2022高考数学一轮复习课时作业61坐标系文.doc

课时作业61　坐标系
[根底达标]
1．将圆x2＋y2＝1变换为椭圆＋＝1的一个伸缩变换公式φ：(λ，μ＞0)，求λ，μ的值．
解析：将变换后的椭圆＋＝1改写为＋＝1，把伸缩变换公式φ：(λ，μ＞0)代入上式得：
＋＝1即2x2＋2y2＝1，与x2＋y2＝1，
比拟系数得所以
2．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x－)2＋(y＋1)2＝9，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)直线OP：θ＝(ρ∈R)与圆C交于点M，N，求线段MN的长．
解析：(1)(x－)2＋(y＋1)2＝9可化为
x2＋y2－2x＋2y－5＝0，
故其极坐标方程为
ρ2－2ρcos θ＋2ρsin θ－5＝0.
(2)将θ＝代入ρ2－2ρcos θ＋2ρsin θ－5＝0，得ρ2－2ρ－5＝0，
所以ρ1＋ρ2＝2，ρ1ρ2＝－5，
所以|MN|＝|ρ1－ρ2|＝＝2.
3．[2022·烟台模拟]以平面直角坐标系为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρsin＝，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cos.
(1)写出C1，C2的直角坐标方程．
(2)设M，N分别是曲线C1，C2上的两个动点，求|MN|的最小值．
解析：(1)依题意ρsin＝ρsin θ－ρcos θ＝，
所以曲线C1的普通方程为x－y＋2＝0，
因为曲线C2的极坐标方程为：
ρ2＝2ρcos＝ρcos θ＋ρsin θ，
所以x2＋y2－x－y＝0
即2＋2＝1.
(2)由(1)知圆C2的圆心，所以圆心到直线x－y＋2＝0的距离：
d＝＝，
又半径r＝1，所以|MN|min＝d－r＝－1.
4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcos＝1(0≤θ<2π)，M、N分别为C与x轴、y轴的交点．
(1)写出C的直角坐标方程，并求M、N的极坐标；
(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．
解析：(1)由ρcos＝1得
ρ＝1.
从而C的直角坐标方程为x＋y＝1，
即x＋y＝2.
当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)．
当θ＝时，ρ＝，
所以N.
(2)M点的直角坐标为(2,0)，N点的直角坐标为.
所以P点的直角坐标为，
那么P点的极坐标为，
所以直线OP的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．
5．[2022·全国卷Ⅰ]在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.
(1)求C2的直角坐标方程；
(2)假设C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．
解析：(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4.
(2)由(1)知C2是圆心为A(－1,0)，半径为2的圆．
由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.
由于点B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．
当l1与C2只有一个公共点时，点A到l1所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝－或k＝0.
经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；
当k＝－时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．
当l2与C2只有一个公共点时点A到l2所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝0或k＝.
经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；
当k＝时，l2与C2没有公共点．
综上，所求C1的方程为y＝－|x|＋2.
6．[2022·安徽省考试试题]在直角坐标系xOy中，直线l1：x＝0，圆C：(x－1)2＋(y－1－)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求直线l1和圆C的极坐标方程；
(2)假设直线l2的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设l1，l2与圆C的公共点分别为A，B，求△OAB的面积．
解析：(1)∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
∴直线l1的极坐标方程为ρcos θ＝0，即θ＝(ρ∈R)，
圆C的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－2(1＋)ρsin θ＋3＋2＝0.
(2)设A，B，将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－2(1＋)ρsin θ＋3＋2＝0，
得ρ2－2(1＋)ρ＋3＋2＝0，解得ρ1＝1＋.
将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－2(1＋)ρsin θ＋3＋2＝0，
得ρ2－2(1＋)ρ＋3＋2＝0，解得ρ2＝1＋.
故△OAB的面积为×(1＋)2×sin＝1＋.
[能力挑战]
7．[2022·长沙市统一模拟考试]在平面直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为(φ为参数)，过原点O且倾斜角为α的直线l交M于A，B两点．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求l和M的极坐标方程；
(2)当a∈时，求|OA|＋|OB|的取值范围．
解析：(1)由题意可得，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．
曲线M的普通方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，
因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，x2＋y2＝ρ2，
所以M的极坐标方程为ρ2－2(cos θ＋sin θ)ρ＋1＝0.
(2)设A(ρ1，α)，B(ρ2，α)，且ρ1，ρ2均为正数，
将θ＝α代入ρ2－2(cos θ＋sin θ)ρ＋1＝0，
得ρ2－2(cos α＋sin α)ρ＋1＝0，
当α∈时，Δ＝4sin 2α＞0，
所以ρ1＋ρ2＝2(cos α＋sin α)，
根据极坐标的几何意义，|OA|，|OB|分别是点A，B的极径．
从而|OA|＋|OB|＝ρ1＋ρ2＝2(cos α＋sin α)＝2sin .
当α∈时，α＋∈，
故|OA|＋|OB|的取值范围是(2,2]．