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高考大题专项练3 高考中的数列
高考大题专项练第6页
1.(2015大连一模)等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的公比为,满足S3=15,a1+2b1=3,a2+4b2=6.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式an,bn;
(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.
解:(1)设{an}的公差为d,
所以
解得a1=2,d=3,b1=,
所以an=3n-1,bn=.
(2)由(1)知Tn=2×+5×+8×+…+(3n-4)·+(3n-1),①
①×Tn=2×+5×+…+(3n-4)×+(3n-1),②
①-②得
Tn=2×+3×-(3n-
2、1)·=1+3×-(3n-1)·,
整理得Tn=-(3n+5)+5.〚导学号32470870〛
2.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-1;数列{bn}满足bn-1-bn=bnbn-1(n≥2,n∈N+),b1=1.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)求数列的前n项和Tn.
解:(1)由Sn=2an-1,得S1=a1=2a1-1,故a1=1.
又Sn=2an-1,Sn-1=2an-1-1(n≥2),
两式相减,得Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an=2an-2an-1.
故an=2an-1,n≥2.
所以数列{an}是首项为1,公比为2的等
3、比数列.
故an=1·2n-1=2n-1.
由bn-1-bn=bnbn-1(n≥2,n∈N+),
得=1.
又b1=1,∴数列是首项为1,公差为1的等差数列.
∴=1+(n-1)·1=n.∴bn=.
(2)由(1)得=n·2n-1.
∴Tn=1·20+2·21+…+n·2n-1,
∴2Tn=1·21+2·22+…+n·2n.
两式相减,得-Tn=1+21+…+2n-1-n·2n
=-n·2n=-1+2n-n·2n.
∴Tn=(n-1)·2n+1.〚导学号32470871〛
3.(2015山东滨州一模)已知数列{an}的前n项和是Sn,且Sn+an=1(n∈N+).
(
4、1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=lo(1-Sn+1)(n∈N+),令Tn=+…+,求Tn.
解:(1)当n=1时,a1=S1,由S1+a1=1,得a1=.
当n≥2时,Sn=1-an,Sn-1=1-an-1,
则Sn-Sn-1=(an-1-an),即an=(an-1-an),
所以an=an-1(n≥2).
故数列{an}是以为首项,为公比的等比数列.
故an==2·.
(2)因为1-Sn=an=,
所以bn=lo(1-Sn+1)=lo=n+1,
因为,
所以Tn=+…+
=+…+
=.〚导学号32470872〛
4.(2015江西上饶一模)已知数列{
5、an}的前n项和Sn=2an-3·2n+4(n∈N+).
(1)证明:数列是等差数列;
(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
(1)证明:∵Sn=2an-3·2n+4(n∈N+),
∴n=1时,a1=S1=2a1-6+4,解得a1=2.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-3×2n+4-(2an-1-3×2n-1+4),
化为an=2an-1+3×2n-1,
变形为,
∴数列是等差数列,首项为=1,公差为.
(2)解:由(1)可得=1+(n-1)=,
∴bn=
=,
∴数列{bn}的前n项和
Tn=+…+.〚导学号32470873〛
5.(2015长
6、沙二模改编)已知数列{an}是公差不为零的等差数列,a10=15,且a3,a4,a7成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
解:(1)设数列{an}的公差为d(d≠0),由已知得
即
解得
∴an=2n-5.
(2)证明:∵bn=,n∈N+,
∴Tn=+…+,①
Tn=+…+,②
①-②,得Tn=+2+…+
=-,
∴Tn=-1-(n∈N+).〚导学号32470874〛
6.已知等差数列{an}的公差大于0,且a3,a5是方程x2-14x+45=0的两根,数列{bn}的前n项和为Sn,且Sn=(n∈N+).
(
7、1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)记cn=anbn,求证:cn+1≤cn;
(3)求数列{cn}的前n项和Tn.
解:(1)因为a3,a5是方程x2-14x+45=0的两根,且数列{an}的公差d>0,
所以a3=5,a5=9,公差d==2.
所以an=a5+(n-5)d=2n-1.
当n=1时,b1=S1=,解得b1=.
当n≥2时,bn=Sn-Sn-1=(bn-1-bn),
所以(n≥2).
所以数列{bn}是首项b1=,公比q=的等比数列,
所以bn=b1qn-1=.
(2)由(1),知cn=anbn=,cn+1=,
所以cn+1-cn=≤0.
所以cn+1≤cn.
(3)由(2),知cn=anbn=,
则Tn=+…+,①
Tn=+…+,②
①-②,得Tn=+…++2,化简得Tn=1-.
故数列{cn}的前n项和Tn=1-.〚导学号32470875〛
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