周建华工程矩阵理论.pptx

1工工 程程矩阵理论矩阵理论东南大学数学系 周建华2教材教材 工程矩阵理论 张明淳，东南大学出版社参考书参考书 1.1.高等代数高等代数，北京大学，高等教育出版社 2.Matrix Analysis2.Matrix Analysis,R.A.Horn and C.R.Johnson,Cambridge University Press,20043要要 求求1.重点是基本理论，基本方法；2.结合授课内容，熟悉课本；3.通过例题，理解概念；4.通过练习题，熟悉理论和方法。4本课程大致内容本课程大致内容第0章 复习与引深第1章 线性空间与线性变换第2章 内积空间、等距变换第3章 矩阵的相似标准形第4章 Hermite二次型第5章 范数及矩阵函数第6章 矩阵的广义逆5矩阵理论矩阵理论6第第0章章 复习与引深复习与引深1.矩阵运算2.线性方程组3.向量组的极大无关组和秩4.矩阵的秩71.矩阵的乘法中应注意的问题矩阵的乘法中应注意的问题(1)存在非零零因子 例1 8(2)不可交换9（3）由此导致的一些问题n乘法消去律不成立n一些代数恒等式对矩阵不再成立10例311（4）分块矩阵设在一定条件下，也可以写成分块矩阵将这两个矩阵分块：其中，12一些常见的分块形式一些常见的分块形式13141516例如，矩阵的相似对角化问题172.线性方程组线性方程组1.2.3.18齐次线性方程组的基础解系齐次线性方程组的基础解系对于齐次线性方程组1.有非零解当且仅当19例520简化阶梯形矩阵21续例522Gauss消元法消元法23例624例7253.向量组的极大无关组和秩向量组的极大无关组和秩26例8274.矩阵的秩矩阵的秩矩阵A的秩=A中非零子式的最高阶数 =A的行（列）向量组的秩有关矩阵的秩的不等式：28例929例1030矩阵的等价标准形3132例12：33线性空间和线性变换线性空间和线性变换第一章第一章 34第一节 线性空间的定义用F表示实数全体（R）或复数全体（C）.35如果满足下述公理，则称V是数域F上的线性空间，V中的元素称为向量。36例137例1（续）38线性空间的性质39第二节 基、维数和坐标如：在线性空间中可以定义线性组合、线性表示、线性相关、线性无关，向量组的极大线性无关组、秩等概念。40一些重要结论4142例243定义（基，维数）44注：45例346定理147定义（坐标）：48例549例650注注1.线性空间的基是有序的。2.基相当于几何空间中的坐标系。51定理252例753例例854形式记号55形式记号56形式记号的性质57例例958定义(过渡矩阵)59过渡矩阵的性质60例1061定理3(坐标变换公式)62例1163第三节 子空间,交与和64定理165两类重要的子空间66命题：67例例1268例1369例1470例1571定理272子空间的交与和73子空间的交与和74注交与并的区别75定理4（维数定理）76例1677例1778例1879直和80定理581例1982例2083多个子空间的直和84定理68586第四节 线性映射8788定义：89例2190例2291例2392注93线性映射的性质：线性映射的性质：9495例2496例2597线性变换的运算它们都是线性映射。98线性映射的运算的性质：99线性映射（变换）的矩阵：100例26101例27102定理8103定理9104例28105定理10对线性映射的矩阵有类似的性质。106第五节 线性映射的值域及核子空间107值域的计算108核子空间的计算109定理12（线性映射的维数定理）110注：对无限维空间，推论不成立。111例29112定义（不变子空间）：113为何要讨论不变子空间？114为何要讨论不变子空间？115例30116线性空间的同构117118119120第二章内积空间、等距变换内积空间、等距变换121第一节 基本概念本章的目的：将内积推广到抽象的线性空间约定：数域F指实数域R或复数域C122例1123内积的性质124度量矩阵125向量的模（长度）126C-B不等式127三角不等式128正交性129标准正交基130标准正交基下的内积131Schmidt正交化方法132例2133例3134酉矩阵135定理1136Schmidt正交化方法的应用正交化方法的应用137注138矩阵的UT分解139例4140定理2141第二节 正交补空间142正交补空间143正交补空间的计算144正交补空间的计算145例5146一个几何问题空间中点到直线的距离：147空间中向量到子空间的距离：148149例6150例7151应用-Fourier系数152最小二乘解153第三节 等距变换154例8155定理7156关于直线的反射关于直线的反射157欧氏空间中的反射欧氏空间中的反射158镜像变换159160例9161第三章 矩阵的相似标准形矩阵的相似标准形162矩阵与线性变换本章的目的：n对给定的矩阵，找一最简单的矩阵与之相似。n对给定的线性空间上的线性变换，找线性空间的一组基，使得线性变换的矩阵最简单。163第一节 特征值与特征向量164矩阵的相似对角化165线性变换的特征值、特征向量166线性变换的可对角化问题167例1168线性变换的特征值、特征向量的计算169例2170定理11.定理的逆命题不成立。171特征多项式的计算172主子式与子式173主子式与子式174特征多项式的计算175矩阵的迹176例3177化零多项式178第二节 Hamilton-Cayley定理179例4180例5181最小多项式182定理5183例6184例7185例8186第三节 可对角化的条件目的：对给定的矩阵，判断其是否相似于对角阵；对给定的线性空间上的线性变换，判断是否存在空间的一组基，使得其矩阵是对角阵。187已知的判别方法188线性变换的可对角化问题189特征子空间190可对角化的条件191例9192定理12193定理13194例10195定理14196例11197例12198第四节 Jordan标准形问题：如果给定的矩阵不与任何对角阵相似，如何找一最简单的矩阵与之相似。等价的问题：若线性空间上给定的线性变换不可对角化，如何找线性空间的一组基，使得线性变换的矩阵最简单。199Jordan形矩阵200例13201Jordan标准形的存在性、唯一性202唯一性的证明思路203定理15204例14205例15206例16207分块矩阵的最小多项式208Jordan标准形与最小多项式209例17210例18211例19212例20213例21214存在性的证明思路215存在性的证明思路216存在性的证明思路217存在性的证明思路218存在性的证明思路219存在性的证明思路220存在性的证明思路221存在性的证明思路222第五节 特征值的分布223定理20224例22225K-区226例23227定理21228例24229谱半径的估计230例25231例26232 应用233对角占优矩阵234对角占优矩阵235第四章Hermite二次型二次型236第一节 H阵、正规阵nHermite二次型与Hermite矩阵n标准形n惯性定理（唯一性）n正定性237Hermite矩阵、Hermite二次型238Hermite矩阵、Hermite二次型239实对称矩阵的性质240H阵的性质241正规阵242上三角的正规阵定理4：243定理5244推 论245例1246例2247第二节 Hermite二次型248249标准形250标准形n配方法（初等变换法）n酉变换法：251惯性定理252惯性定理253惯性定理254规范形255共轭合同的充分必要条件256例3257正定性258如何建立判别方法259定理7260例4261例5262例6263其它有定性264如何建立判别方法265定理8266例7267定理9（奇值分解）268奇值分解定理的证明269奇值分解定理的证明270奇值分解定理的证明271奇值分解定理的证明272第三节 Rayleigh商273定理10274例8275定理11276定理12（Courant极大极小原理）277第五章范数和矩阵函数范数和矩阵函数278本章的目的n矩阵函数n范数n矩阵函数的应用279第一节 范数的概念和例子280内积与范数281Cn中范数的例子282更多的例子283更多的例子284范数与极限285范数的可比较性286第二节 矩阵范数287288范数的相容性289定理2290算子范数291算子范数292定理3293定理4294例1295例2296例3297第三节 收敛定理298矩阵序列的收敛性299幂序列300谱半径与范数301矩阵幂级数302矩阵幂级数303第四节 矩阵函数304几个重要的矩阵函数305利用定义计算306例5307Jordan形矩阵的函数308Jordan形矩阵的函数309Jordan块的函数310Jordan块的函数311Jordan块的函数312例6313利用Jordan标准形计算314例7315定理11316例8317待定系数法318待定系数法319例9320例10321矩阵函数的性质322例11323例12324注325第四节 线性微分方程组326性质327常系数线性微分方程328常系数线性微分方程组329330定理14331矩阵的广义逆矩阵的广义逆第六章第六章332本章目的n将“逆矩阵”推广到一般情形n广义逆矩阵的计算n广义逆矩阵的性质n应用：不相容线性方程组的求解333第一节 广义逆矩阵的概念n1903年，Fredholm，积分算子的广义逆n1920年，Moore，矩阵的广义逆n1955年，Penrose，证明了唯一性 所以，在下面的矩阵的广义逆的定义中的四个方程也称为Moore-Penrose方程，简称M-P方程。334广义逆矩阵的定义335例1336定理1337例2338例3339例4340例5341例6342例6343例7344第二节 广义逆矩阵的性质345定理2346定理1（续）347例8348例9349定理3350第三节 广义逆矩阵的应用351最小二乘解352定理4353定理5