2022-2022学年高中数学课时分层作业20指数函数幂函数对数函数增长的比较北师大版必修1.doc

课时分层作业(二十)　指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
(建议用时：60分钟)
一、选择题
1．下列函数中，自变量x充分大时，增长速度最快的是(　　)
A．y＝6x　 B．y＝log6x
C．y＝x6 D．y＝6x
[答案]　A
2．以下四种说法中，正确的是(　　)
A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B．对任意的x＞0，xa＞logax
C．对任意的x＞0，ax＞logax
D．一定存在x0，使x＞x0，总有ax＞xn＞logax
D　[对于A，幂函数的增长速度受幂指数影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较，而B、C都受a的影响．]
3．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图像大致为(　　)
D　[由题意，设林区原来的蓄积量为a，则ax＝a(1＋10.4%)y，即1.104y＝x，则y＝log1.104x，故y＝f(x)的图像大致为D.]
4．某种细菌经60分钟培养，可繁殖为原来的2倍，且知该细菌的繁殖规律为y＝10ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示细菌个数，10个细菌经过7小时培养，细菌能达到的个数为(　　)
A．640 B．1 280
C．2 560 D．5 120
B　[由题意可得，当t＝0时，y＝10，当t＝1时，y＝10ek＝20，可得ek＝2.故10个细菌经过7小时培养，能达到的细菌个数为10e7k＝10×(ek)7＝1 280.]
5．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较为近似的是(　　)
A．y＝0.2x B．y＝(x2＋2x)
C．y＝ D．y＝0.2＋log16x
C　[将x＝1,2,3，y＝0.2,0.4,0.76分别代入验算，可知选C.]
二、填空题
6．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v米/秒和燃料的质量M千克、火箭(除燃料外)的质量m千克的函数关系式是v＝2 000ln.当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．
e6－1　[当v＝12 000时，2 000×ln＝12 000，
∴ln＝6，∴＝e6－1.]
7．池塘浮萍每天生长原来的一倍，15天刚好长满池塘，则________天长满半池塘．
14　[设第一天生长a，则第二天有浮萍2a，第三天4a，…，第14天213a，第15天214a.
因214a＝2×213a，∴14天长满半池塘．]
8．在函数y＝3x，y＝log3x，y＝3x，y＝x3中增长速度最快的是________．
[答案]　y＝3x
三、解答题
9．某工厂利润数据如下表：
月份
1
2
3
利润(万元)
2
5
6
现有两个函数模型刻画该厂的月利润y(万元)与月份x的函数关系：指数型函数y＝abx＋c和二次函数y＝ax2＋bx＋c，若4月份的利润为5.1万元，选哪个模型比较好？(其中ab≠0，且b≠1)
[解]　先把前3个月份的数据代入y＝abx＋c，
得解得
∴y＝－·＋.
把x＝4代入得y≈6.33.
再把三组数据代入y＝ax2＋bx＋c，
得解得
∴y＝－x2＋6x－3.
把x＝4代入得y＝5.0.
∵|5.0－5.1|<|6.33－5.1|，
∴选模型y＝－x2＋6x－3较好．
10．小明在调查某班小学生每月的人均零花钱时，得到了下列一组数据：
x(月份)
2
3
4
5
6
…
y(元)
1.40
2.56
5.31
11
21.30
…
小明选择了模型y＝x，他的同学却认为模型y＝更合适．
(1)你认为谁选择的模型较好？并简单说明理由；
(2)试用你认为较好的数学模型来分析大约在几月份小学生的平均零花钱会超过100元？(参考数据lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
[解]　(1)根据表格提供的数据，画出散点图，并结合y＝x及y＝的图像(如图所示)，观察可知，这些点基本都落在y＝的图像上或附近，因此用y＝这一模型更符合．
(2)当＝100时，2x＝300.
则x＝log2300＝＝≈8.230.
所以x＝9.
所以大约在9月份小学生的平均零花钱会超过100元．
1．如图所示，下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图像显示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中正确的有(　　)
A．1个　　 B．2个
C．3个 D．4个
C　[只有①错，故选C.]
2．下列函数中，随着x的增长，函数值增长速度最快的是(　　)
A．y＝50 B．y＝1 000x
C．y＝0.4·2x－1 D．y＝ln x
[答案]　C
3．麋鹿是国家一级保护动物，位于江苏省中部黄海之滨的江苏大丰麋鹿国家级自然保护区，成立于1986年，第一年(即1986年)只有麋鹿100头，由于科学的人工培育，这种当初快要灭绝的动物头数y与时间x(年)的关系可近似地由关系式y＝alog2(x＋1)给出，则到2016年时，预测麋鹿的头数约为________．
500　[由第一年有麋鹿100头，可得a＝100.2016年，即x＝31时，代入后可得y＝100log2(31＋1)＝100·log225＝500，故此时麋鹿约有500头．]
4．某商店每月利润稳步增长，去年12月份的利润是当年1月份利润的k倍，则该商店去年每月利润的平均增长率为________．
－1　[设平均增长率为p，
则k＝(1＋p)11，故p＝－1.]
5．下面给出了f(x)随x的增大而得到的函数值表：
x
2x
x2
2x＋7
log2x
1
2
1
9
0
2
4
4
11
1
3
8
9
13
1.585 0
4
16
16
15
2
5
32
25
17
2.321 9
6
64
36
19
2.585 0
7
128
49
21
2.807 4
8
256
64
23
3
9
512
81
25
3.169 9
10
1 024
100
27
3.321 9
试回答：
(1)随着x的增大，各函数的函数值有什么共同的变化趋势？
(2)各函数增长的快慢有什么不同？
(3)根据以上结论，体会银行的客户存款的年利率，一般不会高于10%的实际意义．
[解]　(1)随着x的增大，各函数的函数值都在增大．
(2)各函数增长的快慢不同，其中f(x)＝2x增长的最快，而且增长的幅度越来越大；f(x)＝log2x增长的最慢，而且增长的幅度越来越小．
(3)按复利计算，存款以指数函数的形式增长，如果年利率设置太高，存款利息的增长越来越快，那么银行将难以承担利息支出．
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