2022高考数学一轮复习第六章平面向量与复数第1节平面向量的概念及线性运算练习.doc

第1节 平面向量的概念及线性运算
[A级　基础巩固]
1．(多选题)已知下列各式：①＋＋；②＋＋＋；③＋＋＋；④－＋－，其中结果为零向量的是(　　)
A．① B．②
C．③ D．④
解析：由题知结果为零向量的是①④.
答案：AD
2．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，一定能使＋＝0成立的是(　　)
A．a＝2b B．a∥b
C．a＝－b D．a⊥b
解析：由＋＝0得＝－≠0，即a＝－·|a|≠0，则a与b共线且方向相反，因此当向量a与向量b共线且方向相反时，能使＋＝0成立．
观察选项，C项中a，b共线且方向相反．
答案：C
3．已知＝a＋2b＝－5a＋6b，＝7a－2b，则下列一定共线的三点是(　　)
A．A，B，C B．A，B，D
C．B，C，D D．A，C，D
解析：因为＝＋＋＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3，又，有公共点A，所以A，B，D三点共线．
答案：B
4．在△ABC中，G为重心，记＝a，＝b，则＝(　　)
A.a－b B.a＋b
C.a－b D.a＋b
解析：因为G为△ABC的重心，
所以＝(＋)＝a＋b，
所以＝＋＝－b＋a＋b＝a－b.
答案：A
5．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是(　　)
A．a与λa的方向相反 B．a与λ2a的方向相同
C．|－λa|≥|a| D．|－λa|≥|λ|·a
解析：对于A，当λ>0时，a与λa的方向相同，当λ<0时，a与λa的方向相反；B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小．
答案：B
6．已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2＝2＋，则(　　)
A．点P在线段AB上
B．点P在线段AB的反向延长线上
C．点P在线段AB的延长线上
D．点P不在直线AB上
解析：因为2＝2＋，所以2＝，所以点P在线段AB的反向延长线上．
答案：B
7.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：因为O为BC的中点，
所以＝(＋)＝(m＋n)＝＋，
因为M，O，N三点共线，所以＋＝1，所以m＋n＝2.
答案：B
8．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：设＝y，因为＝＋＝＋y＝＋y(－)＝－y＋(1＋y).
因为＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，
所以y∈，
因为＝x＋(1－x)，
所以x＝－y，所以x∈.
答案：D
9.如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量相等的向量有________个．
解析：根据正六边形的性质和相等向量的定义，易知与向量相等的向量有，，，共3个．
答案：3
10．(2020·武邑中学质检)在锐角△ABC中，＝3 ，＝x＋y(x，y∈R)，则＝________．
解析：由题设可得＋＝3(－)，
即4＝3＋，
亦即＝＋，
则x＝，y＝.故＝3.
答案：3
11．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____．
解析：因为λa＋b与a＋2b平行，所以 λa＋b＝t(a＋2b)，
即λa＋b＝ta＋2tb，所以 解得
答案：
12．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
解析：＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋，
因为＝λ1＋λ2，
所以λ1＝－，λ2＝，
因此λ1＋λ2＝.
答案：
[B级　能力提升]
13．如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若＝λ＋μ(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2等于(　　)
A. B.
C．1 D.
解析：＝＋＝＋＝＋＋)＝－，
所以λ＝，μ＝－，故λ2＋μ2＝.
答案：A
14．A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D(点O与点D不重合)，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是(　　)
A．(0，1) B．(1，＋∞)
C．(1， ] D．(－1，0)
解析：设＝m，则m>1，
因为＝λ＋μ，
所以m＝λ＋μ，
即＝＋，
又知A，B，D三点共线，
所以＋＝1，即λ＋μ＝m，
所以λ＋μ>1.
答案：B
15．如图所示，设O是△ABC内部一点，且＋＝－2，则△ABC与△AOC的面积之比为________．
解析：取AC的中点D，连接OD，
则＋＝2，
所以＝－，
所以O是AC边上的中线BD的中点，
所以S△ABC＝2S△OAC，
所以△ABC与△AOC面积之比为2∶1.
答案：2∶1
[C级　素养升华]
16．(多选题)(2020·山东四校联考)如图所示，在△ABC中，点D在边BC上，且CD＝2DB，点E在边AD上，且AD＝3AE，则(　　)
A.＝＋
B.＝－
C.＝＋
D.＝－
解析：因为＝＋，＝，＝＋，＝
，＝＋，所以＝－，＝(＋)，所以＝＋＝＋＋，
所以＝(＋＋)，
所以＝＋＋＋＝
＋＋＋＝－.
答案：BD
素养培育直观想象——共线向量定理的推广(自主阅读)
共线定理：已知，为平面内两个不共线的向量，设＝x＋y，则A，B，C三点共线的充要条件为x＋y＝1.
推广形式：如图所示，直线DE∥AB，C为直线DE上任一点，设＝x＋y(x，y∈R)．
当直线DE不过点P时，直线PC与直线AB的交点记为F，因为点F在直线AB上，所以由三点共线结论可知，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝1.
由△PAB与△PED相似，知必存在一个常数m∈R，使得＝m，则＝m＝mλ＋mμ.
又＝x＋y(x，y∈R)，
所以x＋y＝mλ＋mμ＝m.
以上过程可逆．
因此得到结论：＝x＋y，
则x＋y＝m(定值)，反之亦成立．
[典例1]　如图，在正六边形ABCDEF中，P是△CDE内(包括边界)的动点，设＝α＋β(α，β∈R)，则α＋β的取值范围是________．
解析：当P在△CDE内时，直线EC是最近的平行线，过D点的平行线是最远的，所以α＋β∈＝[3，4]．
答案：[3，4]
[典例2]　如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D，若＝m＋n，则m＋n的取值范围是________．
解析：由点D是圆O外的一点，可设＝λ(λ>1)，则＝＋＝＋λ＝λ＋(1－λ).因为C、O、D三点共线，令＝－μ(μ>1)．
所以＝－－(λ>1，μ>1)．
因为＝m＋n，所以m＝－，n＝－，
所以m＋n＝－－＝－∈(－1，0)．
答案：(－1，0)