2021高考数学总复习-47解三角形应用举例基础巩固强化练习-新人教a版-.docx

2021高考数学总复习 4-7解三角形应用举例基础巩固强化练习 新人教a版
1、4-7解三角形应用举例基础稳固强化1.已知两座灯塔A、B与C的距离都是a，灯塔A在C的北偏东20，灯塔B在C的南偏东40，则灯塔A与灯塔B的距离为(　　)A．a　　　　　　　　　　B.aC.aD．2a[答案]　B[解析]　由余弦定理可知，AB2＝a2＋a2－2aacos120＝3a2，得AB＝a，应选B.2．为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼顶D处测得塔顶A的仰角为30，测得塔基B的俯角为45，那么塔AB的高度是(　　)A．20mB．20mC．20(1＋)mD．30m[答案]　A[解析
2、]　如下图，四边形CBMD为正方形，而CB＝20m，所以BM＝20m.又在Rt△AMD中，DM＝20m，∠ADM＝30，∴AM＝DMtan30＝(m)，∴AB＝AM＋MB＝＋20＝20m.3．(2021东北三校模拟)一船向正北航行，观看正西方向有相距10nmile的两个灯塔恰好与它在一条直线上，连续航行半小时后，观看一灯塔在船的南60西，另一灯塔在船的南75西，则这艘船的速度是每小时(　　)A．5nmileB．5nmileC．10nmileD．10nmile[答案]　C[解析]　如图，依题意有∠BA
3、C＝60，∠BAD＝75，所以∠CAD＝∠CDA＝15，从而CD＝CA＝10，在Rt△ABC中，求得AB＝5，∴这艘船的速度是＝10(nmile/h)．4．一艘海轮从A处动身，以每小时40nmile的速度沿东偏南50方向直线航行，30min后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观看灯塔，其方向是东偏南20，在B处观看灯塔，其方向是北偏东65，那么B、C两点间的距离是(　　)A．10nmileB．10nmileC．20nmileD．20nmile[答案]　A[解析]　如图，由条件可知△ABC中，∠BA
4、C＝30，∠ABC＝105，AB＝20，∠ACB＝45，由正弦定理得＝，∴BC＝10，应选A.5.(2021厦门质检)如下图，在坡度确定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15，向山顶前进100m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45，若CD＝50m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cosθ＝(　　)A.B．2－C.－1D.[答案]　C[解析]　在△ABC中，由正弦定理可知，BC＝＝＝50(－)，在△BCD中，sin∠BDC＝＝＝－1.由题图知，cosθ＝sin∠ADE＝sin∠BD
5、C＝－1.6.如图，海岸线上有相距5nmile的两座灯塔A，B，灯塔B位于灯塔A的正南方向．海上停靠着两艘轮船，甲船位于灯塔A的北偏西75方向，与A相距3nmile的D处；乙船位于灯塔B的北偏西60方向，与B相距5nmile的C处，则两艘轮船之间的距离为(　　)A．5nmileB．2nmileC.nmileD．3nmile[答案]　C[解析]　连接AC，∠ABC＝60，BC＝AB＝5，则AC＝5.在△ACD中，AD＝3，AC＝5，∠DAC＝45，由余弦定理得CD＝.7．在地面上一点D测得一电视塔尖的仰
6、角为45，再向塔底方向前进100m，又测得塔尖的仰角为60，则此电视塔高约为________m．(　　)A．237B．227C．247D．257[答案]　A[解析]　如图，∠D＝45，∠ACB＝60，DC＝100，∠DAC＝15，∵AC＝，∴AB＝ACsin60＝＝≈237.∴选A.8．一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60方向，行驶4h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15方向，这时船与灯塔的距离为________km.[答案]　30[解析]　如图，依题意有AB＝1
7、54＝60，∠MAB＝30，∠AMB＝45，在三角形AMB中，由正弦定理得＝，解得BM＝30(km)．9．(文)如图，在日本地震灾区的搜救现场，一条搜救狗从A处沿正北方向行进xm到达B处发觉一个生命迹象，然后向右转105，行进10m到达C处发觉另一生命迹象，这时它向右转135后连续前行回到动身点，那么x＝________.[答案]　[解析]　由题知，∠CBA＝75，∠BCA＝45，∴∠BAC＝180－75－45＝60，∴＝，∴x＝.(理)(2021洛阳部分重点中学教学检测)在O点测量到远处有一物体在做
8、匀速直线运动，开头时刻物体位于P点，一分钟后，其位置在Q点，且∠POQ＝90，再过一分钟，该物体位于R点，且∠QOR＝30，则tan∠OPQ的值为________．[答案]　[解析]　由于物体做匀速直线运动，依据题意，PQ＝QR，不妨设其长度为1.在Rt△POQ中，OQ＝sin∠OPQ，OP＝cos∠OPQ，在△OPR中，由正弦定理得＝，在△ORQ中，＝，两式两边同时相除得＝tan∠OPQ＝.10．(文)(2021广东江门市模拟)如图，一架飞机原打算从空中A处直飞相距680km的空中B处，为避开直飞途
9、中的雷雨云层，飞机在A处沿与原飞行方向成θ角的方向飞行，在中途C处转向与原方向线成45角的方向直飞到达B处．已知sinθ＝.(1)求tanC；(2)求新的飞行路程比原路程多多少km.(参考数据：＝1.414，＝1.732)[解析]　(1)由于sinθ＝，θ是锐角，所以cosθ＝，所以tanθ＝，tanC＝tan[π－(θ＋45)]＝－tan(θ＋45)＝－＝－＝－.(2)sinC＝sin(θ＋45)＝，由正弦定理＝＝得，AC＝sin45＝520，BC＝200，新的飞行路程比原路程多AC＋BC－AB＝5
10、20＋200－680＝122.8(km)．(理)某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，马上测出该渔轮在方位角为45、距离为10nmile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105的方向，以9nmile/h的速度向小岛靠拢，我海军舰艇马上以21nmile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间．[分析]　此题中所涉及的路程在不断转变，但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等，先设出所用时间t，找出等量关系，然后解三角形．[解析]　如下图，依据题意可知AC＝10，∠ACB＝120，设
11、舰艇靠近渔轮所需的时间为th，并在B处与渔轮相遇，则AB＝21t，BC＝9t在△ABC中，依据余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2ACBCcos120，所以212t2＝102＋81t2＋2109t，即36t2－9t－10＝0，解得t＝或t＝－(舍去)．所以舰艇靠近渔轮所需的时间为h.此时AB＝14，BC＝6.在△ABC中，依据正弦定理得＝，所以sin∠CAB＝＝，即∠CAB≈21.8或∠CAB≈158.2(舍去)．即舰艇航行的方位角为45＋21.8＝66.8.所以舰艇以66.8的方位角航行，需h才能
12、靠近渔轮.力量拓展提升11.设F1、F2是双曲线－＝1(a0，b0)的两个焦点，P在双曲线上，若＝0，||||＝2ac(c为半焦距)，则双曲线的离心率为(　　)A.B.C．2D.[答案]　D[解析]　由条件知，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，依据双曲线定义得：4a2＝(|PF1|－|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝|F1F2|2－4ac＝4c2－4ac，∴a2＋ac－c2＝0，∴1＋e－e2＝0，∵e1，∴e＝.12．如图，在△ABC中，tan＝，＝0，(
13、＋)＝0，经过点B以A、H为两焦点的双曲线的离心率为(　　)A.B.－1C.＋1D.[答案]　A[解析]　∵＝0，∴AH⊥BC，∵tan＝，∴tanC＝＝＝，又∵(＋)＝0，∴CA＝CB，∴tanB＝tan＝cot＝2＝，设BH＝x，则AH＝2x，∴CH＝x，AB＝x，由条件知双曲线中2c＝AH＝2x,2a＝AB－BH＝(－1)x，∴e＝＝＝，应选A.13．△ABC的周长是20，面积是10，A＝60，则BC边的长等于________．[答案]　7[解析]　由已知得由③得b2＋c2－a2＝bc，结合①知
14、(20－a)2－2cb－a2＝bc④又由②得bc＝40，代入④得a＝7.14.如下图，海中小岛A四周38nmile内有暗礁，一轮船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30，航行30nmile后，在C处测得小岛在船的南偏东45.假如此船不转变航向，连续向南航行，有无触礁的危急？[解析]　在△ABC中，BC＝30，B＝30，∠ACB＝135，∴∠BAC＝15.由正弦定理知＝，即＝.AC＝＝60cos15＝60cos(45－30)＝60(cos45cos30＋sin45sin30)＝15(＋)(nmi
15、le)．于是，A到BC所在直线的距离为：ACsin45＝15(＋)＝15(＋1)≈40.98(nmile)．它大于38nmile，所以船连续向南航行，没有触礁的危急．15．(2021辽宁文，17)△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，asinAsinB＋bcos2A＝a.(1)求；(2)若c2＝b2＋a2，求B.[解析]　(1)由正弦定理得，sin2AsinB＋sinBcos2A＝sinA，即sinB(sin2A＋cos2A)＝sinA.故sinB＝sinA，所以＝.(2)由余弦定理知
16、c2＝b2＋a2，得cosB＝.由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋)a2.可得cos2B＝，又cosB0，故cosB＝，所以B＝45.16.货轮在海上自B点以40km/h的速度沿方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为140的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110，航行半小时后，船到达C点，观测灯塔A的方位角是65，问货轮到达C点时，与灯塔A的距离．[解析]　在△ABC中，BC＝400.5＝20(km)，∠ABC＝140－110＝30，∠ACB＝65＋(180－140
17、)＝105，∠BAC＝45，依据正弦定理，＝，AC＝＝＝10，货轮到达C点时与灯塔的距离是10km.1．(2021辽宁铁岭六校联考)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)且在[－3，－2]上是减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，则f(sinα)与f(cosβ)的大小关系是(　　)A．f(sinα)f(cosβ)B．f(sinα)f(cosβ)C．f(sinα)＝f(cosβ)D．f(sinα)与f(cosβ)的大小关系不确定[答案]　A[解析]　∵f(x＋1)＝－f(x)，∴f(x＋
18、2)＝f(x)，∴f(x)周期为2，∵f(x)在[－3，－2]上是减函数，∴f(x)在[－1,0]上是减函数，∵f(x)为偶函数，∴f(x)在[0,1]上是增函数，∵α、β是锐角三角形内角，∴α＋βπ，∴α－β0，∴1sinαsin＝cosβ0，∴f(sinα)f(cosβ)．2.如图，为了解某海塔海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量．已知AB＝50m，BC＝120m，于A处测得水深AD＝80m，于B处测得水深BE＝200m，于C处测得水深CF＝110m，则∠DEF的余弦值为____
19、____．[答案]　[解析]　作DM∥AC交BE于N，交CF于M.DF＝＝＝10，DE＝＝＝130，EF＝＝＝150.在△DEF中，由余弦定理，cos∠DEF＝＝＝.3．(2021广东肇庆模拟)在△ABC中，B＝，且＝4，则△ABC的面积是________．[答案]　6[解析]　由已知得＝accos＝4，所以ac＝8，所以△ABC的面积S＝acsinB＝8＝6.4．(2021温州五校联考)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知点D是BC边的中点，且＝(a2－ac)，则角B＝_____
20、___.[答案]　30[解析]　∵＝(－)＝－＝a－accosB＝a2－accosB，又＝(a2－ac)，∴cosB＝，∴B＝30.5．(2021茂名期末)在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c.(1)若c＝2，C＝，且△ABC的面积为，求a，b的值；(2)若sinC＋sin(B－A)＝sin2A，试推断△ABC的样子．[解析]　(1)∵c＝2，C＝，∴由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC得a2＋b2－ab＝4.又∵△ABC的面积为，∴absinC＝，∴ab＝4.联立方程组解得a
21、＝2，b＝2.(2)由sinC＋sin(B－A)＝sin2A，得sin(A＋B)＋sin(B－A)＝2sinAcosA，即2sinBcosA＝2sinAcosA，∴cosA(sinA－sinB)＝0，∴cosA＝0或sinA－sinB＝0，当cosA＝0时，∵0Aπ，∴A＝，△ABC为直角三角形；当sinA－sinB＝0时，得sinB＝sinA，由正弦定理得a＝b，即△ABC为等腰三角形．∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．6.如图A、B是海面上位于东西方向相距5(3＋)nmile的两个观测点，现位于
22、A点北偏东45，B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60且与B点相距20nmile的C点的救援船马上前往营救，其航行速度为30nmile/h，该救援船到达D点需要多长时间？[解析]　由题意知AB＝5(3＋)nmile，∠DBA＝90－60＝30，∠DAB＝90－45＝45，∴∠ADB＝180－(45＋30)＝105，在△DAB中，由正弦定理得，＝∴DB＝＝＝＝＝10(nmile)．又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30＋(90－60)＝60，BC＝20(nmile)，在△DBC中，
23、由余弦定理得，CD2＝BD2＋BC2－2BDBCcos∠DBC＝300＋1200－21020＝900，∴CD＝30(nmile)，则需要的时间t＝＝1(h)．答：救援船到达D点需要1h.
第 22 页