1、坐标系
考点一 伸缩变换
1.曲线C:x2+y2=1经过伸缩变换得到曲线C′,求曲线C′的方程.
2.曲线C经过伸缩变换后所得曲线的方程为x′2+y′2=1,求曲线C的方程.
3.将圆x2+y2=1变换为椭圆+=1的一个伸缩变换公式φ:(λ,μ>0),求λ和μ的值.
【解析】1.因为所以代入曲线C的方程得C′:+y′2=1.
2.根据题意,曲线C经过伸缩变换后所得曲线的方程为x′2+y′2=1,那么(2x)2+(3y)2=1,即4x2+9y2=1,所以曲线C的方程为4x2+9y2=1.
3.将变换后的椭圆+=1改写为+=1,把伸缩变换公式φ:(λ,μ>0)代入上式,得+=1,即
2、x2+y2=1,与x2+y2=1比拟系数,得所以
1.应用伸缩变换时,要分清变换前的点的坐标(x,y)与变换后的坐标(x′,y′).
2.平面上的曲线y=f(x)在变换φ:的作用下得到的方程的求法是将代入y=f(x),得=f,整理之后得到y′=h(x′),即为变换之后的方程.
考点二 极坐标与直角坐标的互化
【典例】(2023·乌鲁木齐模拟)曲线C1的方程为(x-1)2+y2=1,C2的方程为x+y=3,C3是一条经过原点且斜率大于0的直线.
(1)以直角坐标系原点O为极点,x轴正方向为极轴建立极坐标系,求C1与C2的极坐标方程.
(2)假设C1与C3的一个公共点为A(异于点O)
3、C2与C3的一个公共点为B,当|OA|+=时,求C3的直角坐标方程.
【解析】(1)曲线C1的方程为(x-1)2+y2=1,整理得x2+y2-2x=0,转换为极坐标方程为ρ=2cosθ.
曲线C2的方程为x+y=3,转换为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ-3=0,
(2)设曲线C3是一条经过原点且斜率大于0的直线,那么极坐标方程为θ=α,
由于C1与C3的一个公共点A(异于点O),故,
所以|OA|=2cosα,
C2与C3的一个公共点为B,
所以
所以|OB|=.
由于|OA|+=,
所以2cosα+cosα+sinα=,
即3cosα+sinα=sin(α+β)=
4、
当sinα=,cosα=时,tan α=,
故曲线C3的直角坐标方程为y=x.
1.极坐标与直角坐标的互化依据是x=ρcos θ,y=ρsin θ.
2.互化时要注意前后的等价性.
在极坐标系下,圆O:ρ=cos θ+sin θ和直线l:ρsinθ-=(ρ≥0,0≤θ<2π).
(1)求圆O和直线l的直角坐标方程.
(2)当θ∈(0,π)时,求直线l与圆O的公共点的极坐标.
【解析】(1)圆O:ρ=cos θ+sin θ,即ρ2=ρcos θ+ρsin θ,故圆O的直角坐标方程为x2+y2-x-y=0,
直线l:ρsin=,即ρsin θ-ρcos θ=1,
那么直
5、线l的直角坐标方程为x-y+1=0.
(2)由(1)知圆O与直线l的直角坐标方程,
将两方程联立得解得
即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0,1),
转化为极坐标为,
故直线l与圆O的公共点的极坐标为.
考点三 极坐标方程的应用
命
题
精
解
读
1.考什么:(1)考查直线与曲线的位置关系、距离及取值范围的问题.
(2)考查学生数学运算、逻辑推理等核心素养及数形结合、转化化归等数学方法.
2.怎么考:极坐标与直线、圆、三角函数等数学知识相结合,考查学生的综合运用能力.
3.新趋势:以极坐标为载体,与其他数学知识交汇考查.
学
霸
好
方
法
6、
求取值范围的解题思路:
(1)将极坐标方程与普通方程互化,弄清题目考查知识点;
(2)与三角函数结合,根据三角函数的取值范围求题目所要求的问题的取值范围.
位置关系问题
【典例】在极坐标系中,直线ρcos =1与曲线ρ=r(r>0)相切,求r的值.
【解析】直线ρcos =1转化为x-y-2=0,
曲线ρ=r(r>0)转化为x2+y2=r2,由于直线和圆相切,那么圆心到直线的距离d==1=r.
距离问题
【典例】(2023·江苏高考)在极坐标系中,两点A,B,直线l的方程为ρsin=3.
(1)求A,B两点间的距离.
(2)求点B到直线l的距离.
【解析】(1)设极
7、点为O.
在△OAB中,A,B,
由余弦定理,
得AB==.
(2)因为直线l的方程为ρsin=3,
那么直线l过点,倾斜角为.
又B,所以点B到直线l的距离为(3-)×sin=2.
取值范围问题
【典例】(2023·黄冈模拟)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcos=2.点Q为曲线C1上的动点,点P在线段OQ上,且满足|OQ|·|OP|=4,动点P的轨迹为C2.
(1)求C2的直角坐标方程.
(2)设点A的极坐标为,点B在曲线C2上,求△AOB面积的最大值.
【解析】(1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),
Q的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0),
由题意知|OP|=ρ,|OQ|=ρ1=.
由|OQ|·|OP|=4得C2的极坐标方程为ρ=2cos(ρ>0),化简得ρ=cos θ+sin θ,因此C2的直角坐标方程为+=1,但不包括点(0,0).
(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0),
由题意知,|OA|=2,ρB=2cos,
于是△AOB的面积S=|OA|·ρB·sin∠AOB
=2cos·=2≤.
当α=0时,S取得最大值.
所以△AOB面积的最大值为.
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