土力学地基中应力计算.pptx

Warming-up变形变形deformation 变形模量变形模量modulus of deformation 泊松比泊松比Poissons ratio 残余变形残余变形residual deformation 布西涅斯克解布西涅斯克解Boussinnesqs solution 超静孔隙水压力超静孔隙水压力excess pore water pressure 沉降沉降settlement次固结系数次固结系数coefficient of secondary consolidation地基沉降的弹性力学公式地基沉降的弹性力学公式elastic formula for settlement calculation分层总和法分层总和法layerwise summation method附加应力附加应力superimposed stress 割线模量割线模量secant modulus 固结沉降固结沉降consolidation settlement规范沉降计算法规范沉降计算法settlement calculation by specification回弹变形回弹变形rebound deformation 回弹模量回弹模量modulus of resilience回弹系数回弹系数coefficient of resilience 回弹指数回弹指数swelling index建筑物的地基变形允许值建筑物的地基变形允许值allowable settlement of building角点法角点法corner-points method 明德林解明德林解Mindlins solution纽马克感应图纽马克感应图Newmark chart 切线模量切线模量tangent modulus第4章 地基中应力计算 l4.1 概述概述l4.2 地基中自重应力地基中自重应力l4.3 荷载作用下地基中附加应力计算荷载作用下地基中附加应力计算 4.1 概述建筑物建造建筑物建造 地基应力改变地基应力改变 地基变形地基变形 基础沉降基础沉降 建建筑筑地地基基基基础础设设计计时时必必须须计计算算地地基基变变形形，且且必必须须将将其其控控制制在在允许范围内。为此，首先要计算地基应力。允许范围内。为此，首先要计算地基应力。地基应力包括：地基应力包括：1、自自重重应应力力土土本本身身自自重重引引起起。在在建建筑筑物物建建造造前前即即存存在在，故又称为初始应力。故又称为初始应力。2、附加应力附加应力建筑物荷载引起。一般采用弹性理论计算。建筑物荷载引起。一般采用弹性理论计算。地地基基应应力力改改变变是是引引起起建建筑筑物物基基础础沉沉降降的的主主要要原原因因，地地基基的的稳定也与应力密切相关。因此必须重视应力的计算。稳定也与应力密切相关。因此必须重视应力的计算。4.2 地基中自重应力计算 假假设设天天然然地地面面为为一一无无限限大大的的水水平平面面，地地基基土土质质均均匀匀，则则由由对对称称性性（任任一一竖竖直直面面均均为为对对称称面面）可可知知，在在任任一一竖竖直直面面和和水水平平面面上上，均均无无剪剪应应力力存存在在，且且在在地地面面下下任任意意深深度度 z 处处a-a水水平平面面上上的的竖竖向向自自重重应应力力 即为该水平面上任一单位面积的土柱体自重，即：即为该水平面上任一单位面积的土柱体自重，即：理理由由：由由于于侧侧面面无无剪剪应应力力，则则任任一一底底面面积积为为 s 的的土土柱柱在在 aa 面上产生的竖向应力为：面上产生的竖向应力为：这表明这表明 沿水平面均匀分布，沿深度直线分布。沿水平面均匀分布，沿深度直线分布。均质地基自重应力除竖向自重应力外，地基中还有侧向自重应力。由于除竖向自重应力外，地基中还有侧向自重应力。由于 在任一水平面在任一水平面上都均匀地无限分布，故地基土在自重应力作用下只能产生竖向变上都均匀地无限分布，故地基土在自重应力作用下只能产生竖向变形，而不能发生侧向变形和剪切变形，即有形，而不能发生侧向变形和剪切变形，即有 ，。则由弹性力学中的广义虎克定律有：。则由弹性力学中的广义虎克定律有：式中，式中，E0为土的变形模量；为土的变形模量；为土的泊松比。为土的泊松比。因此，均质地基中的任意一点自重应力为：因此，均质地基中的任意一点自重应力为：其中其中 ，称为土的侧压力系数或，称为土的侧压力系数或静止土压力系数静止土压力系数。成层地基自重应力只只有有有有效效应应力力，才才能能使使土土粒粒彼彼此此挤挤紧紧，从从而而引引起起土土体体变变形形。而而自自重重应应力力作作用用下下的的土土体体变变形形一一般般均均已已完完成成（欠欠固固结结土土除除外外），故故自自重重应应力力通通常常均均指指自自重重有有效效应应力力，计计算算自自重重有有效效应应力力时时对对地地下下水水位位以以下下土土层层必必须须以以有有效效重重度度 代代替替天天然然重重度度 。出出于于简简化化和和习习惯惯，除除非非特特别别说说明，以后将最常用的竖向自重有效应力简称为自重应力。明，以后将最常用的竖向自重有效应力简称为自重应力。对于成层地基（具有成层土的地基），自重应力计算式为：对于成层地基（具有成层土的地基），自重应力计算式为：n 从地面到深度从地面到深度 z 处的土层总数；处的土层总数；深度深度 处的自重应力，处的自重应力，kPa；第第i层土的天然重度，地下水位以下的土层取层土的天然重度，地下水位以下的土层取 ，kN/m3；hi 第第 i 层土的厚度，层土的厚度，m。注意点（1）地下水位面应作为分界面；）地下水位面应作为分界面；（2）地下水位以下如有不透水层（岩层或硬粘土层），）地下水位以下如有不透水层（岩层或硬粘土层），由于不存在水的浮力，故层面及层面以下的自重应力按由于不存在水的浮力，故层面及层面以下的自重应力按上覆土层和水总重计算。上覆土层和水总重计算。自重自重(有效有效)应力也可由有效应力原理计算。例如，应力也可由有效应力原理计算。例如，先计算自重总应力先计算自重总应力 (此时对地下水位以下土层必须采此时对地下水位以下土层必须采用饱和重度用饱和重度 )，然后计算静止水压力，然后计算静止水压力u,则自重则自重(有效有效)应力应力 。【例题4.1】地地基基土土层层分分布布如如下下图图示示，土土层层1厚厚度度为为3.0m，土土体体重重度度 kN/m3，饱饱 和和 重重 度度 kN/m3，土土 层层 2厚厚 度度 为为 4.0m，土土 体体 重重 度度 ，饱饱和和重重度度 ，地地下下水水位位离离地地面面2.0m。计计算算土土中中自自重重总应力和有效应力沿深度分别情况。总应力和有效应力沿深度分别情况。图图4-2 例题例题4.1图示图示 解答【解解】先计算图中先计算图中A、B、C 和和D四点处的总应力和有效应力，然后画四点处的总应力和有效应力，然后画出分布图。出分布图。A点：点：z=0.0m，kPa,u=0 kPa,=0 kPaB点：点：z=2.0m，kPa,u=0,=37.0 kPaC点：点：z=3.0m，kPa,u=10.0 1=10 kPa,55.8 10=45.8 kPaD点：点：z=7.0m，kPa,u=10.0 5=50 kPa,130.2 50=80.2 kPa 地基中自重总应力、自重地基中自重总应力、自重(有效有效)应力和静止孔隙水压力沿深度分应力和静止孔隙水压力沿深度分布如上图所示。布如上图所示。地下水位的影响地地基基土土形形成成至至今今一一般般已已很很长长时时间间，故故如如前前所所述述，自自重重应应力力所所引引起起的的地地基基变变形形早早已已发发生生并并已已稳稳定定，可可不不再再考考虑虑。但但对对于于新新近近沉沉积积土土，应考虑它在自重应力作用下的变形。应考虑它在自重应力作用下的变形。此此外外，地地下下水水位位的的升升降降会会引引起起土土中中自自重重应应力力的的变变化化,并并导导致致地基变形：地基变形：（1）水水位位下下降降（抽抽地地下下水水），将将使使自自重重应应力力增增大大，从从而而引引起大面积地面下沉。起大面积地面下沉。（2）水水位位上上升升（下下雨雨，筑筑坝坝蓄蓄水水），将将使使自自重重应应力力减减少少。对湿陷性土应注意由此引起的地面下沉。对湿陷性土应注意由此引起的地面下沉。补充：基底压力和基底附加压力基基底底压压力力:建建筑筑物物基基础础底底面面与与地地基基之之间间的的接接触触应应力力。它它既既是是基基础础作作用用于于基基底底地地基基土土的的压压力力，同同时时又又是是地地基基土土反反作作用用于于基基底底的的反反力力。（作作用力与反作用力）用力与反作用力）要计算地基中由建筑物荷载产生的应力，首先须知道基底压力。要计算地基中由建筑物荷载产生的应力，首先须知道基底压力。基基底底压压力力与与基基础础大大小小、刚刚度度、荷荷载载大大小小和和分分布布有有关关，这这些些因因素素使使得得基基底底压压力力的的分分布布非非常常复复杂杂,精精确确计计算算也也十十分分困困难难。出出于于简简化化和和实实用用的的目目的的，一一般般将将基基底底压压力力近近似似为为直直线线分分布布，并并按按材材料料力力学学中中的的公式计算。公式计算。一、基底压力的简化计算（一）中心荷载下的基底压力（一）中心荷载下的基底压力 （kPa）式中：式中：F=作用于基础上的竖向力设计值（作用于基础上的竖向力设计值（kN）；）；G=基础及其上回填土总重（基础及其上回填土总重（kN），），即即 ，其中，其中 kN/m3，地下水位以下取有效重度，地下水位以下取有效重度;d=基础埋深基础埋深(m)，从室内外平均设计地面，从室内外平均设计地面(即即0.00标高标高)算起；算起；A=基底面积基底面积(m2)，对矩形：，对矩形：A=lb(长长宽宽)；对于条形基础：沿长度方；对于条形基础：沿长度方向取向取1单位长度计算单位长度计算(即取即取 l=1)，故，故A=b1=b。（二）偏心荷载下矩形基础的基底压力1、单向偏心荷载下、单向偏心荷载下 一一般般取取基基底底长长边边方方向向与与偏偏心心一一致致。短短边边边边缘缘最最大大和和最最小小压压力力设设计计值值：（材料力学材料力学中的中的短柱偏心受压短柱偏心受压公式）公式）式中式中:M=(FG)e，作用于，作用于基底的力矩设计值；基底的力矩设计值；e=偏心距；偏心距；，基础底面的抵抗矩。，基础底面的抵抗矩。将将M=(F+G)e代入有：代入有：讨论(a)当当e 0，基底压力呈梯形分，基底压力呈梯形分布布(b)当当e=l/6，pmin=0，基底压力呈三角，基底压力呈三角形分布形分布(c)当当e l/6，pmin0，局部压力为负，如，局部压力为负，如虚线所示。但由于地基土不能承受拉虚线所示。但由于地基土不能承受拉力（即负压力，此时，地基土将与基力（即负压力，此时，地基土将与基础脱开），基底压力将重新分础脱开），基底压力将重新分布。根据偏心荷载应与基底反力相平衡布。根据偏心荷载应与基底反力相平衡的条件，荷载的条件，荷载(F+G)应通过三角形应通过三角形反力分布的形心（实线，反力分布的形心（实线，k=l/2 e），），由此有：由此有：单单向向偏偏心心荷荷载载下下矩矩形形基基础础的的基基底底压压力力分分布布2双向偏心荷载下基础四个角点处压力：基础四个角点处压力：式式中中，Mx，My=荷荷载载合合力力分分别别对对 x 和和 y 轴的力矩设计值，即：轴的力矩设计值，即：Mx=ey(F+G)，My=ex(F+G)；。二、基底附加压力基底附加压力基底附加压力：基础及上部结构在基底平面处产生的新（净）压力。：基础及上部结构在基底平面处产生的新（净）压力。因因为为地地基基土土中中存存在在自自重重应应力力。因因此此，基基底底平平面面处处的的土土体体在在建建筑筑物物建建造造前前即即已已经经受受了了该该处处自自重重应应力力（或或即即该该平平面面以以上上上上覆覆土土重重）的的作作用用，而而前前面面所所述述的的基基底底压压力力显显然然包包含含着着这这部部分分应应力力。因因此此，在在基基底底压压力力中中扣扣除除基基底底平平面面处处原原有有的的自自重重应应力力，才才是是新新增增加加于于基基底底平平面面处处的的附附加加压压力力（即净压力）。此即（即净压力）。此即基底附加压力基底附加压力 p0，故有：，故有：其其中中 p=基基底底的的平平均均压压力力设设计计值值；=基基底底处处的的自自重重应应力力；=基基础础底底面面以以上上天天然然土土层层的的厚厚度度加加权权重重度度，地地下下水水位位以以下下取取有有效效重重度度；d=基基础础埋埋深深，一一般般从从天天然然地地面面算算起起（当当 d=0，p0=p），但但对对新新填填土土场场地地则应从老天然地面算起。则应从老天然地面算起。4.3 荷载作用下地基中附加应力计算已知基底附加应力，利用已知基底附加应力，利用弹性半空间理论弹性半空间理论计算表面局部荷计算表面局部荷载作用下地基的附加应力。这虽然是近似的，但误差可载作用下地基的附加应力。这虽然是近似的，但误差可略（对一般浅基础而言）。略（对一般浅基础而言）。地基附加应力地基附加应力：建筑物荷重在土体中引起的附加于原有应：建筑物荷重在土体中引起的附加于原有应力之上的应力。即基底附加压力在地基土中引起的应力。力之上的应力。即基底附加压力在地基土中引起的应力。计算方法计算方法：假定地基为均质的线弹性半空间体、不考虑基：假定地基为均质的线弹性半空间体、不考虑基础刚度（即将基底压力视为柔性荷载）、直接利用弹性础刚度（即将基底压力视为柔性荷载）、直接利用弹性力学中的弹性半空间理论解。力学中的弹性半空间理论解。实际问题按弹性力学可分为三类：实际问题按弹性力学可分为三类：弹性半空间理论解 1、三维问题三维问题（集中力、矩形荷载、圆形荷载作用下）（集中力、矩形荷载、圆形荷载作用下）变形：变形：u、v、w（沿（沿 x、y、z方向的位移）方向的位移）空间问题空间问题 应力：应力：2、二维问题二维问题（线荷载、条形荷载、梯形荷载作用下）（线荷载、条形荷载、梯形荷载作用下）变形：变形：u、v=0、w（设（设 y 轴为荷载长度方向）轴为荷载长度方向）平面问题平面问题 应力：应力：墙基、路堤下地基的应力和变形计算问题即属于平面问题。墙基、路堤下地基的应力和变形计算问题即属于平面问题。3、一维问题一维问题（荷载均布于无限大面积上，变形仅发生在一个方向）（荷载均布于无限大面积上，变形仅发生在一个方向）变形：变形：u v=0、w（设荷载分布于（设荷载分布于 x、y 平面）平面）一维问题一维问题 应力：应力：x=y=K0 z、z、xy=yz=zx=0 地基中自重应力的计算问题即属于一维问题。地基中自重应力的计算问题即属于一维问题。下面介绍下面介绍地基附加应力计算方法地基附加应力计算方法。已已知知4.3.1 地表集中力下地基中附加应力虽然理论上的集中力实际上是不存在的，但集中力作用下虽然理论上的集中力实际上是不存在的，但集中力作用下弹性半空间地基理论解（即布辛涅斯克解）是求解其他弹性半空间地基理论解（即布辛涅斯克解）是求解其他形式荷载作用下地基中附加应力分布的基础。形式荷载作用下地基中附加应力分布的基础。（一）布辛涅斯克解（法国（一）布辛涅斯克解（法国Boussinesq，1885）图图4-3 集中荷载作用下地基中应力集中荷载作用下地基中应力解答（应力）集中力P作用下半空间内任一点M（x，y，z）处的应力分量（个）和位移分量（个）解答：(4.3.1)(4.3.2)(4.3.3)(4.3.4)(4.3.5)(4.3.6)解答（位移）式式中中：,土土体体剪剪切切模模量量；E=土土体体弹弹性性模模量量(即即变变形形模模量量)；土土体体泊泊松松比比；，M点点距距荷荷载载作作用用点点（坐坐标标原原点点）距离；距离；。从从式式（4.3.3）可可见见，与与土土的的参参数数E、无无关关，因因此此应应用用很很方方便便，在地基应力与变形计算中应用最广。在地基应力与变形计算中应用最广。注注意意：当当 R=0，所所有有应应力力和和位位移移分分量量均均为为，故故不不合合理理，因因此选择计算点不应过于接近集中力作用点。此选择计算点不应过于接近集中力作用点。(4.3.7)(4.3.8)(4.3.9)4.3.2 地面均布荷载下地基中附加应力本节介绍线均布荷载、条形均布荷载、矩形均布荷载和圆本节介绍线均布荷载、条形均布荷载、矩形均布荷载和圆形均布荷载作用下地基中附加应力计算。形均布荷载作用下地基中附加应力计算。线荷载和条形荷载：荷载长度线荷载和条形荷载：荷载长度 l且沿且沿 l 方向（即方向（即y方向）方向）不变的荷载。不变的荷载。属平面问题：位移：属平面问题：位移：u，v0，w；应力；应力:，。例。例如：墙基、挡土墙基础、路基、坝基等对地基施加的荷如：墙基、挡土墙基础、路基、坝基等对地基施加的荷载。载。计算表明：计算表明：，即当，即当 l 10b，矩形荷载就可视，矩形荷载就可视为条形荷载。为条形荷载。1、线均布荷载作用下地基中附加应力计算 弗拉曼（Flamant）解线均布荷载线均布荷载（kN/m）即为半空间平面上均布于无限长直线上的荷载，图）即为半空间平面上均布于无限长直线上的荷载，图4-4。沿沿 y 轴轴某某微微段段dy上上的的分分布布荷荷载载以以集集中中力力P pdy代代替替，利利用用布布氏氏解解式式（4.3.3）可得可得P在任一点在任一点M引起的应力：引起的应力：则则 (4.3.10)式中，式中，。同理利用布氏解有：同理利用布氏解有：可见可见解与解与 y 无关无关，即在与，即在与 y 轴垂直的任意平面上的应力状态均相同。轴垂直的任意平面上的应力状态均相同。图图4-4 均布线荷载作用下地基中应力均布线荷载作用下地基中应力2、条形均布荷载作用下地基中附加应力计算条形均布荷载（条形均布荷载（kPa）如图）如图4-5所示。沿所示。沿 x轴某微分段轴某微分段 上的荷载可用线荷载上的荷载可用线荷载代之，则由式（代之，则由式（4.3.10）可得该线荷）可得该线荷载在载在M点产生的应力即：点产生的应力即：整个条形荷载在整个条形荷载在M点产生的附加应力由点产生的附加应力由积分法得积分法得:R1图图4-5 均布条形荷载作用下地基中附加应力均布条形荷载作用下地基中附加应力附加应力计算（续）类似可得类似可得:为便于工程设计时应用，常将地基中附加应力分量采用应力系为便于工程设计时应用，常将地基中附加应力分量采用应力系数与数与 p 的乘积表示，即的乘积表示，即 式中式中Kz，Kx，Kxz=应力系数，由应力系数，由 和和 值（值（B=2b）查表）查表4-1确定。确定。（4.3.17）（4.3.18）（4.3.19）表4-1 条形均布荷载作用下地基中附加应力系数【例题4.2】地地基基上上作作用用有有宽宽度度为为1.0m的的条条形形均均布布荷荷载载，荷荷载载密密度度为为200kPa，求求（1）条条形形荷荷载载中中心心下下竖竖向向附附加加应应力力沿沿深深度度分分布布；（2）深深度度为为1.0m和和2.0m处处土土层层中中竖竖向向附附加加应应力力分分布布；（3）距距条条形形荷荷载载中中心心线线1.5m处处土土层层中中竖竖向向附附加应力分布。加应力分布。【解解】先先求求图图4-6中中017点点的的x/B和和z/B值值，然然后后查查条条形形均均布布荷荷载载作作用用下下地地基基中中附附加加应应力力系系数数表表4-1可可得得应应力力系系数数Kz值值，再再 由由 p=200 kPa及及 式式(4.3.11),即即 计计算算附附加加应应力力值值，计计算算结结果果如如表表4-2和图和图4-6所示。所示。图图4-6 例题例题4.2 图示图示表4-2 例题4.2 计算结果表 小结从该例题计算结果可以看出：从该例题计算结果可以看出：（1）以以基基础础中中轴轴线线为为对对称称轴轴沿沿水水平平方方向向对对称称分分布布、扩扩散散，分分布布、扩散范围远超出荷载宽度扩散范围远超出荷载宽度。（2）在水平方向上）在水平方向上,附加应力在基础中轴线上最大，向外逐渐减小。附加应力在基础中轴线上最大，向外逐渐减小。（3）在在荷荷载载范范围围内内任任一一垂垂线线上上，随随深深度度的的增增大大而而减减小小。z=0处处 。（4）在在荷荷载载范范围围外外任任一一垂垂线线上上，先先随随深深度度增增大大而而后后随随深深度度减减小小。z=0处处 。（5）在荷载边缘点（）在荷载边缘点（z=0，x B/2），），不连续。不连续。应力泡 地基附加应力等值线图即即附附加加应应力力相相等等的的点点的的连连线线，可可清楚表达荷载的影响范围。清楚表达荷载的影响范围。从从图图4-7所所示示的的应应力力泡泡可可见见，若若认认为为 可可不不计计，则则条条形形均均布布荷荷载载的的影影响响宽宽度度为为荷荷载载宽宽度度的的4倍倍、影影响响深深度度为为荷荷载载宽宽度度的的6倍。倍。此此外外计计算算还还表表明明：的的影影响响范范围围较较浅浅；的的最最大大值值出出现现于于荷荷载载边边缘缘，表表明明基基础础边边缘缘最最易发生破坏。易发生破坏。图图4-7 条形荷载作用下地条形荷载作用下地基中竖向附加应力等值线基中竖向附加应力等值线3、矩形均布荷载作用下地基中附加应力计算1）荷载角点下的地基附加应力荷载角点下的地基附加应力在荷载面内取微元在荷载面内取微元 dxdy，微元上的分布荷载以集中，微元上的分布荷载以集中力力P=pdxdy来代替，则由布辛涅斯克解可得角来代替，则由布辛涅斯克解可得角点点 O（图（图4-8）下深度为）下深度为 z 的的M点处由该集中力点处由该集中力引起的竖向附加应力。由式（引起的竖向附加应力。由式（4.3.3）可得：）可得：整个矩形荷载在整个矩形荷载在M点产生的点产生的 由积分法得，即：由积分法得，即：其中其中 角点附加应力系数，由角点附加应力系数，由 m=l/b,n=z/b 查表查表4-4得。得。图图4-8 均布矩形荷载作用下均布矩形荷载作用下 地基中竖向附加应力地基中竖向附加应力表4-4 矩形均布荷载角点下竖向附加应力系数Kz1 表4-4 矩形均布荷载角点下竖向附加应力系数Kz1（续）2）其他点下地基附加应力采用采用角点法角点法计算：即通过计算点计算：即通过计算点o将将原矩形原矩形荷载分成若干个荷载分成若干个新矩形新矩形荷载，从荷载，从而使而使O 成为划分出的各个新矩形的成为划分出的各个新矩形的公共角点公共角点，然后再根据，然后再根据迭加原理迭加原理计算。计算。共有以下四种情况：共有以下四种情况：(a)O点在荷载面的边缘：点在荷载面的边缘：其中其中KzI、KzII 为相应于面积为相应于面积和和的角点附加应力系数。的角点附加应力系数。(b)O点在荷载面内：点在荷载面内：当当 O 位于荷载中心，则有：位于荷载中心，则有：(故表故表4-3可有可无可有可无)。其中其中KzI、KzII、KzIII、KzIV 为相应于面积为相应于面积 I、II、III、IV 的角点的角点附加应力系数。附加应力系数。OO2）其他点下地基附加应力（续）(c)O点在荷载面的边缘外侧：点在荷载面的边缘外侧：荷载面（荷载面（abcd）面积面积（ofbg）面积面积（ofah）+面积面积（oecg）面积面积（oedh）则：则：(d)O点在荷载面的角点外侧点在荷载面的角点外侧 荷载面（荷载面（abcd）面积面积（ohce）面积面积（ohbf）面积面积（ogde）+面积面积（ogaf）则：则：必须注意必须注意:在角点法中，查附加应力系数时所用的在角点法中，查附加应力系数时所用的 l 和和 b 均指划分均指划分后的后的新矩形新矩形（如（如ofbg、ohce等）的长和宽。等）的长和宽。hbgcfoeadahbcofegd4圆形均布荷载作用下地基中附加应力计算设圆形均布荷载作用面半径为R，荷载密度为p，采用圆柱坐标，如图4-11所示。地基中任意点M（，r，z）处的应力分量表达式如下：式中 Kz=圆形均布荷载作用下的附加应力系数，由r/R 和z/R值查表4-5确定。特别当r=0(即在圆形荷载作用面中心点以下)，地基中竖向应力可表为：图图4-11 均布圆形荷载作用均布圆形荷载作用 下地基中附加应力下地基中附加应力表4-5圆形均布荷载作用下的应力系数 4.3.3 地面上作用有三角形和梯形分布荷载地基中附加应力计算1、地面上作用有三角形分布荷载地基中、地面上作用有三角形分布荷载地基中附加应力计算附加应力计算三三角角形形分分布布（矩矩形形）荷荷载载（kPa）如如图图4-12所所示示，荷荷载载密密度度 p 沿沿 x 方方向向线线性性变变化化，即即 ，则则微微面面积积 dxdy 上上的的微微集集中中荷荷载载 。它它在在角角点点1（即即x=0,p=0 处处）引引起起的的附加应力为：附加应力为：图图4-12 三角形分布矩形荷载三角形分布矩形荷载 作用下地基附加应力作用下地基附加应力附加应力表达式整个三角形分布荷载在角点整个三角形分布荷载在角点 1 引起的附加应力为引起的附加应力为：同理可得，角点同理可得，角点 2（即（即x=B,p=p0处）附加应力：处）附加应力：式式中中Kz1和和Kz2为为三三角角形形分分布布荷荷载载角角点点 1 和和 2 下下的的附附加加应应力力系系数数，由由L/B和和 z/B 查表查表4-6得到。得到。注意：注意：B=沿三角形荷载分布方向的边长沿三角形荷载分布方向的边长，而不一定是矩形的短边。，而不一定是矩形的短边。对对于于三三角角形形分分布布条条形形荷荷载载，附附加加应应力力系系数数Kz1和和Kz2可可查查表表4-6中中L/B=10所对应的值。所对应的值。表4-6 三角形分布的矩形荷载角点下的竖向附加应力系数Kz1和Kz2表4-6 三角形分布的矩形荷载角点下的竖向附加应力系数Kz1和Kz2（续1）表4-6 三角形分布的矩形荷载角点下的竖向附加应力系数Kz1和Kz2（续2）2、梯形分布荷载地基中附加应力计算对对于于梯梯形形分分布布的的矩矩形形荷荷载载（kPa），可可运运用用迭迭加加原原理理求求附附加应力，如图加应力，如图4-13所示。所示。图图4-13 梯形分布荷载转化为三角形分布荷载梯形分布荷载转化为三角形分布荷载4.3.4 地基中作用一集中力时地基中附加应力计算当当一一集集中中力力作作用用于于地地基基内内时时，地地基基中中附附加加应应力力计计算算可可采采用用弹弹性性理理论论中中半半无无限限弹弹性性体体内内作作用用一一竖竖向向集集中中应应力力时时的的明明德德林林（R.D.Mindlin，1936）解。如图）解。如图4-14设置坐标系，距表面距离设置坐标系，距表面距离 c 处作用一个集中力处作用一个集中力P。图图4-14 地基内作用一竖向集中力时地基中附加应力计算地基内作用一竖向集中力时地基中附加应力计算地基中附加应力表达式（4.3.29）（4.3.30）地基中附加应力表达式（续1）（4.3.31）（4.3.32）（4.3.33）地基中附加应力表达式（续2）（4.3.34）式中式中 ；c=集中力作用点的深度，集中力作用点的深度，m；=土的泊松比。土的泊松比。比较可见，当比较可见，当 c 0 时，时，明德林解明德林解即蜕化为即蜕化为布辛涅斯克解布辛涅斯克解，因此也可，因此也可以认为以认为布辛涅斯克解是明德林解的一个特例布辛涅斯克解是明德林解的一个特例。4.3.5 关于地基中附加应力计算的简要讨论弹性理论解：地基均质、各向同性、半空间体。弹性理论解：地基均质、各向同性、半空间体。地基实际情况：非均质、各向异性、成层且厚地基实际情况：非均质、各向异性、成层且厚度有限。度有限。计算表明计算表明:采用弹性理论解计算附加应力对大采用弹性理论解计算附加应力对大多数天然地基来说基本可满足工程应用要求，多数天然地基来说基本可满足工程应用要求，但误差也是实际存在的。讨论如下。但误差也是实际存在的。讨论如下。1.双层地基双层地基 双双层层地地基基如如图图4-16所所示示，其其中中曲曲线线1为为均均质质地地基基的的竖向附加应力分布曲线。竖向附加应力分布曲线。上上硬硬下下软软：应应力力扩扩散散，h1越越大大越越显显著著，上上下下土土层层模量相差越多越显著（曲线模量相差越多越显著（曲线2）。）。上软下硬上软下硬：应力：应力集中集中，h1越小越显著（曲线越小越显著（曲线3）。）。图图4-16 双层地基中竖向附加双层地基中竖向附加 应力应力分布的比较分布的比较