2023版高考数学一轮复习第七章算法复数推理与证明7.2复数练习理北师大版.doc

7.2 复数
核心考点·精准研析
考点一　复数的概念 
1.(2019·合肥模拟)已知a,b均为实数,若+=1(i为虚数单位),则a+b= (　　)
A.0　　 B.1　　 C.2　　 D.-1
2.(2020·吉林模拟)设i是虚数单位,为实数,则实数a的值为 (　　)
A.1　 B.2　 C.　 D.
3.已知复数z满足zi=-2-i(i为虚数单位),则|z|= (　　)
A. B. C.2 D.
4.已知复数z的共轭复数是,且|z|-=,则z的虚部是　　　　. 
【解析】1.选C.由+=1,
得a(1+i)+b(1-i)=(1-i)(1+i)=2,
即(a+b)+a-b)i=2,则.所以a+b=2.
2.选C.因为==+i为实数,所以2a-1=0,即a=.
3.选D.因为zi=-2-i,所以z=-1+2i,
所以|z|=.
4.设z=a+bi(a,b∈R),
由|z|-=,得-a+bi=,
所以2+i=-b+(-a)i,所以b=-2.
答案:-2
　关于复数的概念
(1)明确复数的分类、复数相等、共轭复数,复数的模的概念.
(2)解题时先要将复数化为代数形式,确定实部和虚部后解题.
考点二　复数的几何意义 
【典例】1.在复平面内与复数z=所对应的点关于虚轴对称的点为A,则A对应的复数为 (　　)
A.1+2i　　　 B.12i
C.-2+i　　　 D.2+i
2.(2020·郑州模拟)已知复数z1=在复平面内对应的点为A,复数z2在复平面内对应的点为B,若向量与虚轴垂直,则z2的虚部为　　　　. 
3.(2019·太原模拟)若z∈C且|z+3+4i|≤2,|z-1-i|的最大值和最小值分别为M,m,则M-m=　　　　.
【解题导思】
序号
联想解题
1
由点关于虚轴对称,想到若点坐标为(x,y),则关于虚轴对称的点的坐标为(-x,y)
2
由与虚轴垂直想到点A,B对应的复数虚部相等
3
由|z+3+4i|想到|z-(-3-4i)|,想到z对应的点的轨迹
【解析】1.选C.依题意得,复数z==i(1-2i)=2+i,其对应的点的坐标是(2,1),因此点A(-2,1)对应的复数为-2+i.
2.z1===-i,
所以A,
因为向量与虚轴垂直,且复数z2在复平面内对应的点为B,
所以z2的虚部为-.
答案:-
3.由|z+3+4i|≤2,得z在复平面内对应的点在以Q(-3,-4)为圆心,以2为半径的圆及其内部.
如图:
|z-1-i|的几何意义为区域内的动点与定点P(1,1)的距离,
则M=|PQ|+2,m=|PQ|-2,则M-m=4.
答案:4
　关于复数的几何意义
(1)复数z=a+bi(a,b∈R)Z,充分利用三者之间的对应关系相互进行转化.
(2)=r的几何意义是复数z,z1对应的点的距离为r,若复数z对应的点为动点,z1对应的点为定点,则复数z对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心,r为半径的圆.
1.(2020·新余模拟)在复平面内,复数对应的点位于 (　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】选D.===2-i,
所以复数在复平面内对应的点为,在第四象限.
2.在复平面内,复数对应的点与原点的距离是 (　　)
A.1 B. C.2 D.2
【解析】选B.===1+i.对应的点与原点的距离是=.
考点三　复数的四则运算 
命题
精解
读
1.考什么:(1)考查复数的运算、概念、几何意义等问题.
(2)考查数学运算、直观想象的核心素养.
2.怎么考:考查复数的乘除运算、复数运算的几何意义、轨迹问题.
3.新趋势:以复数的运算为载体,考查复数的几何意义、概念、动点的轨迹问题.
学霸
好方
法
1.关于复数的四则运算及应用
熟练运用复数的加、减、乘、除的运算法则是关键,再结合复数的相关概念、几何意义解决相关的问题.
2.交汇问题
与三角函数交汇时需要结合三角函数的相关公式计算,与轨迹交汇时可以转化为解析几何问题解决
复数四则运算的综合应用
【典例】若z=1+2i,则= (　　)
A.1　　 B.-1　 C.i　　　 D.-i
【解析】选C.因为z=1+2i,则=1-2i,
所以z=(1+2i)(1-2i)=5,则==i.
复数混合运算应注意什么?
提示:分清运算层次,逐层进行运算.
复数四则运算的几何意义
【典例】如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是,,则复数z1·z2对应的点位于 (　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】选D.由已知=(-2,-1),=(0,1),所以z1=-2-i,z2=i,z1z2=1-2i,它所对应的点为(1,-2),在第四象限.
向量、复数的运算、点的坐标怎样关联?
提示:将向量转化为对应的复数,利用复数运算后再对应相应的点、向量.

复数四则运算的交汇问题
【典例】(2019·邢台模拟)若复数x=sin θ-+i(θ∈R)是纯虚数,则cos θ+icos 2θ的共轭复数在复平面内对应的点位于 (　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】选C.因为复数x=sin θ-+i(θ∈R)是纯虚数,所以,即sin θ=,cos θ=-(θ为第二象限角).则cos 2θ
=1-2sin2θ=1-2×=.
所以cos θ+icos 2θ的共轭复数的实部小于0,虚部小于0,在复平面内对应的点位于第三象限.
本题复数中含有三角函数问题求解时用到了哪些三角函数知识?
提示:用到同角三角函数的基本关系,二倍角公式.
1.(2020·宜春模拟)已知复数z=+i,则+|z|=(　　)
A.-i B.--i
C.-i D.+i
【解析】选C.因为复数z=+i,所以复数z的共轭复数=-i,|z|==1,所以+|z|=-i+1=-i.
2.(2019·闵行模拟)如图所示,在复平面内,网格中的每个小正方形的边长都为1,点A,B对应的复数分别是z1,z2,则=　　　　. 
【解析】由题意,z1=i,z2=2-i,
所以====5.
答案:5
3.(2020·人大附中模拟)复数z满足=2-i(i为虚数单位),则z的模是　　　　. 
【解析】因为=2-i,
所以z=(2-i)(1+2i)=2+4i-i+2=4+3i,
所以|z|==5.
答案:5
1.(2020·商丘模拟)若=ad-bc,则满足等式=0的复数z=　　　　. 
【解析】由已知可得=z(1+i)+i(1-i)=0,
所以z==-1.
答案:-1
2.(2019·杭州模拟)欧拉公式eix=cos x+isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里非常重要,被誉为“数学中的天桥”,根据欧拉公式可知,若表示复数z,则|z|=　　　　　. 
【解析】由题意=cos π+isin π
=cos +isin =-+i,
所以|z|==1.
答案:1
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