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高等数学教学课件高等数学教学课件课件研制：军械工程学院课件研制：军械工程学院 张士军张士军高等教育出版社高等教育出版社高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社教材版本：同济七版教材版本：同济七版绪绪 论论一、高等数学课程介绍二、预备知识绪论绪论一、高等数学课程介绍二、预备知识绪论绪论一、高等数学课程介绍一、高等数学课程介绍一、高等数学课程介绍一、高等数学课程介绍（一）研究对象（二）教学内容（三）研究方法（四）教学目的一、高等数学课程介绍一、高等数学课程介绍一、高等数学课程介绍一、高等数学课程介绍（一）研究对象（二）教学内容（三）研究方法（四）教学目的函函 数数一、高等数学课程介绍一、高等数学课程介绍一、高等数学课程介绍一、高等数学课程介绍（一）研究对象（二）教学内容（三）研究方法（四）教学目的一、高等数学课程介绍一、高等数学课程介绍一、高等数学课程介绍一、高等数学课程介绍（一）研究对象（二）教学内容（三）研究方法（四）教学目的导数导数微分微分函函 数数极限极限连续连续分析分析引论引论微分学微分学不定不定积分积分定定积分积分积分学积分学应用应用中值定理中值定理元素法元素法切线、图形切线、图形、速度、速度面积、体积面积、体积、作功、作功多元函数多元函数偏导数偏导数全微分全微分重积分重积分 线面积分线面积分多元函数多元函数微分学微分学多元函数多元函数积分学积分学应用应用切线、法平面、切线、法平面、梯度梯度曲面面积、体积、曲面面积、体积、质心质心空间解析几何空间解析几何无穷无穷级数级数常微分常微分方程方程一元函数微积分一元函数微积分多元函数微积分多元函数微积分导数导数微分微分函函 数数极限极限连续连续分析分析引论引论微分学微分学不定不定积分积分定定积分积分积分学积分学应用应用中值定理中值定理元素法元素法切线、图形切线、图形、速度、速度面积、体积面积、体积、作功、作功多元函数多元函数偏导数偏导数全微分全微分重积分重积分 线面积分线面积分多元函数多元函数微分学微分学多元函数多元函数积分学积分学应用应用空间解析几何空间解析几何无穷无穷级数级数常微分常微分方程方程微微分分学学积积分分学学切线、法平面、切线、法平面、梯度梯度曲面面积、体积、曲面面积、体积、质心质心导数导数微分微分函函 数数极限极限连续连续分析分析引论引论微分学微分学不定不定积分积分定定积分积分积分学积分学应用应用中值定理中值定理元素法元素法切线、图形切线、图形、速度、速度面积、体积面积、体积、作功、作功多元函数多元函数偏导数偏导数全微分全微分重积分重积分 线面积分线面积分多元函数多元函数微分学微分学多元函数多元函数积分学积分学应用应用空间解析几何空间解析几何无穷无穷级数级数常微分常微分方程方程微积分微积分主体主体专专题题切线、法平面、切线、法平面、梯度梯度曲面面积、体积、曲面面积、体积、质心质心导数导数微分微分函函 数数极限极限连续连续分析分析引论引论微分学微分学不定不定积分积分定定积分积分积分学积分学应用应用中值定理中值定理元素法元素法切线、图形切线、图形、速度、速度面积、体积面积、体积、作功、作功多元函数多元函数偏导数偏导数全微分全微分重积分重积分 线面积分线面积分多元函数多元函数微分学微分学多元函数多元函数积分学积分学应用应用空间解析几何空间解析几何无穷无穷级数级数常微分常微分方程方程理理论论切线、法平面、切线、法平面、梯度梯度曲面面积、体积、曲面面积、体积、质心质心应应用用导数导数微分微分函函 数数极限极限连续连续分析分析引论引论微分学微分学不定不定积分积分定定积分积分积分学积分学应用应用中值定理中值定理元素法元素法切线、图形切线、图形、速度、速度面积、体积面积、体积、作功、作功多元函数多元函数偏导数偏导数全微分全微分重积分重积分 线面积分线面积分多元函数多元函数微分学微分学多元函数多元函数积分学积分学应用应用切线、法平面切线、法平面、梯度、梯度曲面面积曲面面积体积、质心体积、质心空间解析几何空间解析几何无穷无穷级数级数常微分常微分方程方程一、高等数学课程介绍一、高等数学课程介绍一、高等数学课程介绍一、高等数学课程介绍（一）研究对象（二）教学内容（三）研究方法（四）教学目的一、高等数学课程介绍一、高等数学课程介绍一、高等数学课程介绍一、高等数学课程介绍（一）研究对象（二）教学内容（三）研究方法（四）教学目的极限方法极限方法导数导数微分微分函函 数数极限极限连续连续分析分析引论引论微分学微分学不定不定积分积分定定积分积分积分学积分学应用应用中值定理中值定理元素法元素法切线、图形切线、图形、速度、速度面积、体积面积、体积、作功、作功多元函数多元函数偏导数偏导数全微分全微分重积分重积分 线面积分线面积分多元函数多元函数微分学微分学多元函数多元函数积分学积分学应用应用切线、法平面切线、法平面、梯度、梯度曲面面积曲面面积体积、质心体积、质心空间解析几何空间解析几何无穷无穷级数级数常微分常微分方程方程导数导数微分微分函函 数数极限极限连续连续分析分析引论引论微分学微分学不定不定积分积分定定积分积分积分学积分学应用应用中值定理中值定理元素法元素法切线、图形切线、图形、速度、速度面积、体积面积、体积、作功、作功多元函数多元函数偏导数偏导数全微分全微分重积分重积分 线面积分线面积分多元函数多元函数微分学微分学多元函数多元函数积分学积分学应用应用切线、法平面切线、法平面、梯度、梯度曲面面积曲面面积体积、质心体积、质心空间解析几何空间解析几何无穷无穷级数级数常微分常微分方程方程导数导数微分微分函函 数数极限极限连续连续分析分析引论引论微分学微分学不定不定积分积分定定积分积分积分学积分学应用应用中值定理中值定理元素法元素法切线、图形切线、图形、速度、速度面积、体积面积、体积作功、作功多元函数多元函数偏导数偏导数全微分全微分重积分重积分 线面积分线面积分多元函数多元函数微分学微分学多元函数多元函数积分学积分学应用应用切线、法平面切线、法平面、梯度、梯度曲面面积曲面面积体积、质心体积、质心空间解析几何空间解析几何无穷无穷级数级数常微分常微分方程方程导数导数微分微分函函 数数极限极限连续连续分析分析引论引论微分学微分学不定不定积分积分定定积分积分积分学积分学应用应用中值定理中值定理元素法元素法切线、图形切线、图形、速度、速度面积、体积面积、体积、作功、作功多元函数多元函数偏导数偏导数全微分全微分重积分重积分 线面积分线面积分多元函数多元函数微分学微分学多元函数多元函数积分学积分学应用应用切线、法平面切线、法平面、梯度、梯度曲面面积曲面面积体积、质心体积、质心空间解析几何空间解析几何无穷无穷级数级数常微分常微分方程方程导数导数微分微分函函 数数极限极限连续连续分析分析引论引论微分学微分学不定不定积分积分定定积分积分积分学积分学应用应用中值定理中值定理元素法元素法切线、图形切线、图形、速度、速度面积、体积面积、体积、作功、作功多元函数多元函数偏导数偏导数全微分全微分重积分重积分 线面积分线面积分多元函数多元函数微分学微分学多元函数多元函数积分学积分学应用应用切线、法平面切线、法平面、梯度、梯度曲面面积曲面面积体积、质心体积、质心空间解析几何空间解析几何无穷无穷级数级数常微分常微分方程方程导数导数微分微分函函 数数极限极限连续连续分析分析引论引论微分学微分学不定不定积分积分定定积分积分积分学积分学应用应用中值定理中值定理元素法元素法切线、图形切线、图形、速度、速度面积、体积面积、体积、作功、作功多元函数多元函数偏导数偏导数全微分全微分重积分重积分 线面积分线面积分多元函数多元函数微分学微分学多元函数多元函数积分学积分学应用应用切线、法平面切线、法平面、梯度、梯度曲面面积曲面面积体积、质心体积、质心空间解析几何空间解析几何无穷无穷级数级数常微分常微分方程方程导数导数微分微分函函 数数极限极限连续连续分析分析引论引论微分学微分学不定不定积分积分定定积分积分积分学积分学应用应用中值定理中值定理元素法元素法切线、图形切线、图形、速度、速度面积、体积面积、体积、作功、作功多元函数多元函数偏导数偏导数全微分全微分重积分重积分 线面积分线面积分多元函数多元函数微分学微分学多元函数多元函数积分学积分学应用应用切线、法平面切线、法平面、梯度、梯度曲面面积曲面面积体积、质心体积、质心空间解析几何空间解析几何无穷无穷级数级数常微分常微分方程方程导数导数微分微分函函 数数极限极限连续连续分析分析引论引论微分学微分学不定不定积分积分定定积分积分积分学积分学应用应用中值定理中值定理元素法元素法切线、图形切线、图形、速度、速度面积、体积面积、体积、作功、作功多元函数多元函数偏导数偏导数全微分全微分重积分重积分 线面积分线面积分多元函数多元函数微分学微分学多元函数多元函数积分学积分学应用应用切线、法平面切线、法平面、梯度、梯度曲面面积曲面面积体积、质心体积、质心空间解析几何空间解析几何无穷无穷级数级数常微分常微分方程方程一、高等数学课程介绍一、高等数学课程介绍一、高等数学课程介绍一、高等数学课程介绍（一）研究对象（二）教学内容（三）研究方法（四）教学目的一、高等数学课程介绍一、高等数学课程介绍一、高等数学课程介绍一、高等数学课程介绍（一）研究对象（二）教学内容（三）研究方法（四）教学目的一、高等数学课程介绍二、预备知识绪论绪论一、高等数学课程介绍二、预备知识绪论绪论二、预备知识二、预备知识二、预备知识二、预备知识逻辑符号逻辑符号对任意的，对所有的，对任意的，对所有的，(Any)存在一个，（存在一个，（Exist)充要条件充要条件A是是B的充分条件，的充分条件，B是是A的必要条件的必要条件A是是B的充要条件的充要条件绝对值不等式绝对值不等式或或第一讲 映射与函数函函函函数数数数映映映映射射射射特例特例特例特例函函函函数数数数概念概念概念概念映映映映射射射射映射的概念映射的概念映射的概念映射的概念定义定义 设设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得，使得对对X中每个元素中每个元素x，按法则，按法则f，在，在Y中有唯一确定的元素中有唯一确定的元素y与之对应，那么称与之对应，那么称f为从为从X到到Y的的映射映射，记作：，记作：y=f(x)XYxyf原像原像像像定义域定义域值域值域l注注（1）映射的三要素：映射的三要素：定义域、值域的范围、对应法则；定义域、值域的范围、对应法则；（2）映射的像唯一，但原像不一定唯一；映射的像唯一，但原像不一定唯一；（3）映射又称为算子，在不同数学分支中有不同的名称映射又称为算子，在不同数学分支中有不同的名称非空集非空集X数集数集YX上的变换上的变换非空集非空集X非空集非空集XX上的函数上的函数实数集实数集X实数集实数集YfX上的泛函上的泛函XY集集集集合合合合区区区区间间间间邻邻邻邻域域域域函函函函数数数数概念概念概念概念映映映映射射射射构造构造构造构造逆映射逆映射逆映射逆映射逆映射逆映射逆映射逆映射若若f是从集合是从集合X到集合到集合Y的映射的映射满射、单射和双射满射、单射和双射XYf逆映射逆映射逆映射逆映射设设f是从集合是从集合X到集合到集合Y的映射的映射满射、单射和双射满射、单射和双射l若若即即Y中的任一元素中的任一元素y都是都是X中某元素的像中某元素的像,则称则称f为为X到到Y上上的映射或的映射或满射满射l若对若对X中任意两个不同的元素中任意两个不同的元素它们的像它们的像则称则称f为为X到到Y的的单射单射XYfY=f(X)逆映射逆映射逆映射逆映射若若f是从集合是从集合X到集合到集合Y的映射的映射l若映射若映射 f 既是满射又是单射既是满射又是单射,则称则称 f 为为一一映射一一映射或或双射双射.满射、单射和双射满射、单射和双射l若若即即Y中的任一元素中的任一元素y都是都是X中某元素的像中某元素的像,则称则称f为为X到到Y上上的映射或的映射或满射满射l若对若对X中任意两个不同的元素中任意两个不同的元素它们的像它们的像则称则称f为为X到到Y的的单射单射XYf逆映射逆映射逆映射逆映射若若f是从集合是从集合X到集合到集合Y的映射的映射l若映射若映射 f 既是满射又是单射既是满射又是单射,则称则称 f 为为一一映射一一映射或或双射双射.满射、单射和双射满射、单射和双射l若若即即Y中的任一元素中的任一元素y都是都是X中某元素的像中某元素的像,则称则称f为为X到到Y上上的映射或的映射或满射满射l若对若对X中任意两个不同的元素中任意两个不同的元素它们的像它们的像则称则称f为为X到到Y的的单射单射Xf逆映射逆映射若若f 是从是从X到到Y的单射，的单射，可定义一个从可定义一个从到到X的新映射的新映射g对每个对每个规定规定这这x满足满足这个映射这个映射g称为称为f的逆映射，记作的逆映射，记作l注注(1)只有单射才存在逆映射只有单射才存在逆映射(2)逆映射逆映射的定义域的定义域值域值域集集集集合合合合区区区区间间间间邻邻邻邻域域域域函函函函数数数数概念概念概念概念映映映映射射射射构造构造构造构造逆映射逆映射逆映射逆映射复合映射复合映射复合映射复合映射复合映射复合映射复合映射复合映射定义定义设有两个映射设有两个映射其中其中则由映射则由映射g和和f 可以定出一个从可以定出一个从X到到Z的对应法则，它将每个的对应法则，它将每个映成映成这个对应法则确定了一个从这个对应法则确定了一个从X到到Z的的映射，这个映射称为映射映射，这个映射称为映射g和和f 构成的复合映射，记作构成的复合映射，记作即：即：l注注(1)映射映射g和和f 构成复合映射的条件：构成复合映射的条件：(2)映射映射g和和f 的复合是有顺序的的复合是有顺序的例题例题设设对每个对每个映射映射f 是否单射？是否满射？是否单射？是否满射？u例例1设映射设映射f 将平面上的一个圆心在原点单位圆周上的点将平面上的一个圆心在原点单位圆周上的点投影到投影到x轴的区间轴的区间上上(1)3.写出下列映射的定义域和值域，并回答如下问题：写出下列映射的定义域和值域，并回答如下问题：若存在逆映射，求出逆映射若存在逆映射，求出逆映射(2)1.2.设设对每个对每个u例例2设有映射设有映射对每个对每个映射映射对每个对每个求复合映射求复合映射集集集集合合合合区区区区间间间间邻邻邻邻域域域域函函函函数数数数概念概念概念概念映映映映射射射射构造构造构造构造逆映射逆映射逆映射逆映射复合映射复合映射复合映射复合映射概念概念概念概念函数的概念函数的概念函数的概念函数的概念定义定义设数集设数集则称映射则称映射为定义在为定义在D 上的上的函数函数,通常简记为通常简记为 f(D)因变量因变量自变量自变量定义域定义域值域值域l注注(1)注意符号注意符号f 和和f(x)的区别的区别(2)表示函数的记号可以任意选取表示函数的记号可以任意选取(3)函数的要素：函数的要素：定义域定义域对应法则对应法则函数的要素函数的要素函数的要素函数的要素1定义域定义域定义域是非空的数集定义域是非空的数集定义域的求法：定义域的求法：(1)使表达式有意义的自变量的集合使表达式有意义的自变量的集合.(2)u例例3 求函数求函数的定义域的定义域2对应法则对应法则表示法：表示法：(1)解析法解析法 表格法表格法 图象法图象法解析式的理解：解析式的理解：(2)一系列的运算程序一系列的运算程序例如：例如：理解为：理解为：l注注只有当两个函数的定义域和对应法则都相同时，只有当两个函数的定义域和对应法则都相同时，这两个函数才是相同的，否则就是不同的这两个函数才是相同的，否则就是不同的.u例例4下列函数是否相同，为什么？下列函数是否相同，为什么？(1)(2)函数的几种特性函数的几种特性函数的几种特性函数的几种特性1函数的有界性函数的有界性设函数设函数f(x)的定义域为的定义域为D，数集，数集 如果存在数如果存在数使得使得对任一对任一都成立都成立那么称函数那么称函数f(x)在在X上上有上界有上界称为函数称为函数f(x)在在X上的上的一个上界一个上界xoy类似可以定义函数类似可以定义函数f(x)在在X上上有下界有下界函数的几种特性函数的几种特性函数的几种特性函数的几种特性1函数的有界性函数的有界性设函数设函数f(x)的定义域为的定义域为D，数集，数集 如果存在数如果存在数使得使得对任一对任一都成立都成立那么称函数那么称函数f(x)在在X上上有上界有上界称为函数称为函数f(x)在在X上的上的一个上界一个上界类似可以定义函数类似可以定义函数f(x)在在X上上有下界有下界xoyl注注(1)有界性的概念须明确数集有界性的概念须明确数集(2)若函数若函数f(x)在在X上上有上有上(下下)界，则上界，则上(下下)界不唯一界不唯一例例：在在内有下界，但没有上界内有下界，但没有上界在在内既有下界，也有上界内既有下界，也有上界函数的几种特性函数的几种特性函数的几种特性函数的几种特性1函数的有界性函数的有界性设函数设函数f(x)的定义域为的定义域为D，数集，数集l注注 函数函数f(x)在在X上上有界有界例例：在在内无界内无界 如果存在正数如果存在正数使得使得对任一对任一都成立都成立那么称函数那么称函数f(x)在在X上上有界有界 如果这样的如果这样的不存在不存在就称函数就称函数f(x)在在X上上无界无界即：即：使使函数函数f(x)在在X上既上既有上界，又有下界有上界，又有下界在在内有界，内有界，xoy函数的几种特性函数的几种特性函数的几种特性函数的几种特性2函数的单调性函数的单调性设函数设函数f(x)的定义域为的定义域为D，区间，区间 如果对于区间如果对于区间I上的任意两点上的任意两点x1及及x2，那么称函数那么称函数f(x)在区间在区间I上是上是单调增加的单调增加的xoy当当时，时，恒有恒有类似可定义函数类似可定义函数f(x)在区间在区间I上是上是单调减少的单调减少的x1x2函数的几种特性函数的几种特性函数的几种特性函数的几种特性2函数的单调性函数的单调性设函数设函数f(x)的定义域为的定义域为D，区间，区间 如果对于区间如果对于区间I上的任意两点上的任意两点x1及及x2，那么称函数那么称函数f(x)在区间在区间I上是上是单调增加的单调增加的xoy当当时，时，恒有恒有类似可定义函数类似可定义函数f(x)在区间在区间I上是上是单调减少的单调减少的x1x2例：例：在在上单调增加上单调增加在在上单调减少上单调减少在在上不是单调的上不是单调的单调增加和单调减少的函数统称为单调增加和单调减少的函数统称为单调函数单调函数函数的几种特性函数的几种特性函数的几种特性函数的几种特性3函数的奇偶性函数的奇偶性设函数设函数f(x)的定义域的定义域D关于原点对称关于原点对称那么称函数那么称函数f(x)为偶函数为偶函数 如果对于任一如果对于任一恒成立恒成立那么称函数那么称函数f(x)为奇函数为奇函数 如果对于任一如果对于任一恒成立恒成立l注注偶函数的图形关于偶函数的图形关于y轴对称轴对称,奇函数的图形关于原点对称奇函数的图形关于原点对称函数的几种特性函数的几种特性函数的几种特性函数的几种特性3函数的奇偶性函数的奇偶性例：例：偶函数偶函数称为称为双曲余弦双曲余弦函数函数奇函数奇函数称为称为双曲正弦双曲正弦函数函数称为称为双曲正切双曲正切函数函数xoy1函数的几种特性函数的几种特性函数的几种特性函数的几种特性4函数的周期性函数的周期性例：例：常量函数常量函数那么称函数那么称函数f(x)为周期函数，为周期函数，l称为称为f(x)的周期的周期.l注注设函数设函数f(x)的定义域为的定义域为D，对于任一对于任一如果存在一个正数如果存在一个正数l，有有且且使得使得恒成立恒成立周期函数在每个周期上有相同的图形周期函数在每个周期上有相同的图形（1）（2）通常周期函数的周期是指最小正周期通常周期函数的周期是指最小正周期（3）并非每个周期函数都有最小正周期并非每个周期函数都有最小正周期狄利克雷函数狄利克雷函数集集集集合合合合区区区区间间间间邻邻邻邻域域域域函函函函数数数数概念概念概念概念映映映映射射射射构造构造构造构造逆映射逆映射逆映射逆映射复合映射复合映射复合映射复合映射概念概念概念概念构造构造构造构造反函数反函数反函数反函数反函数反函数反函数反函数概念概念l注注(1)(2)设函数设函数是单射，是单射，则它存在逆映射则它存在逆映射称映射称映射为函数为函数f 的反函数的反函数.一般地，一般地，的反函数记成的反函数记成f 在在D上单调增加（减少），上单调增加（减少），且且必定存在必定存在 在在f(D)上也单调增加（减少）上也单调增加（减少）关于直线关于直线y=x对称对称函数函数y=f(x)与其反函数与其反函数的图形的图形集集集集合合合合区区区区间间间间邻邻邻邻域域域域函函函函数数数数概念概念概念概念映映映映射射射射构造构造构造构造逆映射逆映射逆映射逆映射复合映射复合映射复合映射复合映射概念概念概念概念构造构造构造构造反函数反函数反函数反函数复合函数复合函数复合函数复合函数复合函数复合函数复合函数复合函数概念概念l注注(1)(2)函数函数g 与函数与函数f 构成复合函数构成复合函数的条件：的条件：设函数设函数y=f(u)的定义域为的定义域为且其值域且其值域则由下式确定的函数则由下式确定的函数称为由函数称为由函数u=g(x)与函数与函数y=f(u)构成的复合函数构成的复合函数.函数函数u=g(x)的定义域为的定义域为在一定条件下两个以上函数也可构成复合函数在一定条件下两个以上函数也可构成复合函数.例：例：集集合合区区间间邻邻域域函函数数概念概念映映射射构造构造逆映射逆映射复合映射复合映射概念概念构造构造反函数反函数复合函数复合函数四则运算四则运算函数的四则运算函数的四则运算函数的四则运算函数的四则运算设函数设函数的定义域依次为的定义域依次为则可以定义这两个函数的下列运算：则可以定义这两个函数的下列运算：和（差）和（差）积积商商集集合合区区间间邻邻域域函函数数概念概念映映射射构造构造逆映射逆映射复合映射复合映射概念概念构造构造反函数反函数复合函数复合函数四则运算四则运算初等函数初等函数基本初等函数基本初等函数基本初等函数与初等函数基本初等函数与初等函数基本初等函数与初等函数基本初等函数与初等函数基本初等函数基本初等函数幂函数、幂函数、指数函数、指数函数、对数函数、对数函数、三角函数、三角函数、反三角函数反三角函数初等函数初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数否则称为非初等函数否则称为非初等函数集集合合区区间间邻邻域域函函数数概念概念映映射射构造构造逆映射逆映射复合映射复合映射概念概念构造构造反函数反函数复合函数复合函数四则运算四则运算初等函数初等函数基本初等函数基本初等函数非初等函数举例非初等函数举例非初等函数举例非初等函数举例符号函数符号函数取整函数取整函数分段函数分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子表示在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子表示l注注 分段函数不一定就是非初等函数！分段函数不一定就是非初等函数！例：例：故为初等函数故为初等函数.可表示为可表示为综合题举例综合题举例综合题举例综合题举例u例例5 设设f(x)的定义域的定义域D=0,1，求下述函数的定义域，求下述函数的定义域u例例6分析下述函数的复合过程分析下述函数的复合过程u例例7求求及定义域及定义域上述函数可以复合成上述函数可以复合成吗吗(1)(2)函函函函数数数数概念概念概念概念映映映映射射射射构造构造构造构造逆映射逆映射逆映射逆映射复合映射复合映射复合映射复合映射概念概念概念概念构造构造构造构造反函数反函数反函数反函数复合函数复合函数复合函数复合函数四则运算四则运算四则运算四则运算初等函数初等函数初等函数初等函数基本初等函数基本初等函数基本初等函数基本初等函数内容小结内容小结内容小结内容小结理解理解掌握掌握熟熟 悉悉了了 解解第二讲 数列的极限数列的极限数列的极限数列的极限数列的极限一、数列极限的概念二、收敛数列的性质数列的极限数列的极限数列的极限数列的极限一、数列极限的概念二、收敛数列的性质一、数列极限的概念一、数列极限的概念一、数列极限的概念一、数列极限的概念(一)引例(二)数列极限的定义一、数列极限的概念一、数列极限的概念一、数列极限的概念一、数列极限的概念(一)引例(二)数列极限的定义（一）引例（一）引例（一）引例（一）引例求半径为求半径为r的的圆的面积圆的面积S1.作圆的内接正多边形作圆的内接正多边形正三角形：正三角形：S1 1正六边形：正六边形：（一）引例（一）引例（一）引例（一）引例求半径为求半径为r的的圆的面积圆的面积S1.作圆的内接正多边形作圆的内接正多边形正三角形：正三角形：S1 1正六边形：正六边形：S2 2（一）引例（一）引例（一）引例（一）引例求半径为求半径为r的的圆的面积圆的面积S1.1.作圆的内接正多边形作圆的内接正多边形正三角形：正三角形：S1 1正六边形：正六边形：S2 2正十二边形：正十二边形：S3 3Sn当当n无限增大时无限增大时Sn的变化趋势为的变化趋势为S越越来来越越接接近近S越越来来越越接接近近S刘徽刘徽“割圆术割圆术”“割之弥多，割之弥多，所失弥少，所失弥少，割之又割，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合体而则与圆周合体而无所失矣无所失矣”（一）引例（一）引例（一）引例（一）引例求半径为求半径为r的的圆的面积圆的面积S1.1.作圆的内接正多边形作圆的内接正多边形正三角形：正三角形：S1 1正六边形：正六边形：S2 2正十二边形：正十二边形：S3 3Sn当当n无限增大时无限增大时Sn的变化趋势为的变化趋势为S“一尺之棰，日取其半，一尺之棰，日取其半，万世不竭万世不竭”2.越越来来越越接接近近S（一）引例（一）引例（一）引例（一）引例求半径为求半径为r的的圆的面积圆的面积S1.1.作圆的内接正多边形作圆的内接正多边形正三角形：正三角形：S1 1正六边形：正六边形：S2 2正十二边形：正十二边形：S3 3Sn当当n无限增大时无限增大时Sn的变化趋势为的变化趋势为S“一尺之棰，日取其半，一尺之棰，日取其半，万世不竭万世不竭”2.越越来来越越接接近近S（一）引例（一）引例（一）引例（一）引例求半径为求半径为r的的圆的面积圆的面积S1.1.作圆的内接正多边形作圆的内接正多边形正三角形：正三角形：S1 1正六边形：正六边形：S2 2正十二边形：正十二边形：S3 3Sn当当n无限增大时无限增大时Sn的变化趋势为的变化趋势为S“一尺之棰，日取其半，一尺之棰，日取其半，万世不竭万世不竭”2.越越来来越越接接近近S（一）引例（一）引例（一）引例（一）引例求半径为求半径为r的的圆的面积圆的面积S1.1.作圆的内接正多边形作圆的内接正多边形正三角形：正三角形：S1 1正六边形：正六边形：S2 2正十二边形：正十二边形：S3 3Sn当当n无限增大时无限增大时Sn的变化趋势为的变化趋势为S“一尺之棰，日取其半，一尺之棰，日取其半，万世不竭万世不竭”2.第一天后：第一天后：越越来来越越接接近近S（一）引例（一）引例（一）引例（一）引例求半径为求半径为r的的圆的面积圆的面积S1.1.作圆的内接正多边形作圆的内接正多边形正三角形：正三角形：S1 1正六边形：正六边形S2 2正十二边形：正十二边形：S3 3Sn当当n无限增大时无限增大时Sn的变化趋势为的变化趋势为S“一尺之棰，日取其半，一尺之棰，日取其半，万世不竭万世不竭”2.第一天后：第一天后：1/2第二天后：第二天后：越越来来越越接接近近S（一）引例（一）引例（一）引例（一）引例求半径为求半径为r的的圆的面积圆的面积S1.1.作圆的内接正多边形作圆的内接正多边形正三角形：正三角形：S1 1正六边形：正六边形：S2 2正十二边形：正十二边形：S3 3Sn当当n无限增大时无限增大时Sn的变化趋势为的变化趋势为S“一尺之棰，日取其半，一尺之棰，日取其半，万世不竭万世不竭”2.第一天后：第一天后：1/2第二天后：第二天后：1/22第三天后：第三天后：1/231/2n当当n无限增大时无限增大时1/2n的变化趋势为的变化趋势为0越越来来越越接接近近S越越来来越越接接近近0越越来来越越接接近近0江泽民主席在哈佛大学江泽民主席在哈佛大学的演讲的演讲江泽民文选江泽民文选第第二卷第二卷第5959页页（一）引例（一）引例（一）引例（一）引例求半径为求半径为r的的圆的面积圆的面积S1.1.作圆的内接正多边形作圆的内接正多边形正三角形：正三角形：S1 1正六边形：正六边形：S2 2正十二边形：正十二边形：S3 3Sn当当n无限增大时无限增大时Sn的变化趋势为的变化趋势为S“一尺之棰，日取其半，一尺之棰，日取其半，万世不竭万世不竭”2.第一天后：第一天后：1/2第二天后：第二天后：1/22第三天后：第三天后：1/231/2n当当n无限增大时无限增大时1/2n的变化趋势为的变化趋势为0极限：极限：变量的变化趋势变量的变化趋势越越来来越越接接近近S越越来来越越接接近近0越越来来越越接接近近0（一）引例（一）引例（一）引例（一）引例求半径为求半径为r的的圆的面积圆的面积S1.1.作圆的内接正多边形作圆的内接正多边形正三角形：正三角形：S1 1正六边形：正六边形：S2 2正十二边形：正十二边形：S3 3Sn当当n无限增大时无限增大时Sn的变化趋势为的变化趋势为S“一尺之棰，日取其半，一尺之棰，日取其半，万世不竭万世不竭”2.第一天后：第一天后：1/2第二天后：第二天后：1/22第三天后：第三天后：1/231/2n当当n无限增大时无限增大时1/2n的变化趋势为的变化趋势为0极限：极限：极限：极限：变量的变化趋势变量的变化趋势变量的变化趋势变量的变化趋势越越来来越越接接近近S越越来来越越接接近近0越越来来越越接接近近0（一）引例（一）引例（一）引例（一）引例求半径为求半径为r的的圆的面积圆的面积S1.1.作圆的内接正多边形作圆的内接正多边形正三角形：正三角形：S1 1正六边形：正六边形：S2 2正十二边形：正十二边形：S3 3Sn当当n无限增大时无限增大时Sn的变化趋势为的变化趋势为S“一尺之棰，日取其半，一尺之棰，日取其半，万世不竭万世不竭”2.第一天后：第一天后：1/2第二天后：第二天后：1/22第三天后：第三天后：1/231/2n当当n无限增大时无限增大时1/2n的变化趋势为的变化趋势为0极限：极限：变量的变化趋势变量的变化趋势极限极限方法：方法：在考察变量的变化趋势用到的，用以解决近似与精确、在考察变量的变化趋势用到的，用以解决近似与精确、变量与常量等矛盾的方法变量与常量等矛盾的方法.近近 似似 值值近近 似似 值值越越来来越越接接近近S精确值精确值越越来来越越接接近近0越越来来越越接接近近0精确值精确值（一）引例（一）引例（一）引例（一）引例求半径为求半径为r的的圆的面积圆的面积S1.1.作圆的内接正多边形作圆的内接正多边形正三角形：正三角形：S1 1正六边形：正六边形：S2 2正十二边形：正十二边形：S3 3Sn当当n无限增大时无限增大时Sn的变化趋势为的变化趋势为S“一尺之棰，日取其半，一尺之棰，日取其半，万世不竭万世不竭”2.第一天后：第一天后：1/2第二天后：第二天后：1/22第三天后：第三天后：1/231/2n当当n无限增大时无限增大时1/2n的变化趋势为的变化趋势为0极限：极限：变量的变化趋势变量的变化趋势极限极限方法：方法：在考察变量的变化趋势用到的，用以解决近似与精确、在考察变量的变化趋势用到的，用以解决近似与精确、变量与常量等矛盾的方法变量与常量等矛盾的方法.变变 量量变变 量量越越来来越越接接近近0越越来来越越接接近近0常量常量常量常量越越来来越越接接近近S一、数列极限的概念一、数列极限的概念一、数列极限的概念一、数列极限的概念(一)引例(二)数列极限的定义一、数列极限的概念一、数列极限的概念一、数列极限的概念一、数列极限的概念(一)引例(二)数列极限的定义（二）数列极限的定义（二）数列极限的定义（二）数列极限的定义（二）数列极限的定义1数列的概念2数列极限的描述性定义3数列极限的精确定义4数列极限的意义定义：定义：如果按照某一法则如果按照某一法则,对每个对每个 ,对应着一个确定对应着一个确定的实数的实数 ,这些实数这些实数 按照下标按照下标n从小到大排列得从小到大排列得到的一个序列到的一个序列就叫做数列就叫做数列,记为记为 .表示：表示：(a)数轴上的一系列点数轴上的一系列点(b)平面上的一系列点平面上的一系列点1234noxnx实质：实质：自变量为正整数的函数自变量为正整数的函数（二）数列极限的定义（二）数列极限的定义（二）数列极限的定义（二）数列极限的定义1数列的概念2数列极限的描述性定义3数列极限的精确定义4数列极限的意义（二）数列极限的概念（二）数列极限的概念（二）数列极限的概念（二）数列极限的概念1数列的概念2数列极限的描述性定义3数列极限的精确定义4数列极限的意义（二）数列极限的概念（二）数列极限的概念（二）数列极限的概念（二）数列极限的概念1数列的概念2数列极限的描述性定义3数列极限的精确定义4数列极限的意义例：例：（1）（2）（3）（4）（5）增减性增减性依次递减依次递减依次增大依次增大来回摆动来回摆动来回摆动来回摆动来回摆动来回摆动变化趋势变化趋势1 11 11 1无限大无限大无无变变化化趋趋势势为为常常数数数列极限的描述性定义数列极限的描述性定义如果当如果当n无限增大时，无限增大时，无限接近于常数无限接近于常数a，则称常数则称常数a为数列为数列的极限的极限（二）数列极限的概念（二）数列极限的概念（二）数列极限的概念（二）数列极限的概念1数列的概念2数列极限的描述性定义3数列极限的精确定义4数列极限的意义（二）数列极限的概念（二）数列极限的概念（二）数列极限的概念（二）数列极限的概念1数列的概念2数列极限的描述性定义3数列极限的精确定义4数列极限的意义当当n无限增大时，无限增大时，无限接近于常数无限接近于常数a，当当n无限增大时，无限增大时，无限变小无限变小 当当n无限增大时，无限增大时，要多小有多小要多小有多小对于任意给定的正数，对于任意给定的正数，都可以找到一项，都可以找到一项，使得该项以后的所有项，使得该项以后的所有项，小于上述给定的正数小于上述给定的正数 当当n无限增大时，无限增大时，无限接近于无限接近于1 取取 当当 时，时，例例如果当如果当n无限增大时，无限增大时，无限接近于常数无限接近于常数a，则称常数则称常数a为数列为数列的极限。的极限。给定给定0.1 欲使欲使 给定给定0，欲使欲使 取取 当当 时，时，数列极限的精确定义：数列极限的精确定义：即：即：正整数正整数当当时时,有有1.关于关于任意变小任意变小，描述了描述了 与与 的无限接近程度的无限接近程度.相对固定相对固定，根据给定的根据给定的找找N2.关于关于N依赖于依赖于，有时可记作有时可记作N（）.不唯一不唯一.l注注u例例1证明证明u例例2证明证明u例例3证明证明l注注1.记住重要结论记住重要结论2.证明的关键：证明的关键：依据依据找找N（N可以不同）可以不同）3.找找N的方法：的方法：常用常用“适当放大适当放大”的方的方法法4.放大的技巧：放大的技巧：利用各种不等式利用各种不等式l歌谣：歌谣：证明规律遵证明规律遵执果索其因执果索其因依据依据找找NN能找到能找到结论断言真结论断言真如何找如何找N适当放大身适当放大身若把技巧问若把技巧问不等式来寻不等式来寻关键要把准关键要把准（二）数列极限的概念（二）数列极限的概念（二）数列极限的概念（二）数列极限的概念1数列的概念2数列极限的描述性定义3数列极限的精确定义4数列极限的意义（二）数列极限的概念（二）数列极限的概念（二）数列极限的概念（二）数列极限的概念1数列的概念2数列极限的描述性定义3数列极限的精确定义4数列极限的意义1 1几何意义几何意