2022高考数学一轮复习课后限时集训7函数性质的综合问题理.doc

课后限时集训7
函数性质的综合问题
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一、选择题
1．设f(x)是定义在R上周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x2－x，则f＝(　　)
A．－　　 B．－　　 　
C．　　 D．
C　[因为f(x)是定义在R上周期为2的奇函数，所以f＝－f＝－f.又当0≤x≤1时，f(x)＝x2－x，所以f＝2－＝－，则f＝.]
2．下列函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)上单调递增的是(　　)
A．y＝ex＋e－x B．y＝ln(|x|＋1)
C．y＝ D．y＝x－
D　[选项A、B显然是偶函数，排除；选项C是奇函数，但在(0，＋∞)上不是单调递增函数不符合题意； 选项D中，y＝x－是奇函数，且y＝x和y＝－在(0，＋∞)上均为增函数，故y＝x－在(0，＋∞)上为增函数，所以选项D正确．]
3．已知定义在R上的奇函数f(x)有f＋f(x)＝0，当－≤x≤0时，f(x)＝2x＋a，则f(16)的值为(　　)
A． B．－
C． D．－
A　[由f＋f(x)＝0，得f(x)＝－f＝f(x＋5)，
∴f(x)是以5为周期的周期函数，
∴f(16)＝f(1＋3×5)＝f(1)．
∵f(x)是R上的奇函数，
∴f(0)＝1＋a＝0，∴a＝－1.
∴当－≤x≤0时，f(x)＝2x－1，
∴f(－1)＝2－1－1＝－，
∴f(1)＝，∴f(16)＝.]
4．定义在R上的奇函数f(x)满足f＝f(x)，当x∈时，f(x)＝log(1－x)，则f(x)在区间内是(　　)
A．减函数且f(x)＞0 B．减函数且f(x)＜0
C．增函数且f(x)＞0 D．增函数且f(x)＜0
D　[当x∈时，由f(x)＝log(1－x)可知，f(x)单调递增且f(x)＞0，又函数f(x)为奇函数，所以f(x)在区间上也单调递增，且f(x)＜0.由f＝f(x)知，函数的周期为，所以在区间上，函数f(x)单调递增且f(x)＜0.]
5．(2019·合肥调研)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0,1]上是减函数，则有(　　)
A．f＜f＜f
B．f＜f＜f
C．f＜f＜f
D．f＜f＜f
C　[因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数的周期为4，作出f(x)的草图，如图，由图可知f＜f＜f.
]
二、填空题
6．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.
6　[∵f(x＋4)＝f(x－2)，
∴f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)的周期为6，
∵919＝153×6＋1，∴f(919)＝f(1)．
又f(x)为偶函数，∴f(919)＝f(1)＝f(－1)＝6.]
7．定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x)＋f(x＋2)＝0，且f(4－x)＝f(x)．现有以下三个命题：
①8是函数f(x)的一个周期；②f(x)的图像关于直线x＝2对称；③f(x)是偶函数．
其中正确命题的序号是________．
①②③　[∵f(x)＋f(x＋2)＝0，∴f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)的周期为4，故①正确；又f(4－x)＝f(x)，所以f(2＋x)＝f(2－x)，即f(x)的图像关于直线x＝2对称，故②正确；由f(x)＝f(4－x)得f(－x)＝f(4＋x)＝f(x)，故③正确．]
8．已知定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)内单调递增，且f ＝0，则f(x)＞0的解集为________．
　[由奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)内单调递增，且f ＝0，可知函数y＝f(x)在(－∞，0)内单调递增，且f ＝0.由f(x)＞0，可得x＞或－＜x＜0.]
三、解答题
9．设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x.
(1)判断f(x)的奇偶性；
(2)试求出函数f(x)在区间[－1,2]上的表达式．
[解]　(1)∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(－x)＝f(2＋x)．
又f(x＋2)＝fx)，∴f(－x)＝f(x)．
又f(x)的定义域为R，∴f(x)是偶函数．
(2)当x∈[0,1]时，－x∈[－1,0]，
则f(x)＝f(－x)＝x；
从而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0，
f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2.
故f(x)＝
10．设函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求函数f(x)的图像与x轴所围成图形的面积．
[解]　(1)由f(x＋2)＝－f(x)得，
f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数，
所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.
(2)由f(x)是奇函数且f(x＋2)＝－f(x)，
得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，
即f(1＋x)＝f(1－x)．
故函数y＝f(x)的图像关于直线x＝1对称．
又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图像关于原点成中心对称，则f(x)的图像如图所示．

当－4≤x≤4时，设f(x)的图像与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×＝4.

1．(2019·惠州调研)已知定义域为R的偶函数f(x)在(－∞，0]上是减函数，且f(1)＝2，则不等式f(log2x)＞2的解集为(　　)
A．(2，＋∞) B．∪(2，＋∞)
C．∪(，＋∞) D．(，＋∞)
B　[f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，所以f(x)在[0，＋∞)上是增函数，因为f(1)＝2，所以f(－1)＝2，所以f(log2x)＞2⇔f(|log2x|)＞f(1)⇔|log2x|＞1⇔log2x＞1或log2x＜－1⇔x＞2或0＜x＜.故选B.]
2．已知函数y＝f(x)的定义域为R，且满足下列三个条件：
①对任意的x1，x2∈[4,8]，当x1＜x2时，都有＞0恒成立；
②f(x＋4)＝－f(x)；
③y＝fx＋4)是偶函数．
若a＝f(7)，b＝f(11)，c＝f(2 018)，则a，b，c的大小关系正确的是(　　)
A．a＜b＜c B．b＜c＜a
C．a＜c＜b D．c＜b＜a
B　[由①知函数f(x)在区间[4,8]上为单调递增函数；由②知f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，即函数f(x)的周期为8，所以c＝f(2 018)＝f(252×8＋2)＝f(2)，b＝f(11)＝f(3)；由③可知函数f(x)的图像关于直线x＝4对称，所以b＝f(3)＝f(5)，c＝f(2)＝f(6)．因为函数f(x)在区间[4,8]上为单调递增函数，所以f(5)＜f(6)＜f(7)，即b＜c＜a，故选B.]
3．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f(x＋2)＝－f(x)且f(x)在[－1,0]上是增函数，给出下列几个命题：
①f(x)是周期函数；
②f(x)的图像关于x＝1对称；
③f(x)在[1,2]上是减函数；
④f(2)＝f(0)，
其中正确命题的序号是________(请把正确命题的序号全部写出来)．
①②③④　[因为f(x＋y)＝f(x)＋f(y)对任意x，y∈R恒成立．
令x＝y＝0，
所以f(0)＝0.令x＋y＝0，所以y＝－x，
所以f(0)＝f(x)＋f(－x)．
所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
因为f(x)在x∈[－1,0]上为增函数，又f(x)为奇函数，
所以f(x)在[0,1]上为增函数．
由f(x＋2)＝－f(x)⇒f(x＋4)＝－f(x＋2)
⇒f(x＋4)＝f(x)，
所以周期T＝4，
即f(x)为周期函数．
f(x＋2)＝－f(x)⇒f(－x＋2)＝－f(－x)．
又因为f(x)为奇函数．
所以f(2－x)＝f(x)，
所以函数关于x＝1对称．
由f(x)在[0,1]上为增函数，
又关于x＝1对称，
所以f(x)在[1,2]上为减函数．
由f(x＋2)＝－f(x)，令x＝0得f(2)＝－f(0)＝f(0)．]
4．已知函数y＝f(x)在定义域[－1,1]上既是奇函数又是减函数．
(1)求证：对任意x1，x2∈[－1,1]，有[f(x1)＋f(x2)]·(x1＋x2)≤0；
(2)若f(1－a)＋f(1－a2)＜0，求实数a的取值范围．
[解]　(1)证明：若x1＋x2＝0，显然不等式成立．
若x1＋x2＜0，则－1≤x1＜－x2≤1，
因为f(x)在[－1,1]上是减函数且为奇函数，
所以f(x1)＞f(－x2)＝－f(x2)，所以f(x1)＋f(x2)＞0.
所以[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)＜0成立．
若x1＋x2＞0，则1≥x1＞－x2≥－1，
同理可证f(x1)＋f(x2)＜0.
所以[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)＜0成立．
综上得证，对任意x1，x2∈[－1,1]，有[f(x1)＋f(x2)]·(x1＋x2)≤0恒成立．
(2)因为f(1－a)＋f(1－a2)＜0⇔f(1－a2)＜－f(1－a)＝f(a－1)，所以由f(x)在定义域[－1,1]上是减函数，得
即
解得0≤a＜1.
故所求实数a的取值范围是[0,1)．

1．定义在R上的函数f(x)满足：①对任意x∈R有f(x＋4)＝f(x)；②f(x)在[0,2]上是增函数；③f(x＋2)的图像关于y轴对称．则下列结论正确的是(　　)
A．f(7)＜f(6.5)＜f(4.5)
B．f(7)＜f(4.5)＜f(6.5)
C．f(4.5)＜f(6.5)＜f(7)
D．f(4.5)＜f(7)＜f(6.5)
D　[由①知函数f(x)的周期为4，由③知f(x＋2)是偶函数，则有f(－x＋2)＝f(x＋2)，即函数f(x)图像的一条对称轴是x＝2，由②知函数f(x)在[0,2]上单调递增，则在[2,4]上单调递减，且在[0,4]上越靠近x＝2，对应的函数值越大，又f(7)＝f(3)，f(6.5)＝f(2.5)，f(4.5)＝f(0.5)，由以上分析可得f(0.5)＜f(3)＜f(2.5)，即f(4.5)＜f(7)＜f(6.5)．故选D.]
2．设f(x)是定义在R上的偶函数，其图像关于直线x＝1对称，对任意x1，x2∈，都有f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)．
(1)设f(1)＝2，求f，f；
(2)证明：f(x)是周期函数．
[解]　(1)由f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)，x1，x2∈，知f(x)＝f· f≥0，x∈[0,1]．
∵f(1)＝f＝f·f＝2，f(1)＝2，
∴f＝2.
∵f＝f＝f·f＝2，f＝2，∴f＝2.
(2)证明：依题设，y＝f(x)的图像关于直线x＝1对称，
∴f(x)＝f(2－x)．
又∵f(－x)＝f(x)，
∴f(－x)＝f(2－x)，
∴f(x)＝f(2＋x)，
∴f(x)是定义在R上的周期函数，且2是它的一个周期．