2022年湖北省高考数学试卷(文科).docx

2022年湖北省高考数学试卷文科一、选择题：本大题10小题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。13分i为虚数单位，i607=AiBiC1D123分我国古代数学名著 九章算术 有“米谷粒分题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，那么这批米内夹谷约为A134石B169石C338石D1365石33分命题“x00，+，lnx0=x01的否认是Ax00，+，lnx0x01Bx00，+，lnx0=x01Cx0，+，lnxx1Dx0，+，lnx=x143分变量x和y满足关系y=0.1x+1，变量y与z正相关，以下结论中正确的选项是Ax与y负相关，x与z负相关Bx与y正相关，x与z正相关Cx与y正相关，x与z负相关Dx与y负相关，x与z正相关53分l1，l2表示空间中的两条直线，假设p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2不相交，那么Ap是q的充分条件，但不是q的必要条件Bp是q的必要条件，但不是q的充分条件Cp是q的充分必要条件Dp既不是q的充分条件，也不是q的必要条件63分函数fx=+lg的定义域为A2，3B2，4C2，33，4D1，33，673分设xR，定义符号函数sgnx=，那么A|x|=x|sgnx|B|x|=xsgn|x|C|x|=|x|sgnxD|x|=xsgnx83分在区间0，1上随机取两个数x，y，记p1为事件“x+y的概率，P2为事件“xy的概率，那么Ap1p2BCp2D93分将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长bab同时增加mm0个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，那么A对任意的a，b，e1e2B当ab时，e1e2；当ab时，e1e2C对任意的a，b，e1e2D当ab时，e1e2；当ab时，e1e2103分集合A=x，y|x2+y21，x，yZ，B=x，y|x|2，|y|2，x，yZ，定义集合AB=x1+x2，y1+y2|x1，y1A，x2，y2B，那么AB中元素的个数为A77B49C45D30二、填空题113分向量，|=3，那么=123分设变量x，y满足约束条件，那么3x+y的最大值为133分fx=2sin xsinx+x2的零点个数为143分某电子商务公司对10000名网络购物者2022年度的消费情况进行统计，发现消费金额单位：万元都在区间0.3，0.9内，其频率分布直方图如下列图1直方图中的a=2在这些购物者中，消费金额在区间0.5，0.9内的购物者的人数为153分如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，那么此山的高度CD=m163分如图，圆C与x轴相切于点T1，0，与y轴正半轴交于两点A，BB在A的上方，且|AB|=21圆C的标准方程为2圆C在点B处切线在x轴上的截距为173分a为实数，函数fx=|x2ax|在区间0，1上的最大值记为ga当a=时，ga的值最小三、解答题1812分某同学将“五点法画函数fx=Asinwx+w0，|在某一个时期内的图象时，列表并填入局部数据，如下表：wx+02xAsinwx+05501请将上述数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数fx的解析式；2将y=fx图象上所有点向左平移个单位长度，得到y=gx图象，求y=gx的图象离原点O最近的对称中心1912分设等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，等比数列bn的公比为q，b1=a1，b2=2，q=d，S10=1001求数列an，bn的通项公式2当d1时，记cn=，求数列cn的前n项和Tn2013分 九章算术 中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑在如下列图的阳马PABCD中，侧棱PD底面ABCD，且PD=CD，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE证明：DE平面PBC试判断四面体EBCD是否为鳖臑假设是，写出其每个面的直角只需写出结论；假设不是，请说明理由；记阳马PABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求的值2114分设函数fx，gx的定义域均为R，且fx是奇函数，gx是偶函数，fx+gx=ex，其中e为自然对数的底数1求fx，gx的解析式，并证明：当x0时，fx0，gx1；2设a0，b1，证明：当x0时，agx+1abgx+1b2214分一种画椭圆的工具如图1所示O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系1求椭圆C的方程；2设动直线l与两定直线l1：x2y=0和l2：x+2y=0分别交于P，Q两点假设直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：OPQ的面积是否存在最小值假设存在，求出该最小值；假设不存在，说明理由2022年湖北省高考数学试卷文科参考答案与试题解析一、选择题：本大题10小题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。13分i为虚数单位，i607=AiBiC1D1【分析】直接利用虚数单位i的运算性质得答案【解答】解：i607=i606i=i2303i=1303i=i应选：A【点评】此题考查了虚数单位i的运算性质，是根底的计算题23分我国古代数学名著 九章算术 有“米谷粒分题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，那么这批米内夹谷约为A134石B169石C338石D1365石【分析】根据254粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为1534169石，应选：B【点评】此题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较根底33分命题“x00，+，lnx0=x01的否认是Ax00，+，lnx0x01Bx00，+，lnx0=x01Cx0，+，lnxx1Dx0，+，lnx=x1【分析】根据特称命题的否认是全称命题即可得到结论【解答】解：命题的否认是：x0，+，lnxx1，应选：C【点评】此题主要考查含有量词的命题的否认，比较根底43分变量x和y满足关系y=0.1x+1，变量y与z正相关，以下结论中正确的选项是Ax与y负相关，x与z负相关Bx与y正相关，x与z正相关Cx与y正相关，x与z负相关Dx与y负相关，x与z正相关【分析】由题意，根据一次项系数的符号判断相关性，由y与z正相关，设y=kz，k0，得到x与z的相关性【解答】解：因为变量x和y满足关系y=0.1x+1，一次项系数为0.10，所以x与y负相关；变量y与z正相关，设，y=kz，k0，所以kz=0.1x+1，得到z=，一次项系数小于0，所以z与x负相关；应选：A【点评】此题考查由线性回归方程，正确理解一次项系数的符号与正相关还是负相关的对应是解题的关键53分l1，l2表示空间中的两条直线，假设p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2不相交，那么Ap是q的充分条件，但不是q的必要条件Bp是q的必要条件，但不是q的充分条件Cp是q的充分必要条件Dp既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结婚空间直线的位置关系，进行判断即可【解答】解：假设l1，l2是异面直线，那么l1，l2不相交，即充分性成立，假设l1，l2不相交，那么l1，l2可能是平行或异面直线，即必要性不成立，故p是q的充分条件，但不是q的必要条件，应选：A【点评】此题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据空间直线的位置关系是解决此题的关键63分函数fx=+lg的定义域为A2，3B2，4C2，33，4D1，33，6【分析】根据函数成立的条件进行求解即可【解答】解：要使函数有意义，那么，即，0等价为即，即x3，即，此时2x3，即2x3或x3，4x4，解得3x4且2x3，即函数的定义域为2，33，4，应选：C【点评】此题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件73分设xR，定义符号函数sgnx=，那么A|x|=x|sgnx|B|x|=xsgn|x|C|x|=|x|sgnxD|x|=xsgnx【分析】去掉绝对值符号，逐个比较即可【解答】解：对于选项A，右边=x|sgnx|=，而左边=|x|=，显然不正确；对于选项B，右边=xsgn|x|=，而左边=|x|=，显然不正确；对于选项C，右边=|x|sgnx=，而左边=|x|=，显然不正确；对于选项D，右边=xsgnx=，而左边=|x|=，显然正确；应选：D【点评】此题考查函数表达式的比较，正确去绝对值符号是解决此题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题83分在区间0，1上随机取两个数x，y，记p1为事件“x+y的概率，P2为事件“xy的概率，那么Ap1p2BCp2D【分析】分别求出事件“x+y和事件“xy对应的区域，然后求出面积，利用几何概型公式求出概率，比较大小【解答】解：由题意，事件“x+y表示的区域如图阴影三角形，p1=；满足事件“xy的区域如图阴影局部所以p2=；所以；应选：B【点评】此题考查了几何概型的公式运用；关键是分别求出阴影局部的面积，利用几何概型公式解答93分将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长bab同时增加mm0个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，那么A对任意的a，b，e1e2B当ab时，e1e2；当ab时，e1e2C对任意的a，b，e1e2D当ab时，e1e2；当ab时，e1e2【分析】分别求出双曲线的离心率，再平方作差，即可得出结论【解答】解：由题意，双曲线C1：c2=a2+b2，e1=；双曲线C2：c2=a+m2+b+m2，e2=，=，当ab时，e1e2；当ab时，e1e2，应选：B【点评】此题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较根底103分集合A=x，y|x2+y21，x，yZ，B=x，y|x|2，|y|2，x，yZ，定义集合AB=x1+x2，y1+y2|x1，y1A，x2，y2B，那么AB中元素的个数为A77B49C45D30【分析】由题意可得，A=0，0，0，1，0，1，1，0，1，0，B=0，0，0，1，0，2，0，1，0，2，1，0，1，1，1，21，1，1，22，0，2，1，2，22，1，2，2，1，2，1，1，1，0，1，1，1，2，2，2，2，1，2，0，2，1，2，2，根据定义可求【解答】解：解法一：A=x，y|x2+y21，x，yZ=0，0，0，1，0，1，1，0，1，0，B=x，y|x|2，|y|2，x，yZ=0，0，0，1，0，2，0，1，0，2，1，0，1，1，1，21，1，1，22，0，2，1，2，22，1，2，2，1，2，1，1，1，0，1，1，1，2，2，2，2，1，2，0，2，1，2，2AB=x1+x2，y1+y2|x1，y1A，x2，y2B，AB=0，0，0，1，0，2，0，1，0，2，1，0，1，1，1，21，1，1，22，0，2，1，2，2，2，1，2，2，1，2，1，1，1，0，1，1，1，2，2，2，2，1，2，0，2，1，2，2，2，3，2，3，0，3，2，3，1，3，1，3，1，3，2，3，0，3，3，1，3，03，1，3，2，3，23，23，1，1，3，3，1，3，0，3，2共45个元素；解法二：因为集合A=x，y|x2+y21，x，yZ，所以集合A中有5个元素，即图中圆中的整点，B=x，y|x|2，|y|2，x，yZ，中有55=25个元素，即图中正方形ABCD中的整点，AB=x1+x2，y1+y2|x1，y1A，x2，y2B的元素可看作正方形A1B1C1D1中的整点除去四个顶点，即774=45个应选：C【点评】此题以新定义为载体，主要考查了集合的根本定义及运算，解题中需要取得重复的元素二、填空题113分向量，|=3，那么=9【分析】由结合平面向量是数量积运算求得答案【解答】解：由，得=0，即=0，|=3，故答案为：9【点评】此题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，是根底的计算题123分设变量x，y满足约束条件，那么3x+y的最大值为10【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值【解答】解：作出不等式对应的平面区域如图，由z=3x+y，得y=3x+z，平移直线y=3x+z，由图象可知当直线y=3x+z，经过点C时，直线y=3x+z的截距最大，此时z最大由得即C3，1，此时z的最大值为z=33+1=10，故答案为：10【点评】此题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法133分fx=2sin xsinx+x2的零点个数为2【分析】将函数进行化简，由fx=0，转化为两个函数的交点个数进行求解即可【解答】解：fx=2sinxcosxx2=sin2xx2，由fx=0得sin2x=x2，作出函数y=sin2x和y=x2的图象如图：由图象可知，两个函数的图象有2个不同的交点，即函数fx的零点个数为2个，故答案为：2【点评】此题主要考查函数零点个数的判断，利用函数和方程之间的关系转化为两个函数图象的交点问题是解决此题的关键143分某电子商务公司对10000名网络购物者2022年度的消费情况进行统计，发现消费金额单位：万元都在区间0.3，0.9内，其频率分布直方图如下列图1直方图中的a=32在这些购物者中，消费金额在区间0.5，0.9内的购物者的人数为6000【分析】1频率分布直方图中每一个矩形的面积表示频率，先算出频率，在根据频率和为1，算出a的值；2先求出消费金额在区间0.5，0.9内的购物者的频率，再求频数【解答】解：1由题意，根据直方图的性质得1.5+2.5+a+2.0+0.8+0.20.1=1，解得a=32由直方图得3+2.0+0.8+0.20.110000=6000故答案为：13 26000【点评】此题考查了频率分布直方图中每一个矩形的面积表示频率，频数=频率样本容量，属于根底题153分如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，那么此山的高度CD=100m【分析】设此山高hm，在BCD中，利用仰角的正切表示出BC，进而在ABC中利用正弦定理求得h【解答】解：设此山高hm，那么BC=h，在ABC中，BAC=30，CBA=105，BCA=45，AB=600根据正弦定理得=，解得h=100m故答案为：100163分如图，圆C与x轴相切于点T1，0，与y轴正半轴交于两点A，BB在A的上方，且|AB|=21圆C的标准方程为x12+y2=22圆C在点B处切线在x轴上的截距为1【分析】1确定圆心与半径，即可求出圆C的标准方程；2求出圆C在点B处切线方程，令y=0可得圆C在点B处切线在x轴上的截距【解答】解：1由题意，圆的半径为=，圆心坐标为1，圆C的标准方程为x12+y2=2；2由1知，B0，1+，圆C在点B处切线方程为01x1+1+y=2，令y=0可得x=1故答案为：x12+y2=2；1【点评】此题考查圆的标准方程，考查圆的切线方程，考查学生的计算能力，属于中档题173分a为实数，函数fx=|x2ax|在区间0，1上的最大值记为ga当a=22时，ga的值最小【分析】通过分a0、0a22、a22三种情况去函数fx表达式中绝对值符号，利用函数的单调性即得结论【解答】解：对函数fx=|x2ax|=|x2|分下面几种情况讨论：当a0时，fx=x2ax在区间0，1上单调递增，fxmax=g1=1a；当0a22时，=，f1=1a，1a=20，fxmax=g1=1a；当22a1时，fxmax=ga=；综上所述，ga=，ga在，上单调递减，在，+上单调递增，gamin=g；当1a2时，ga=f=；当a2时，ga=f1=a1；综上，当a=时，gamin=32，故答案为：【点评】此题考查求函数的最值，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于难题三、解答题1812分某同学将“五点法画函数fx=Asinwx+w0，|在某一个时期内的图象时，列表并填入局部数据，如下表：wx+02xAsinwx+05501请将上述数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数fx的解析式；2将y=fx图象上所有点向左平移个单位长度，得到y=gx图象，求y=gx的图象离原点O最近的对称中心【分析】1由五点作图法即可将数据补充完整，写出函数的解析式；2由函数y=Asinx+的图象变换可得gx，解得其对称中心即可得解【解答】解：1数据补充完整如下表：wx+02xAsinwx+05050函数fx的解析式为：fx=5sin2x2将y=fx图象上所有点向左平移个单位长度，得到y=gx=5sin2x+=5sin2x+由2x+=k，kZ，可解得：x=，kZ，当k=0时，可得：x=从而可得离原点O最近的对称中心为：，0【点评】此题主要考查了由y=Asinx+的局部图象确定其解析式，函数y=Asinx+的图象变换，属于根本知识的考查1912分设等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，等比数列bn的公比为q，b1=a1，b2=2，q=d，S10=1001求数列an，bn的通项公式2当d1时，记cn=，求数列cn的前n项和Tn【分析】1利用前10项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可；2当d1时，由1知cn=，写出Tn、Tn的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可【解答】解：1设a1=a，由题意可得，解得，或，当时，an=2n1，bn=2n1；当时，an=2n+79，bn=9；2当d1时，由1知an=2n1，bn=2n1，cn=，Tn=1+3+5+7+9+2n1，Tn=1+3+5+7+2n3+2n1，Tn=2+2n1=3，Tn=6【点评】此题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决此题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题2013分 九章算术 中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑在如下列图的阳马PABCD中，侧棱PD底面ABCD，且PD=CD，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE证明：DE平面PBC试判断四面体EBCD是否为鳖臑假设是，写出其每个面的直角只需写出结论；假设不是，请说明理由；记阳马PABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求的值【分析】证明BC平面PCD，DE平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即可得出结论；由，PD是阳马PABCD的高，所以V1=由知，DE是鳖臑DBCE的高，BCCE，所以V2=即可求的值【解答】证明：因为PD底面ABCD，所以PDBC，因为ABCD为正方形，所以BCCD，因为PDCD=D，所以BC平面PCD，因为DE平面PCD，所以BCDE，因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DEPC，因为PCBC=C，所以DE平面PBC，由BC平面PCD，DE平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD是一个鳖臑，其四个面的直角分别是BCD，BCE，DEC，DEB；由，PD是阳马PABCD的高，所以V1=由知，DE是鳖臑DBCE的高，BCCE，所以V2=因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE=CE=CD，所以=4【点评】此题考查线面垂直的判定与性质，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题2114分设函数fx，gx的定义域均为R，且fx是奇函数，gx是偶函数，fx+gx=ex，其中e为自然对数的底数1求fx，gx的解析式，并证明：当x0时，fx0，gx1；2设a0，b1，证明：当x0时，agx+1abgx+1b【分析】1运用奇、偶函数的定义，由函数方程的思想可得fx、gx的解析式，再由指数函数的单调性和根本不等式，即可证得fx0，gx1；2当x0时，agx+1afxaxgx+1ax，bgx+1bfxbxgx+1bx，设函数hx=fxcxgx1cx，通过导数判断单调性，即可得证【解答】解：1fx是奇函数，gx是偶函数，即有fx=fx，gx=gx，fx+gx=ex，fx+gx=ex，即为fx+gx=ex，解得fx=exex，gx=ex+ex，那么当x0时，ex1，0ex1，fx0；gx=ex+ex2=1，那么有当x0时，fx0，gx1；2证明：fx=ex+ex=gx，gx=exex=fx，当x0时，agx+1afxaxgx+1ax，bgx+1bfxbxgx+1bx，设函数hx=fxcxgx1cx，hx=fxcgx+xgx1c=gxcgxcxfx1c=1cgx1cxfx，假设c0那么hx0，故hx在0，+递增，hxh0=0，x0，即有fxcxgx+1cx，故agx+1a成立；假设c1那么hx0，故hx在0，+递减，hx h0=0，x0，即有fxcxgx+1cx，故bgx+1b成立综上可得，当x0时，a gx+1ab gx+1b【点评】此题考查函数的奇偶性的运用，主要考查函数的解析式的求法和不等式的证明，同时考查指数函数的单调性和根本不等式的运用，以及导数的运用：判断单调性，属于中档题2214分一种画椭圆的工具如图1所示O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系1求椭圆C的方程；2设动直线l与两定直线l1：x2y=0和l2：x+2y=0分别交于P，Q两点假设直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：OPQ的面积是否存在最小值假设存在，求出该最小值；假设不存在，说明理由【分析】1根据条件求出a，b即可求椭圆C的方程；2联立直线方程和椭圆方程，求出原点到直线的距离，结合三角形的面积公式进行求解即可【解答】解：1设Dt，0，|t|2，Nx0，y0，Mx，y，由题意得=2，且|=|=1，tx，y=2x0t，y0，且，即，且tt2x0=0，由于当点D不动时，点N也不动，t不恒等于0，于是t=2x0，故x0=，y0=，代入x02+y02=1，得方程为2当直线l的斜率k不存在时，直线l为：x=4或x=4，都有SOPQ=，直线l的斜率k存在时，直线l为：y=kx+m，k，由消去y，可得1+4k2x2+8kmx+4m216=0，直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，=64k2m241+4k24m216=0，即m2=16k2+4，由，可得P，同理得Q，原点O到直线PQ的距离d=和|PQ|=|xPxQ|，可得SOPQ=|PQ|d=|m|xPxQ|=|m|=|，将代入得SOPQ=|=8|，当k2时，SOPQ=8=81+8，当0k2时，SOPQ=8|=8=81+，0k2时，014k21，2，SOPQ=81+8，当且仅当k=0时取等号，当k=0时，SOPQ的最小值为8，综上可知当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，三角形OPQ的面积存在最小值为8【点评】此题主要考查椭圆方程的求解，以及直线和圆锥曲线的位置关系的应用，结合三角形的面积公式是解决此题的关键综合性较强，运算量较大