设AA12AB2，那么B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，C1(0,1,2)，故(1,1,0)，(0,1,2)，(0,1,0)设平面BDC1的法向量为n(x，y，z)，那么即令z1，那么y2，x2，所以平面BDC1的一个法向量为n(2，2,1)设直线CD与平面BDC1所成的角为，那么sin |cosn，|，应选A.2在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB2，BC2，DD13，那么AC与BD1所成角的余弦值为()A0 B.C D.解析：选A建立如图坐标系，那么D1(0,0,3)，B(2,2,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，(2，2,3)，(2,2,0)cos，0.，90，其余弦值为0.3正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是D1C1，AB的中点，那么A1B1与截面A1ECF所成的角的正切值为()A. B.C. D.解析：选A设棱长为2，建立以A1为原点，A1B1，A1D1，A1A为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，那么平面A1ECF的一个法向量为n(2,1,1)，A1B1的方向向量为(2,0,0)，设A1B1与截面A1ECF的夹角为，那么sin |cosn，|，cos ，tan .4正方形ABCD所在平面外有一点P，PA平面ABCD.假设PAAB，那么平面PAB与平面PCD所成的二面角的大小为()A30 B45C60 D90解析：选B建系如图，设AB1，那么A(0,0,0)，B(0,1,0)，P(0,0,1)，D(1,0,0)，C(1,1,0)平面PAB的法向量为n1(1,0,0)设平面PCD的法向量n2(x，y，z)，那么得令x1，那么z1.n2(1,0,1)，cosn1，n2.平面PAB与平面PCD所成的二面角的余弦值为.此角的大小为45.5.如图，正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，那么异面直线AB1和BM所成角的大小是_解析：建立如下图的空间直角坐标系，O为BC中点，设三棱柱的棱长为2a，那么点A(a,0,0)，B(0，a,0)，B1(0，a,2a)，M(0，a，a)，(a，a,2a)，(0，2a，a)，所以0，因此异面直线AB1与BM所成的角为90.答案：906.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O 是平面A1B1C1D1的中心，那么BO与平面ABC1D1所成角的正弦值为_解析：建立空间直角坐标系如图，那么B(1,1,0)，O，(1,0,1)是平面ABC1D1的一个法向量又，BO与平面ABC1D1所成角的正弦值为.答案：7.如下图，在四面体ABCD中，O为BD的中点，CACBCDBD2，ABAD.(1)求证：AO平面BCD；(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值解：(1)证明：因为BODO，ABAD，所以AOBD.因为BODO，BCCD，所以COBD.在AOC中，由可得AO1，CO，而AC2，所以AO2CO2AC2，所以AOC90，即AOOC.因为BDOCO，所以AO平面BCD.(2)以O为坐标原点，建立如下图的空间直角坐标系，那么B(1,0,0)，D(1,0,0)，C(0，0)，A(0,0,1)，(1,0,1)，(1，0)，所以cos，所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为.8(2022全国卷)如图，直四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面是菱形，AA14，AB2，BAD60，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点(1)证明：MN平面C1DE；(2)求二面角AMA1N的正弦值解：(1)证明：如图，连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以MEB1C，且MEB1C.又因为N为A1D的中点，所以NDA1D.由题设知A1B1綊DC，可得B1C綊A1D，故ME綊ND，因此四边形MNDE为平行四边形，所以MNED.又MN平面C1DE，所以MN平面C1DE.(2)由可得DEDA，以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如下图的空间直角坐标系D xyz，那么A(2,0,0)，A1(2,0,4)，M(1，2)，N(1,0,2)，(0,0，4)，(1，2)， (1,0，2)，(0，0)设m(x，y，z)为平面A1MA的法向量，那么所以可取m(，1,0)设n(p，q，r)为平面A1MN的法向量，那么所以可取n(2,0，1)于是cosm，n，所以二面角AMA1N的正弦值为.二、综合能力提升1在长方体ABCDA1B1C1D1中，B1C和C1D与底面所成角分别为60和45，那么异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为()A.B.C. D.解析：选A建立如图的空间直角坐标系，可知CB1C160，DC1D145，设B1C11，CC1DD1.C1D1，那么有B1(，0,0)，C(，1，)，C1(，1,0)，D(0,1，)(0,1，)，(，0，)cos，.2.如下图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，且PA平面ABCD，PAADAC，点F为PC的中点，那么二面角CBFD的正切值为()A. B.C. D.解析：选D如下图，设AC与BD交于O，连接OF.以O为坐标原点，OB，OC，OF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz.设PAADAC1，那么BD，所以O(0,0,0)，B，F，C，易知为平面BDF的一个法向量，由，可得平面BCF的一个法向量为n(1，)所以cosn，sinn，所以tann，.3正方体ABCD A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为_解析：不妨设正方体的棱长为1，如图建立空间直角坐标系，那么D(0,0,0)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)平面ACD1的法向量为(1,1,1)，又(0,0,1)，cos，.BB1与平面ACD1所成角的余弦值为 .答案：4.正三角形ABC与正三角形BCD所在的平面互相垂直，那么直线CD与平面ABD所成角的正弦值为_解析：取BC的中点O，连接AO，DO，建立如下图的空间直角坐标系O xyz.设BC1，那么A，B，C，D，所以，.设平面ABD的法向量为n(x，y，z)，那么所以取x1，那么y，z1，所以n(1，1)，所以cosn，因此直线CD与平面ABD所成角的正弦值为.答案：5.如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1平面ABCD，且ABAD2，AA1，BAD120.(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；(2)求二面角BA1DA的正弦值解：在平面ABCD内，过点A作AEAD，交BC于点E.因为AA1平面ABCD，所以AA1AE，AA1AD.如图，以，为正交基底，建立空间直角坐标系Axyz.因为ABAD2，AA1，BAD120，那么A(0,0,0)，B(，1,0)，D(0,2,0)，E(，0,0)，A1(0，0，)，C1(，1，)(1)(，1，)，(，1，)那么cos，.因此异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为.(2)可知平面A1DA的一个法向量为(，0,0)设m(x，y，z)为平面BA1D的一个法向量，又(，1，)，(，3,0)，那么即不妨取x3，那么y，z2，所以m(3，2)为平面BA1D的一个法向量，从而cos，m.设二面角BA1DA的大小为，那么|cos |.因为0，所以sin .因此二面角BA1DA的正弦值为.6.如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ACAD，ABBC，BAC45，PAAD2，AC1.(1)证明：PCAD；(2)求二面角APCD的正弦值；(3)设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30，求AE的长解：如图，以点A为坐标原点，AD，AC，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如下图的空间直角坐标系，那么A(0,0,0)，D(2,0,0)，C(0,1,0)，B，P(0,0,2)(1)证明：易得(0,1，2)，(2,0,0)，那么0，所以PCAD.(2)易得(0,1，2)，(2，1,0)设平面PCD的法向量为n(x，y，z)由得令z1，可得n(1,2,1)又(2,0,0)是平面PAC的一个法向量，所以cos，n，从而sin，n.所以二面角APCD的正弦值为.(3)易得(2，1,0)设AEh，h0,2，那么E(0,0，h)，所以.所以cos，解得h，即AE.- 8 -